2019年湖南省衡阳市中考数学试卷含答案

2019年湖南省衡阳市中考数学试卷含答案

‎2019年湖南省衡阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1．（3分）‎-‎‎3‎‎4‎的绝对值是（　　）‎ A．‎-‎‎3‎‎4‎ B．‎3‎‎4‎ C．‎-‎‎4‎‎3‎ D．‎‎4‎‎3‎ ‎2．（3分）如果分式‎1‎x+1‎在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．全体实数 D．x＝﹣1‎ ‎3．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（　　）公里．‎ A．0.65×105 B．65×103 C．6.5×104 D．6.5×105‎ ‎4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　）‎ A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a3‎ ‎6．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．80° D．90°‎ ‎7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（　　）‎ A．97 B．90 C．95 D．88‎ ‎8．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．n边形（n≥3）的外角和是360° ‎ B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ‎ C．相等的角是对顶角 ‎ D．矩形的对角线互相平分且相等 ‎9．（3分）不等式组‎2x＞3xx+4＞2‎的整数解是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1‎ ‎10．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）‎ A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1‎ ‎11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2‎=‎mx（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b‎＞‎mx的解集是（　　）‎ A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 ‎ C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2‎ ‎12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)‎ ‎13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝　 　．‎ ‎14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为‎1‎‎2‎，则a等于　 　．‎ ‎15．（3分）‎27‎‎-‎3‎=‎　 　．‎ ‎16．（3分）计算：xx-1‎‎+‎1‎‎1-x=‎　 　．‎ ‎17．（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是　 　．‎ ‎18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　 　．‎ 三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎19．（6分）（‎1‎‎2‎）﹣3+|‎3‎‎-‎2|+tan60°﹣（﹣2019）0‎ ‎20．（6分）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）这次学校抽查的学生人数是　 　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？‎ ‎21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．‎ ‎22．（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：‎3‎（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：‎3‎‎≈‎1.73，‎2‎‎≈‎1.41）‎ ‎23．（8分）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积．‎ ‎24．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．‎ ‎（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；‎ ‎（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？‎ ‎25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系表达式；‎ ‎（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；‎ ‎（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎26．（12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．‎ ‎（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求DE的长；‎ ‎（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．‎ ‎2019年湖南省衡阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1．（3分）‎-‎‎3‎‎4‎的绝对值是（　　）‎ A．‎-‎‎3‎‎4‎ B．‎3‎‎4‎ C．‎-‎‎4‎‎3‎ D．‎‎4‎‎3‎ ‎【解答】解：|‎-‎‎3‎‎4‎|‎=‎‎3‎‎4‎，故选：B．‎ ‎2．（3分）如果分式‎1‎x+1‎在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．全体实数 D．x＝﹣1‎ ‎【解答】解：由题意可知：x+1≠0，‎ x≠﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（　　）公里．‎ A．0.65×105 B．65×103 C．6.5×104 D．6.5×105‎ ‎【解答】解：科学记数法表示65000公里为6.5×104公里．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　）‎ A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a3‎ ‎【解答】解：A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；‎ B、（a2）3＝a6，故选项B不合题意；‎ C、a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；‎ D、a2•a＝a3，故选项D符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．80° D．90°‎ ‎【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°，‎ ‎∴∠FED＝50°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠A＝∠FED＝50°．‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（　　）‎ A．97 B．90 C．95 D．88‎ ‎【解答】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，‎ 所以这组数据的中位数为90分，‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．n边形（n≥3）的外角和是360° ‎ B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ‎ C．相等的角是对顶角 ‎ D．矩形的对角线互相平分且相等 ‎【解答】解：A、n边形（n≥3）的外角和是360°，是真命题；‎ B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；‎ C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；‎ D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）不等式组‎2x＞3xx+4＞2‎的整数解是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1‎ ‎【解答】解：‎‎2x＞3x①‎x+4＞2②‎ 解不等式①得：x＜0，‎ 解不等式②得：x＞﹣2，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣2＜x＜0，‎ ‎∴不等式组‎2x＞3xx+4＞2‎的整数解是﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）‎ A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1‎ ‎【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：‎ ‎9（1﹣x）2＝1，‎ 故选：B．‎ ‎11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2‎=‎mx（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b‎＞‎mx的解集是（　　）‎ A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 ‎ C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2‎ ‎【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2‎=‎mx（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，‎ ‎∴不等式kx+b‎＞‎mx的解集是x＜﹣1或0＜x＜2‎ 故选：C．‎ ‎12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∵EF⊥BC，ED⊥AC，‎ ‎∴四边形EFCD是矩形，‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴EF‎=‎‎1‎‎2‎AC，DE‎=‎‎1‎‎2‎BC，‎ ‎∴EF＝ED，‎ ‎∴四边形EFCD是正方形，‎ 设正方形的边长为a，‎ 如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2‎-‎‎1‎‎2‎t2；‎ 当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H‎=‎‎1‎‎2‎（2a﹣t）2‎=‎‎1‎‎2‎t2﹣2at+2a2，‎ ‎∴S关于t的函数图象大致为C选项，‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)‎ ‎13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　．‎ ‎【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．‎ 故答案为：2（a+2）（a﹣2）．‎ ‎14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为‎1‎‎2‎，则a等于　5　．‎ ‎【解答】解：根据题意知a‎3+2+a‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 解得a＝5，‎ 经检验：a＝5是原分式方程的解，‎ ‎∴a＝5，‎ 故答案为：5．‎ ‎15．（3分）‎27‎‎-‎3‎=‎　‎2‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：原式＝3‎3‎‎-‎3‎=‎2‎3‎．‎ 故答案为：2‎3‎．‎ ‎16．（3分）计算：xx-1‎‎+‎1‎‎1-x=‎　1　．‎ ‎【解答】解：原式‎=xx-1‎-‎‎1‎x-1‎ ‎=‎x-1‎x-1‎‎ ‎ ‎＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎17．（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是　6‎3‎　．‎ ‎【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长．‎ ‎∠AOB＝360°÷3＝120°‎ 连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，‎ ‎∴AC＝OA×sin60°＝6‎×‎3‎‎2‎=‎3‎3‎，‎ ‎∴AB＝2AC＝6‎3‎，‎ 故答案为：6‎3‎．‎ ‎18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　（﹣1010，10102）　．‎ ‎【解答】解：∵A点坐标为（1，1），‎ ‎∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），‎ ‎∵A1A2∥OA，‎ ‎∴直线A1A2为y＝x+2，‎ 解y=x+2‎y=‎x‎2‎得x=-1‎y=1‎或x=2‎y=4‎，‎ ‎∴A2（2，4），‎ ‎∴A3（﹣2，4），‎ ‎∵A3A4∥OA，‎ ‎∴直线A3A4为y＝x+6，‎ 解y=x+6‎y=‎x‎2‎得x=-2‎y=4‎或x=3‎y=9‎，‎ ‎∴A4（3，9），‎ ‎∴A5（﹣3，9）‎ ‎…，‎ ‎∴A2019（﹣1010，10102），‎ 故答案为（﹣1010，10102）．‎ 三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎19．（6分）（‎1‎‎2‎）﹣3+|‎3‎‎-‎2|+tan60°﹣（﹣2019）0‎ ‎【解答】解：原式＝8+2‎-‎3‎+‎3‎-‎1‎ ‎＝9．‎ ‎20．（6分）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）这次学校抽查的学生人数是　40　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？‎ ‎【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是12÷30%＝40（人），‎ 故答案为：40人；‎ ‎（2）C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）‎ 条形统计图补充为：‎ ‎（3）估计全校报名军事竞技的学生有1000‎×‎4‎‎40‎=‎100（人）．‎ ‎21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，‎ 解得k‎≤‎‎9‎‎4‎；‎ ‎（2）k的最大整数为2，‎ 方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，‎ ‎∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，‎ ‎∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m‎=‎‎3‎‎2‎；‎ 当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，‎ 而m﹣1≠0，‎ ‎∴m的值为‎3‎‎2‎．‎ ‎22．（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：‎3‎（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：‎3‎‎≈‎1.73，‎2‎‎≈‎1.41）‎ ‎【解答】解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：‎ 则DG＝FP＝BH，DF＝GP，‎ ‎∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：‎3‎，‎ ‎∴∠DCG＝30°，‎ ‎∴FP＝DG‎=‎‎1‎‎2‎CD＝5，‎ ‎∴CG‎=‎‎3‎DG＝5‎3‎，‎ ‎∵∠FEP＝60°，‎ ‎∴FP‎=‎‎3‎EP＝5，‎ ‎∴EP‎=‎‎5‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴DF＝GP＝5‎3‎‎+‎10‎+‎5‎‎3‎‎3‎=‎20‎‎3‎‎3‎+‎10，‎ ‎∵∠AEB＝60°，‎ ‎∴∠EAB＝30°，‎ ‎∵∠ADH＝30°，‎ ‎∴∠DAH＝60°，‎ ‎∴∠DAF＝30°＝∠ADF，‎ ‎∴AF＝DF‎=‎20‎‎3‎‎3‎+‎10，‎ ‎∴FH‎=‎‎1‎‎2‎AF‎=‎10‎‎3‎‎3‎+‎5，‎ ‎∴AH‎=‎‎3‎FH＝10+5‎3‎，‎ ‎∴AB＝AH+BH＝10+5‎3‎‎+‎5＝15+5‎3‎‎≈‎15+5×1.73≈23.7（米），‎ 答：楼房AB高度约为23.7米．‎ ‎23．（8分）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OB，交CA于E，‎ ‎∵∠C＝30°，∠C‎=‎‎1‎‎2‎∠BOA，‎ ‎∴∠BOA＝60°，‎ ‎∵∠BCA＝∠OAC＝30°，‎ ‎∴∠AEO＝90°，‎ 即OB⊥AC，‎ ‎∵BD∥AC，‎ ‎∴∠DBE＝∠AEO＝90°，‎ ‎∴BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，‎ ‎∵∠OBD＝90°，OB＝8，‎ ‎∴BD‎=‎‎3‎OB＝8‎3‎，‎ ‎∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB‎=‎1‎‎2‎×‎8×8‎3‎‎-‎60⋅π×‎‎8‎‎2‎‎360‎=‎32‎3‎‎-‎‎32π‎3‎．‎ ‎24．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．‎ ‎（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；‎ ‎（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？‎ ‎【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，‎ 依题意，得：‎300‎x+10‎‎=‎‎100‎x，‎ 解得：x＝5，‎ 经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，‎ ‎∴x+10＝15．‎ 答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．‎ ‎（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，‎ 依题意，得：‎80-m≥4m‎15(80-m)+5m≥1000‎‎15(80-m)+5m≤1050‎，‎ 解得：15≤m≤16．‎ ‎∵m为整数，‎ ‎∴m＝15或16．‎ ‎∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．‎ ‎25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系表达式；‎ ‎（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；‎ ‎（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1））∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），‎ 把A、B两点坐标代入上式，‎1-b+c=0‎‎9+3b+c=0‎，‎ 解得：b=-2‎c=-3‎，‎ 故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）∵A（﹣1，0），点B（3，0），‎ ‎∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，‎ ‎∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，‎ ‎∴∠OPE+∠CPB＝90°，‎ ‎∠CPB+∠PCB＝90°，‎ ‎∴∠OPE＝∠PCB，‎ 又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，‎ ‎∴△POE∽△CBP，‎ ‎∴BCPB‎=‎OPOE，‎ 设OP＝x，则PB＝3﹣x，‎ ‎∴‎4‎‎3-x‎=‎xOE，‎ ‎∴OE‎=‎1‎‎4‎(-x‎2‎+3x)=-‎1‎‎4‎(x-‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎9‎‎16‎，‎ ‎∵0＜x＜3，‎ ‎∴x=‎‎3‎‎2‎时，线段OE长有最大值，最大值为‎9‎‎16‎．‎ 即OP‎=‎‎3‎‎2‎时，线段OE有最大值．最大值是‎9‎‎16‎．‎ ‎（3）存在．‎ 如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，‎ ‎∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，‎ ‎∴x＝0，y＝﹣3，‎ ‎∴N点坐标为（0，﹣3），‎ 设直线BN的解析式为y＝kx+b，‎ ‎∴‎3k+b=0‎b=-3‎，‎ ‎∴k=1‎b=-3‎，‎ ‎∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，‎ 设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3），‎ ‎∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，‎ ‎∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH‎=‎1‎‎2‎MH⋅OB=‎1‎‎2‎×(-a‎2‎+3a)×3=-‎1‎‎2‎(a-‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎27‎‎8‎，‎ ‎∵‎-‎1‎‎2‎＜0‎，‎ ‎∴a‎=‎‎3‎‎2‎时，△MBN的面积有最大值，最大值是‎27‎‎8‎，此时M点的坐标为（‎3‎‎2‎‎，-‎‎15‎‎4‎）．‎ ‎26．（12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．‎ ‎（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求DE的长；‎ ‎（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝60°，‎ ‎∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，‎ ‎∴6+t＝2（6﹣t），‎ ‎∴t＝2，‎ ‎∴t＝2时，△BPQ是直角三角形．‎ ‎（2）存在．‎ 理由：如图1中，连接BF交AC于M．‎ ‎∵BF平分∠ABC，BA＝BC，‎ ‎∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，‎ ‎∵EF∥BQ，‎ ‎∴∠EFM＝∠FBC‎=‎‎1‎‎2‎∠ABC＝30°，‎ ‎∴EF＝2EM，‎ ‎∴t＝2•（3‎-‎‎1‎‎2‎t），‎ 解得t＝3．‎ ‎（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠A＝60°，‎ ‎∵PK∥BC，‎ ‎∴∠APK＝∠B＝60°，‎ ‎∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，‎ ‎∴△APK是等边三角形，‎ ‎∴PA＝PK，‎ ‎∵PE⊥AK，‎ ‎∴AE＝EK，‎ ‎∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，‎ ‎∴△PKD≌△QCD（AAS），‎ ‎∴DK＝DC，‎ ‎∴DE＝EK+DK‎=‎‎1‎‎2‎（AK+CK）‎=‎‎1‎‎2‎AC＝3（cm）．‎ ‎（4）如图3中，连接AM，AB′‎ ‎∵BM＝CM＝3，AB＝AC，‎ ‎∴AM⊥BC，‎ ‎∴AM‎=AB‎2‎-BM‎2‎=‎3‎3‎，‎ ‎∵AB′≥AM﹣MB′，‎ ‎∴AB′≥3‎3‎‎-‎3，‎ ‎∴AB′的最小值为3‎3‎‎-‎3．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 9:57:26；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎