2019年浙江省杭州市中考数学试卷含答案

2019年浙江省杭州市中考数学试卷含答案

‎2019年浙江省杭州市中考数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；‎ ‎1．（3分）计算下列各式，值最小的是（　　）‎ A．2×0+1﹣9 B．2+0×1﹣9 C．2+0﹣1×9 D．2+0+1﹣9‎ ‎2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）‎ A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3‎ ‎3．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）‎ A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 ‎ C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72‎ ‎5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 ‎6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）‎ A．ADAN‎=‎ANAE B．BDMN‎=‎MNCE C．DNBM‎=‎NEMC D．‎DNMC‎=‎NEBM ‎7．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　）‎ A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° ‎ C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°‎ ‎8．（3分）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）‎ A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx ‎ C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）‎ A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 ‎ C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1‎ 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；‎ ‎11．（4分）因式分解：1﹣x2＝　 　．‎ ‎12．（4分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于　 　．‎ ‎13．（4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　 　cm2（结果精确到个位）．‎ ‎14．（4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　 　．‎ ‎15．（4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式　 　．‎ ‎16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　 　．‎ 三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（6分）化简：‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎1‎ 圆圆的解答如下：‎ ‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎‎1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．‎ ‎18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．‎ 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 甲组 ‎48‎ ‎52‎ ‎47‎ ‎49‎ ‎54‎ 乙组 ‎﹣2‎ ‎2‎ ‎﹣3‎ ‎﹣1‎ ‎4‎ ‎（1）补充完成乙组数据的折线统计图．‎ ‎（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系．‎ ‎②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．‎ ‎（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．‎ ‎（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．‎ ‎20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．‎ ‎（1）求v关于t的函数表达式；‎ ‎（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．‎ ‎①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．‎ ‎②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．‎ ‎21．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．‎ ‎（1）求线段CE的长；‎ ‎（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．‎ ‎22．（12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．‎ ‎（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x‎=‎‎1‎‎2‎时，y‎=-‎‎1‎‎2‎．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．‎ ‎（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．‎ ‎（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn‎＜‎‎1‎‎16‎．‎ ‎23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．‎ ‎（1）若∠BAC＝60°，‎ ‎①求证：OD‎=‎‎1‎‎2‎OA．‎ ‎②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．‎ ‎（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．‎ ‎2019年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；‎ ‎1．（3分）计算下列各式，值最小的是（　　）‎ A．2×0+1﹣9 B．2+0×1﹣9 C．2+0﹣1×9 D．2+0+1﹣9‎ ‎【解答】解：A.2×0+1﹣9＝﹣8，‎ B．2+0×1﹣9＝﹣7‎ C．2+0﹣1×9＝﹣7‎ D．2+0+1﹣9＝﹣6，‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）‎ A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3‎ ‎【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，‎ ‎∴m＝﹣3，n＝2．‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：连接OA、OB、OP，‎ ‎∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ 在Rt△AOP和Rt△BOP中，‎ OA=OBOP=OP‎，‎ ‎∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），‎ ‎∴PB＝PA＝3，‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）‎ A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 ‎ C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72‎ ‎【解答】解：设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：‎ ‎3x+2（30﹣x）＝72．‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 ‎【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）‎ A．ADAN‎=‎ANAE B．BDMN‎=‎MNCE C．DNBM‎=‎NEMC D．‎DNMC‎=‎NEBM ‎【解答】解：∵DN∥BM，‎ ‎∴△ADN∽△ABM，‎ ‎∴DNBM‎=‎ANAM，‎ ‎∵NE∥MC，‎ ‎∴△ANE∽△AMC，‎ ‎∴NEMC‎=‎ANAM，‎ ‎∴DNBM‎=‎NEMC．‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　）‎ A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° ‎ C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°‎ ‎【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，‎ ‎∴2∠C＝180°，‎ ‎∴∠C＝90°，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、由①可知：a＞0，b＞0．‎ ‎∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；‎ B、由①可知：a＜0，b＞0．‎ ‎∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；‎ C、由①可知：a＜0，b＞0．‎ ‎∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；‎ D、由①可知：a＜0，b＜0，‎ ‎∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．‎ 故选：A．‎ ‎9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）‎ A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx ‎ C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx ‎【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，‎ ‎∴∠EAB＝x，‎ ‎∴∠FBA＝x，‎ ‎∵AB＝a，AD＝b，‎ ‎∴FO＝FB+BO＝a•cosx+b•sinx，‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）‎ A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 ‎ C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1‎ ‎【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+1，‎ ‎∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，‎ ‎∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，‎ ‎∴M＝2，‎ ‎∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，‎ ‎∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；‎ 当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；‎ 综上可知，M＝N或M＝N+1．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；‎ ‎11．（4分）因式分解：1﹣x2＝　（1﹣x）（1+x）　．‎ ‎【解答】解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），‎ 故答案为：（1﹣x）（1+x）．‎ ‎12．（4分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于　mx+nym+n　．‎ ‎【解答】解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，‎ 则这m+n个数据的平均数等于：mx+nym+n．‎ 故答案为：mx+nym+n．‎ ‎13．（4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　113　cm2（结果精确到个位）．‎ ‎【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积‎=‎1‎‎2‎×‎2π×3×12＝36π≈113（cm2）．‎ 故答案为113．‎ ‎14．（4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC‎=‎(2x‎)‎‎2‎-‎x‎2‎=‎‎3‎x，所以cosC‎=BCAC=‎3‎x‎2x=‎‎3‎‎2‎；‎ 若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC‎=‎(2x‎)‎‎2‎+‎x‎2‎=‎‎5‎x，所以cosC‎=ACBC=‎2x‎5‎x=‎‎2‎‎5‎‎5‎；‎ 综上所述，cosC的值为‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎．‎ 故答案为‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎．‎ ‎15．（4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式　y＝﹣x+1　．‎ ‎【解答】解：设该函数的解析式为y＝kx+b，‎ ‎∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，‎ ‎∴‎k+b=0‎b=1‎ 解得：k=-1‎b=1‎，‎ 所以函数的解析式为y＝﹣x+1，‎ 故答案为：y＝﹣x+1．‎ ‎16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　2（5+3‎5‎）　．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABC是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，‎ 由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，‎ ‎∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，‎ ‎∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，‎ ‎∵△A′EP∽△D′PH，‎ ‎∴D'HPA'‎‎=‎PD'‎EA'‎，‎ ‎∴ax‎=‎x‎4a，‎ ‎∴x2＝4a2，‎ ‎∴x＝2a或﹣2a（舍弃），‎ ‎∴PA′＝PD′＝2a，‎ ‎∵‎1‎‎2‎•a•2a＝1，‎ ‎∴a＝1，‎ ‎∴x＝2，‎ ‎∴AB＝CD＝2，PE‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎，PH‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎，‎ ‎∴AD＝4+2‎5‎‎+‎5‎+‎1＝5+3‎5‎，‎ ‎∴矩形ABCD的面积＝2（5+3‎5‎）．‎ 故答案为2（5+3‎5‎）‎ 三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（6分）化简：‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎1‎ 圆圆的解答如下：‎ ‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎‎1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．‎ ‎【解答】解：圆圆的解答错误，‎ 正确解法：‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎1‎ ‎=‎4x‎(x-2)(x+2)‎-‎2(x+2)‎‎(x-2)(x+2)‎-‎‎(x-2)(x+2)‎‎(x-2)(x+2)‎‎ ‎ ‎=‎‎4x-2x-4-x‎2‎+4‎‎(x-2)(x+2)‎‎ ‎ ‎=‎‎2x-‎x‎2‎‎(x-2)(x+2)‎‎ ‎ ‎=-‎xx+2‎‎．‎ ‎18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．‎ 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 甲组 ‎48‎ ‎52‎ ‎47‎ ‎49‎ ‎54‎ 乙组 ‎﹣2‎ ‎2‎ ‎﹣3‎ ‎﹣1‎ ‎4‎ ‎（1）补充完成乙组数据的折线统计图．‎ ‎（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系．‎ ‎②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：‎ ‎（2）①x甲‎=‎50‎+‎x乙．‎ ‎②S甲2＝S乙2．‎ 理由：∵S甲2‎=‎‎1‎‎5‎[（48﹣50）2+（52﹣50）2+（47﹣50）2+（49﹣50）2+（54﹣50）2]＝6.8．‎ S乙2‎=‎‎1‎‎5‎[（﹣2﹣0）2+（2﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（4﹣0）2]＝6.8，‎ ‎∴S甲2＝S乙2．‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．‎ ‎（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．‎ ‎（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，‎ ‎∴PA＝PB，‎ ‎∴∠B＝∠BAP，‎ ‎∵∠APC＝∠B+∠BAP，‎ ‎∴∠APC＝2∠B；‎ ‎（2）根据题意可知BA＝BQ，‎ ‎∴∠BAQ＝∠BQA，‎ ‎∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，‎ ‎∴∠BQA＝2∠B，‎ ‎∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，‎ ‎∴5∠B＝180°，‎ ‎∴∠B＝36°．‎ ‎20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．‎ ‎（1）求v关于t的函数表达式；‎ ‎（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．‎ ‎①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．‎ ‎②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，‎ ‎∴v关于t的函数表达式为：v‎=‎‎480‎t，（0≤t≤4）．‎ ‎（2）①8点至12点48分时间长为‎24‎‎5‎小时，8点至14点时间长为6小时 将t＝6代入v‎=‎‎480‎t得v＝80；将t‎=‎‎24‎‎5‎代入v‎=‎‎480‎t得v＝100．‎ ‎∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．‎ ‎②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：‎ ‎8点至11点30分时间长为‎7‎‎2‎小时，将t‎=‎‎7‎‎2‎代入v‎=‎‎480‎t得v‎=‎960‎‎7‎＞‎120千米/小时，超速了．‎ 故方方不能在当天11点30分前到达B地．‎ ‎21．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．‎ ‎（1）求线段CE的长；‎ ‎（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．‎ ‎【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1，‎ ‎∴DE＝1﹣a，‎ ‎∵S1＝S2，‎ ‎∴a2＝1×（1﹣a），‎ 解得，a‎1‎‎=-‎5‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎（舍去），a‎2‎‎=‎5‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎，‎ 即线段CE的长是‎5‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎；‎ ‎（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，‎ ‎∴CH＝0.5，‎ ‎∴DH‎=‎1‎‎2‎‎+0．‎‎5‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∵CH＝0.5，CG‎=‎5‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴HG‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴HD＝HG．‎ ‎22．（12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．‎ ‎（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x‎=‎‎1‎‎2‎时，y‎=-‎‎1‎‎2‎．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．‎ ‎（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．‎ ‎（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn‎＜‎‎1‎‎16‎．‎ ‎【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；‎ ‎∴二次函数经过点（0，0），（1，0），‎ ‎∴x1＝0，x2＝1，‎ ‎∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，‎ 当x‎=‎‎1‎‎2‎时，y‎=-‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴乙说点的不对；‎ ‎（2）对称轴为x‎=‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎，‎ 当x‎=‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎时，y‎=-‎‎(x‎1‎-‎x‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎是函数的最小值；‎ ‎（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，‎ ‎∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，‎ ‎∴mn＝[‎-(x‎1‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎4‎][‎-(x‎2‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎4‎]‎ ‎∵0＜x1＜x2＜1，‎ ‎∴0‎≤-(x‎1‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎1‎‎4‎≤‎‎1‎‎4‎，0‎≤-(x‎2‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎1‎‎4‎≤‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴0＜mn‎＜‎‎1‎‎16‎．‎ ‎23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．‎ ‎（1）若∠BAC＝60°，‎ ‎①求证：OD‎=‎‎1‎‎2‎OA．‎ ‎②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．‎ ‎（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．‎ ‎【解答】解：（1）①连接OB、OC，‎ 则∠BOD‎=‎‎1‎‎2‎BOC＝∠BAC＝60°，‎ ‎∴∠OBC＝30°，‎ ‎∴OD‎=‎‎1‎‎2‎OB‎=‎‎1‎‎2‎OA；‎ ‎②∵BC长度为定值，‎ ‎∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，‎ 当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎△ABC面积的最大值‎=‎1‎‎2‎×‎BC×AD‎=‎1‎‎2‎×‎2OBsin60°‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎‎4‎；‎ ‎（2）如图2，连接OC，‎ 设：∠OED＝x，‎ 则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，‎ 则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx‎=‎‎1‎‎2‎∠BOC＝∠DOC，‎ ‎∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，‎ ‎∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，‎ ‎∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，‎ 即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，‎ 化简得：m﹣n+2＝0．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 9:55:46；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎