2013年湖南湘潭中考数学试卷及答案(解析版)

2013年湖南湘潭中考数学试卷及答案(解析版)

‎2013年湘潭市初中毕业学业考试 数 学 试 题 卷 考试时量:120分钟满分:120分 考生注意:本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26道小题.请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题(本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分)‎ ‎1．－5的相反数是 A．5 B． C． －5 D．－‎ ‎【答案】A ‎2．一组数据1，2，2，3.下列说法正确的是 A．众数是3 B．中位数是‎2 C．极差是3 D．平均数是3‎ ‎【答案】B ‎3．右图是由三个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是 ‎ ‎ ‎ A B C D （第3题图）‎ ‎【答案】B ‎4．下列图形中，是中心对称图形的是 A．平行四边形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．直角三角形 ‎【答案】A ‎5．一元二次方程护x2＋x－2=0的解为x1，x2，则x1·x2=‎ A．1 B．一‎1 C．2 D.－2 ‎ ‎【答案】D ‎6．下列命题正确的是 A．三角形的中位线平行且等于第三边 B．对角线相等的四边形是等腰梯形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．相等的角是对顶角 ‎【答案】C ‎7．如图，点P(－3,2)是反比例函数()的图象上一点，则反比例函数的解析式为 A． B． C． D．‎ y O x ‎2‎ P ‎（第7题图）‎ ‎－3‎ ‎【答案】D ‎8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连结AD、 AE.如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件为 A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD B D E C A ‎（第8题图）‎ ‎【答案】C 二、填空题(本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分)‎ ‎9．= ．‎ ‎【答案】3‎ ‎10．如图，已知:AB//CD, ∠C=25°, ∠E=30°，则∠A= ．‎ A B D E B ‎(第10题图)‎ ‎【答案】55°‎ ‎11．到2012年底，湘潭地区总人口约为3 020‎ ‎ 000人，用科学记数法表示这一数为 ．‎ ‎【答案】3.02×106‎ ‎12．湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为 ．‎ ‎【答案】2x＋16=3x ‎13．“五一”假期，科科随父母在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片(除图案外，形状、大小、质地等都相同)，其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案.他从中任意抽取1张寄给外地工作的姑姑，则恰好抽中印有主席故居图案的明信片的概率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎14．函数中，自变量x的取值范围为 ．‎ ‎【答案】x≠－1‎ ‎15．计算:sin45°＋= ．‎ ‎【答案】2‎ ‎16．如下图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为 ．‎ 开始 输入x x≥1‎ y=x2－1‎ y=x＋1‎ 输出结果 是 否 ‎【答案】2‎ 三、解答题(本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分)‎ ‎17．(本题满分6分)‎ 解不等式组 ‎【答案】解：，由①，得x≥2，由②，得，，∴不等式组的解集为.‎ ‎18．（本题满分6分)‎ 先化简，再求值:，其中x=－2.‎ ‎【答案】解：原式=[＋]·=·==－1‎ ‎19．(本题满分6分)‎ 如图，C岛位于我南海A港口北偏东60°方向，距A港口海里处.我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°的方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时?‎ A 北 东 C D B ‎（第19题图）‎ ‎60°‎ ‎45°‎ ‎【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意，得∠CAD=30°，∠CDB= 45°，∴CD=AC·sin∠CAD=×=,∴BC==60，∴t=60÷60=1（h）‎ 答：从B处到达C岛需要1小时.‎ ‎20．(本题满分6分)‎ ‎2013年4月20日‎8时，四川省芦山县发生7.0级地震. 某市派出抢险救灾工程队赶赴芦山支援.工程队承担了‎2400米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区，实际施工速度比原计划每小时多修‎40米，结果提前2小时完成，求原计划每小时抢修道路多少米?‎ ‎【答案】解：设原计划每小时抢修道路x米，则实际每小时修（x＋40）米，‎ ‎，去分母，得，解之得x1=200,x2=－240,‎ 经检验，x1=200,x2=－240都是原方程的根，∵x2=－240＜0，∴x2=－240舍去.‎ 答：原计划每小时抢修道路‎200米.‎ ‎21．(本题满分6分)‎ ‎6月5日是世界环境日.今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸，共奋斗”，旨在释放和传递:建设美丽中国，人人共享、人人有责的信息. 小文积极学习与宣传，并从四个方面A:空气污染，B:淡水资源危机，C:土地荒漠化，D:全球变暖，对全校同学进行了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的问题(每人限选一项). 图1和图2是他收集数据后，绘制的不完整的统计图表，请你根据图表中提供的信息解答以下问题:‎ 图1‎ 关注问题 频数 频率 A ‎24‎ ‎0.4‎ B ‎12‎ ‎0.2‎ C n ‎0.1‎ D ‎18‎ m 合计 a ‎1‎ 关注问题 人数 ‎24‎ ‎12‎ A B C D 图2‎ ‎（1）根据图表信息，可得a= ．‎ ‎（2）请你将图2补充完整；‎ ‎（3）如果小文所在的学校有1200名学生，那么请你根据小文提供的信息估计该校关注“全球变暖”的学生大约有多少人?‎ ‎【答案】解：（1）a=60，‎ ‎（2）‎关注问题 人数 ‎24‎ ‎12‎ A B C D 图2‎ ‎（3）1200×=360人 答：估计该校关注“全球变暖”的学生大约有360人.‎ ‎22．(本题满分6分)‎ 莲城超市以10元/件的价格调进一批商品.根据前期销售情况，每天销售量y(件)与该商品定价x(元)是一次函数关系，如图所示.‎ ‎（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式;‎ ‎（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所能获得的利润.‎ ‎（元）‎ y（元）‎ ‎10‎ ‎2‎ O ‎11‎ ‎15‎ x 第22题图 ‎【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为，则，解之，得，∴，‎ ‎（2）当x=13时，（13－10）y=（13－10）×=18元 ‎∴超市每天销售这种商品所能获得的利润为18元.‎ ‎23．(本题满分8分)‎ ‎5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花.已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨.‎ ‎(1)小明一共有多少种可能的购买方案?列出所有方案;‎ ‎(2)如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从(1)中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率 ‎【答案】解：（1）设小明购买x支康乃馨，y支兰花，则 ‎，①＋②×3，得，∴，所以，当x=1时，5×1＋3y≤30，∴，∴y=8,7,6，所以购买1支康乃馨，8支兰花；1支康乃馨，7支兰花；1支康乃馨，6支兰花；2支康乃馨，8支兰花；1支康乃馨，7支兰花；1支康乃馨，6支兰花；‎ 当x=2时，5×2＋3y≤30，∴，∴y=6，5，所以购买2支康乃馨，6支兰花；2支康乃馨，5支兰花；‎ 当x=3时，5×3＋3y≤30，∴，∴y=5，4，所以购买3支康乃馨，5支兰花；3支康乃馨，4支兰花；‎ 当x=4时，5×4＋3y≤30，∴，∴y=3，所以购买4支康乃馨，3支兰花； ‎ 综上所述，共有8种购买方案，方案如下表 方案序号 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ ‎⑦‎ ‎⑧‎ 康乃馨支数（支）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 兰花支数（支）‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ 购买所需钱数（元）‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎23‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，则，所以从(1)中任选一种方案购花，他能实现购买愿望的概率为.‎ ‎24．(本题满分8分)‎ 在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF.‎ ‎(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由;‎ ‎(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3,请你求出CF的长.‎ C A l O B D E F 图1‎ B A l C O D F E 图2‎ A B C O D E F 图3‎ B A l C D E F O 图4‎ G ‎【答案】解：（1）AD与CF还相等，‎ 理由：∵四边形ODEF、四边形ABCO为正方形，∴∠DOF =∠COA = 90°，DO=OF，CO=OA，∴∠COF =∠AOD，∴△COF ≌△AOD（SAS），∴AD=CF.‎ ‎（2）如图4，连接DF，交EO于G，则DF⊥EO，DG=OG=EO=1，∴GA=4，∴AD===;‎ ‎25．(本题满分10分)‎ 如图，在坐标系xoy中，已知D（－5,4），B（－3,0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴、y轴，垂足分别为A、C两点.动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t为何值时，PC//DB;‎ ‎(2)当t为何值时，PC⊥BC;‎ ‎(3)以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线)相切时，求t的值.‎ O P ‎ A B C D y x B A O P C D y x E 图1‎ y O A B P x F C D 图2‎ y O P G x B A C D 图3‎ ‎【答案】解：（1）假设PC//DB，则∠CPO =∠DBA，∵DA⊥x轴，DC⊥y轴，∴∠COP=∠DAB=∠COA=∠DCO = 90°，∴四边形ADCO为矩形，∴DA=CO，AO=DC=5，∴△COP≌△DAB（AAS），∴OP=AB=5－3=2，∴当t=2时，PC//DB;‎ ‎（2）假设PC⊥BC，则∠BCP=∠BOC=90°，∵∠CBP=∠OBC，∴△CBP∽△OBC，∴,∵BC=，∴，∴，∴‎ ‎（3）①当⊙P与直线CD相切时，过点P作PE⊥直线CD于点E，则PE=OC=4，∴OP=OC=4，∴t=4；②当⊙P与直线BC相切时，过点P作PF⊥BC于点F，则PF=PO=t,同①，得,∴，∴t=12；‎ ‎③当⊙P与直线BD相切时，过点P作PG⊥直线BD于点G，则PG=PO=t,同①，得,∴，∴t=12＋；‎ 综上所述，t=4，t=12或t=12＋.‎ ‎26．(本题满分10分)‎ 如图，在坐标系xoy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A(1,0)，B(0，2).抛物线的图象过C点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?‎ ‎(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形?若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由.‎ yx x A C B O l ‎ ‎yx x A C B O l ‎（备用图）‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠BOA = ∠ADC = 90°，∵∠BAC = 90°，∴∠CAD＋∠BAO = 90°，∠CAD＋∠ACD= 90°，∴∠BAO =∠ACD，∵AB=AC,∴△BAO ≌△ACD ‎（AAS），∴CD=AO=1，AD=BO=2，∴C（3,1），∴，∴，∴‎ 图1‎ yx x A C B O l D ‎ ‎E yx x A C B O l FD 图2‎ ‎（2）当直线l在点A左侧时，△ABC在直线l左侧的面积显然小于直线l右侧的面积，∴直线l应在点A右侧，如图2，设直线l交BC于点E，交AC于点F，设直线AC的解析式为，则，解之，得，∴，同理：直线BC的解析式为，设直线l的解析式为x=m，则点E的坐标为（m，），点F的坐标为（m，），∴EF=（）－（）=，假设直线l恰好将△ABC的面积分为相等的两部分，则=，∴×（）×（3－m）=，∴（舍去），，∴直线l的解析式为 ‎（3）如图3，过点C作CK⊥y轴于点K，过点P作PH⊥x轴于点H，则∠PHA = ∠BKC = 90°，PH∥BO，∵四边形PACB为平行四边形，∴PA =BC，PA∥BC，∴∠AMO =∠CBK，∵PH∥BO，∴∠AMO =∠PHO，∴∠PHO=∠CBK，∴△PAH≌△BCK（AAS），∴AH=CK=3，PH=BK=1，∵A(1,0)，∴P（－2,1），当x=－2时，，∴抛物线存在点P，使四边形PACB为平行四边形，此时P（－2，1）.‎ K yx x A C O l H B P 图3‎ M