2019年浙江省绍兴市中考数学试卷含答案

2019年浙江省绍兴市中考数学试卷含答案

‎2019年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）‎ ‎1．（4分）﹣5的绝对值是（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．‎1‎‎5‎ D．‎‎-‎‎1‎‎5‎ ‎2．（4分）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中数字126000000用科学记数法可表示为（　　）‎ A．12.6×107 B．1.26×108 C．1.26×109 D．0.126×1010‎ ‎3．（4分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（4分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：‎ 组别（cm）‎ x＜160‎ ‎160≤x＜170‎ ‎170≤x＜180‎ x≥180‎ 人数 ‎5‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎15‎ 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　）‎ A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15‎ ‎5．（4分）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（　　）‎ A．5° B．10° C．30° D．70°‎ ‎6．（4分）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．3 D．4‎ ‎7．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）‎ A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 ‎ C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位 ‎8．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2‎2‎，则BC的长为（　　）‎ A．π B．‎2‎π C．2π D．2‎2‎π ‎9．（4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）‎ A．先变大后变小 B．先变小后变大 ‎ C．一直变大 D．保持不变 ‎10．（4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（　　）‎ A．‎24‎‎5‎ B．‎32‎‎5‎ C．‎12‎‎34‎‎17‎ D．‎‎20‎‎34‎‎17‎ 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎11．（5分）因式分解：x2﹣1＝　 　．‎ ‎12．（5分）不等式3x﹣2≥4的解为　 　．‎ ‎13．（5分）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是　 　．‎ ‎14．（5分）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为　 　．‎ ‎15．（5分）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y‎=‎kx（常数是＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是　 　．‎ ‎16．（5分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是　 　．‎ 三、解答题（本大题共8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（8分）（1）计算：4sin60°+（π﹣2）0﹣（‎-‎‎1‎‎2‎）﹣2‎-‎‎12‎．‎ ‎（2）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？‎ ‎18．（8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．‎ ‎（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．‎ ‎（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．‎ ‎19．（8分）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．‎ 根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？‎ ‎（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法．‎ ‎20．（8分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．‎ ‎（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．‎ ‎（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：‎2‎‎≈‎1.41，‎3‎‎≈‎1.73）‎ ‎21．（10分）在屏幕上有如下内容：‎ 如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．‎ ‎（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．‎ ‎（2）以下是小明、小聪的对话：‎ 小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长 小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．‎ 参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．‎ ‎22．（12分）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．‎ ‎（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．‎ ‎（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．‎ ‎23．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．‎ ‎（1）在旋转过程中，‎ ‎①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．‎ ‎②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．‎ ‎（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．‎ ‎24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．‎ ‎（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．‎ ‎（2）若a：b的值为‎1‎‎2‎，求k的最大值和最小值．‎ ‎（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．‎ ‎2019年浙江省绍兴市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）‎ ‎1．（4分）﹣5的绝对值是（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．‎1‎‎5‎ D．‎‎-‎‎1‎‎5‎ ‎【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．‎ 故选：A．‎ ‎2．（4分）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中数字126000000用科学记数法可表示为（　　）‎ A．12.6×107 B．1.26×108 C．1.26×109 D．0.126×1010‎ ‎【解答】解：数字126000000科学记数法可表示为1.26×108元．‎ 故选：B．‎ ‎3．（4分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】‎ 解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，‎ 故选：A．‎ ‎4．（4分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：‎ 组别（cm）‎ x＜160‎ ‎160≤x＜170‎ ‎170≤x＜180‎ x≥180‎ 人数 ‎5‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎15‎ 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　）‎ A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15‎ ‎【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率‎=‎15‎‎100‎=‎0.15，‎ 所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．‎ 故选：D．‎ ‎5．（4分）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（　　）‎ A．5° B．10° C．30° D．70°‎ ‎【解答】解：∠3＝∠2＝100°，‎ ‎∴木条a，b所在直线所夹的锐角＝180°﹣100°﹣70°＝10°，‎ 故选：B．‎ ‎6．（4分）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y＝kx+b，‎ ‎∴‎‎4=k+b‎7=2k+b ‎∴k=3‎b=1‎，‎ ‎∴y＝3x+1，‎ 将点（a，10）代入解析式，则a＝3；‎ 故选：C．‎ ‎7．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）‎ A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 ‎ C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位 ‎【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．‎ y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．‎ 所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），‎ 故选：B．‎ ‎8．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2‎2‎，则BC的长为（　　）‎ A．π B．‎2‎π C．2π D．2‎2‎π ‎【解答】解：连接OB，OC．‎ ‎∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，‎ ‎∴∠BOC＝90°，‎ ‎∵BC＝2‎2‎，‎ ‎∴OB＝OC＝2，‎ ‎∴BC的长为‎90⋅π⋅2‎‎180‎‎=‎π，‎ 故选：A．‎ ‎9．（4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）‎ A．先变大后变小 B．先变小后变大 ‎ C．一直变大 D．保持不变 ‎【解答】解：连接DE，‎ ‎∵S‎△CDE‎=‎‎1‎‎2‎S四边形CEGF，‎ S‎△CDE‎=‎‎1‎‎2‎S正方形ABCD‎，‎ ‎∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．‎ 故选：D．‎ ‎10．（4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（　　）‎ A．‎24‎‎5‎ B．‎32‎‎5‎ C．‎12‎‎34‎‎17‎ D．‎‎20‎‎34‎‎17‎ ‎【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：‎ 设DE＝x，则AD＝8﹣x，‎ 根据题意得：‎1‎‎2‎（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，‎ 解得：x＝4，‎ ‎∴DE＝4，‎ ‎∵∠E＝90°，‎ 由勾股定理得：CD‎=DE‎2‎+CE‎2‎‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=5‎，‎ ‎∵∠BCE＝∠DCF＝90°，‎ ‎∴∠DCE＝∠BCF，‎ ‎∵∠DEC＝∠BFC＝90°，‎ ‎∴△CDE∽△BCF，‎ ‎∴CECF‎=‎CDCB，‎ 即‎3‎CF‎=‎‎5‎‎8‎，‎ ‎∴CF‎=‎‎24‎‎5‎．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎11．（5分）因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．‎ 故答案为：（x+1）（x﹣1）．‎ ‎12．（5分）不等式3x﹣2≥4的解为　x≥2　．‎ ‎【解答】解：移项得，3x≥4+2，‎ 合并同类项得，3x≥6，‎ 把x的系数化为1得，x≥2．‎ 故答案为：x≥2．‎ ‎13．（5分）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是　4　．‎ ‎【解答】解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，‎ ‎∴第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝8，‎ ‎∴m＝15﹣8﹣3＝4．‎ 故答案为：4‎ ‎14．（5分）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为　15°或45°　．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝AE，∠DAE＝90°，‎ ‎∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，‎ 当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，‎ ‎∴∠ADE＝45°，‎ 当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，‎ ‎∴△AE′M为等边三角形，‎ ‎∴∠E′AM＝60°，‎ ‎∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，‎ ‎∵AD＝AE′，‎ ‎∴∠ADE′＝15°，‎ 故答案为：15°或45°．‎ ‎15．（5分）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y‎=‎kx（常数是＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是　y‎=‎‎3‎‎5‎x　．‎ ‎【解答】解：∵D（5，3），‎ ‎∴A（k‎3‎，3），C（5，k‎5‎），‎ ‎∴B（k‎3‎，k‎5‎），‎ 设直线BD的解析式为y＝mx+n，‎ 把D（5，3），B（k‎3‎，k‎5‎）代入得‎5m+n=3‎k‎3‎m+n=‎k‎5‎，解得m=‎‎3‎‎5‎n=0‎，‎ ‎∴直线BD的解析式为y‎=‎‎3‎‎5‎x．‎ 故答案为y‎=‎‎3‎‎5‎x．‎ ‎16．（5分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是　6+2‎2‎或10或8+2‎2‎　．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 图1的周长为1+2+3+2‎2‎‎=‎6+2‎2‎；‎ 图2的周长为1+4+1+4＝10；‎ 图3的周长为3+5‎+‎2‎+‎2‎=‎8+2‎2‎．‎ 故四边形MNPQ的周长是6+2‎2‎或10或8+2‎2‎．‎ 故答案为：6+2‎2‎或10或8+2‎2‎．‎ 三、解答题（本大题共8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（8分）（1）计算：4sin60°+（π﹣2）0﹣（‎-‎‎1‎‎2‎）﹣2‎-‎‎12‎．‎ ‎（2）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？‎ ‎【解答】解：（1）原式＝4‎×‎3‎‎2‎+‎1﹣4﹣2‎3‎‎=-‎3；‎ ‎（2）x2+1＝4x+1，‎ x2﹣4x＝0，‎ x（x﹣4）＝0，‎ x1＝0，x2＝4．‎ ‎18．（8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．‎ ‎（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．‎ ‎（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．‎ ‎【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．‎ ‎1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：‎150‎‎60-35‎‎=6‎千米；‎ ‎（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，‎ 得‎150k+b=35‎‎200k+b=10‎，‎ ‎∴k=-0.5‎b=110‎，‎ ‎∴y＝﹣0.5x+110，‎ 当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，‎ 答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．‎ ‎19．（8分）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．‎ 根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？‎ ‎（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法．‎ ‎【解答】解：（1）这5期的集训共有：5+7+10+14+20＝56（天），‎ 小聪5次测试的平均成绩是：（11.88+11.76+11.61+11.53+11.62）÷5＝11.68（秒），‎ 答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；‎ ‎（2）从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，如图中第4期与前面两期相比；‎ 从测试成绩看，两人的最好成绩是都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．‎ ‎20．（8分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．‎ ‎（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．‎ ‎（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：‎2‎‎≈‎1.41，‎3‎‎≈‎1.73）‎ ‎【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．‎ ‎∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，‎ ‎∴四边形ABOE是矩形，‎ ‎∴∠OBA＝90°，‎ ‎∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，‎ ‎∴OD＝BD•sin60°＝20‎3‎（cm），‎ ‎∴DF＝OD+OE＝OD+AB＝20‎3‎‎+‎5≈39.6（cm）．‎ ‎（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，‎ ‎∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，‎ ‎∴∠BCH＝30°，‎ ‎∵∠BCD＝165°，‎ ‎°∠DCP＝45°，‎ ‎∴CH＝BCsin60°＝10‎3‎（cm），DP＝CDsin45°＝10‎2‎（cm），‎ ‎∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10‎2‎‎+‎10‎3‎‎+‎5）（cm），‎ ‎∴下降高度：DE﹣DF＝20‎3‎‎+‎5﹣10‎2‎‎-‎10‎3‎‎-‎5＝10‎3‎‎-‎10‎2‎‎=‎3.2（cm）．‎ ‎21．（10分）在屏幕上有如下内容：‎ 如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．‎ ‎（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．‎ ‎（2）以下是小明、小聪的对话：‎ 小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长 小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．‎ 参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，如图，‎ ‎∵CD为切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠OCD＝90°，‎ ‎∵∠D＝30°，‎ ‎∴OD＝2OC＝2，‎ ‎∴AD＝AO+OD＝1+2＝3；‎ ‎（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，‎ 解：∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠DCB＝90°，‎ ‎∴∠ACO＝∠DCB，‎ ‎∵∠ACO＝∠A，‎ ‎∴∠A＝∠DCB＝30°，‎ 在Rt△ACB中，BC‎=‎‎1‎‎2‎AB＝1，‎ ‎∴AC‎=‎‎3‎BC‎=‎‎3‎．‎ ‎22．（12分）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．‎ ‎（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．‎ ‎（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：‎ 过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB•BC＝6×5＝30；‎ ‎②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：‎ 过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，‎ 则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，‎ ‎∵∠C＝135°，‎ ‎∴∠FCH＝45°，‎ ‎∴△CHF为等腰直角三角形，‎ ‎∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，‎ ‎∴BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1，‎ ‎∴AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5，‎ ‎∴S2＝AE•AG＝6×5＝30；‎ ‎（2）能；理由如下：‎ 在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，‎ 则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，‎ ‎∵∠C＝135°，‎ ‎∴∠FCG＝45°，‎ ‎∴△CGF为等腰直角三角形，‎ ‎∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，‎ 设AM＝x，则BM＝6﹣x，‎ ‎∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，‎ ‎∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣5.5）2+30.25，‎ ‎∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．‎ ‎23．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．‎ ‎（1）在旋转过程中，‎ ‎①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．‎ ‎②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．‎ ‎（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．‎ ‎【解答】解：（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．‎ ‎②显然∠MAD不能为直角．‎ 当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，‎ ‎∴AM＝20‎2‎或（﹣20‎2‎舍弃）．‎ 当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，‎ ‎∴AM＝10‎10‎或（﹣10‎10‎舍弃）．‎ 综上所述，满足条件的AM的值为20‎2‎或10‎10‎．‎ ‎（2）如图2中，连接CD．‎ 由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，‎ ‎∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30‎2‎，‎ ‎∵∠AD2C＝135°，‎ ‎∴∠CD2D1＝90°，‎ ‎∴CD1‎=CD‎2‎‎2‎+‎D‎1‎D‎2‎‎2‎=‎30‎6‎，‎ ‎∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，‎ ‎∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，‎ ‎∴∠BAD1＝∠CAD2，‎ ‎∵AB＝AC，AD2＝AD1，‎ ‎∴△BAD2≌△CAD1（SAS），‎ ‎∴BD2＝CD1＝30‎6‎．‎ ‎24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．‎ ‎（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．‎ ‎（2）若a：b的值为‎1‎‎2‎，求k的最大值和最小值．‎ ‎（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ 作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴FH＝AB，MQ＝BC，‎ ‎∵AB＝CB，‎ ‎∴FH＝MQ，‎ ‎∵EF⊥MN，‎ ‎∴∠EON＝90°，‎ ‎∵∠ECN＝90°，‎ ‎∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°‎ ‎∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，‎ ‎∴△FHE≌△MQN（ASA），‎ ‎∴MN＝EF，‎ ‎∴k＝MN：EF＝1．‎ ‎（2）∵a：b＝1：2，‎ ‎∴b＝2a，‎ 由题意：2a≤MN‎≤‎‎5‎a，a≤EF‎≤‎‎5‎a，‎ ‎∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值‎=‎‎5‎，‎ 当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为‎2‎‎5‎‎5‎．‎ ‎（3）连接FN，ME．‎ ‎∵k＝3，MP＝EF＝3PE，‎ ‎∴MNPM‎=EFPE=‎3，‎ ‎∴PNPM‎=PFPE=‎2，∵∠FPN＝∠EPM，‎ ‎∴△PNF∽△PME，‎ ‎∴NFME‎=PNPM=‎2，ME∥NF，‎ 设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，‎ ‎①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．‎ ‎∵∠MPE＝∠FPH＝60°，‎ ‎∴PH＝2m，FH＝2‎3‎m，DH＝10m，‎ ‎∴ab‎=ABAD=FHHD=‎‎3‎‎5‎．‎ ‎②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE‎=‎‎3‎m，‎ ‎∴HC＝PH+PC＝13m，‎ ‎∴tan∠HCE‎=MBBC=HEHC=‎‎3‎‎13‎，‎ ‎∵ME∥FC，‎ ‎∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，‎ ‎∵∠B＝∠D，‎ ‎∴△MEB∽△CFD，‎ ‎∴CDMB‎=FCME=‎2，‎ ‎∴ab‎=CDBD=‎2MBBC=‎‎2‎‎3‎‎13‎，‎ 综上所述，a：b的值为‎3‎‎5‎或‎2‎‎3‎‎13‎．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 9:58:06；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎