中考数学专题复习练习：多边形内角和

中考数学专题复习练习：多边形内角和

典型例题一 例01．已知：一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数. ‎ 解答：设这个多边形的边数为，根据题意，得 ‎. ‎ ‎ ，‎ 说明：本题考查多边形的内角和定理，解题关键是设边数为，根据多边形内角和定理及已知条件列出关于的方程. ‎ 典型例题二 例02．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求此多边形的边数. ‎ 解答：设此多边形的边数为. 则 ‎ ‎ ‎∴‎ 答：这个多边形是六边形. ‎ 说明：本题考查了多边形的内角和、外角和定理，解题关键是设边数为，列出关于的方程. ‎ 典型例题三 例03．已知：如图，求的度数. ‎ 解法1：∵，，‎ ‎∴ ‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ 解法2：连结BF，则 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎ 说明：求复杂图形的角度时，要善于利用三角形和四边形.‎ 典型例题四 例04．多边形的内角中最少应有（ ）锐角. ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．没有 错解：选A. ‎ 正解：选D. ‎ 说明：错解中没有考虑当多边形为四边形时，四个内角可以都为直角，故没有锐角. ‎ 典型例题五 例05．如图，已知六边形ABCDEF中，.‎ 求证：. ‎ 证明：向两方分别延长AB、CD、EF，如图，得. ‎ ‎∵. ‎ 同理 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴ 为等边三角形. ‎ 同理，、均为等边三角形. ‎ ‎∴也为等边三角形. ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎ ‎∴ ‎ 说明：本题的解题关键是作辅助线，构成等边三角形. ‎ 典型例题六 例06．已知：一个四边形的四个内角的比为，求它的四个内角的度数. ‎ 分析：若设四边形四个内角中，最小的角为，则另外的三个角都可以用表示出来. 因四边形的内角和是一个已知数，我们就可以得到关于的方程，从而求出四边形的四个内角的度数. ‎ 解答：设四边形的最小的角的度数为，则另外3个度数为，和，根据题意，得 ‎，解得 ， ∴ ，‎ 即四边形的四个角度数为，，和. ‎ 说明：四边形不具有稳定性，但它的内角和是固定的，等于，所以在求解四边形的内角的过程中，内角和起着重要作用. ‎ 典型例题七 例07．如图，已知：求的度数. ‎ 分析：我们只知规则图形的内角之和. 所以想办法把移到和其他几个角同一图形中，因此考虑到连结AD. 所以有，所以求就是求四边形ABCD的内角和. ‎ 解答：连结AD，‎ 则在和中，‎ ‎. ‎ 在四边形ABCD中，‎ ‎，‎ 即. ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 说明：此类型题的求法，一般是将所要求的角归纳到几个四边形和三角形中，利用四边形、三角形的性质来解，在求解过程中，不妨适当添加辅助线，使所求角处在四边形或三角形中. ‎ 典型例题八 例08．一个多边形的每个内角度数都为，求它的边数. ‎ 分析：多边形的内角和可以通过公式计算出来. ‎ ‎ 如果知道每个内角的度数，则可由每个内角度数角的个数来表示出来. ‎ 解答：设多边形的边数为，根据题意得，‎ ‎，解得 即多边形为12边形. ‎ 说明：多边形的内角和常常用到，而多边形的外角和用起来往往也很方便，因为外角和是一个固定的值，它不受边数变化的影响，总是，所以我们也能利用外角和求解. 如，本题中，每个内角为，所以空的每个外角为. 因为多边形的外角和为，而，所以它是12边形. ‎ 典型例题九 例09．已知一个多边形共有27条对角线. ‎ 求：（1）这个多边形是几边形？‎ ‎（2）此多边形的内角和的度数. ‎ 分析：要求多边形的边数是多少，实际上是要求掌握对角线与边数之间的关系式，即对角线数，若求出了边数，内角和就容易求到. ‎ 解答：（1）设边数为，根据题意得：‎ ‎，解得或（舍）‎ ‎∴ 这个多边形是9边形. ‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴此多边形的内角和为. ‎ 典型例题十 例10．如图，已知：四边形ABCD中， BD平分. 若，. ‎ 求证：. ‎ 分析：直接证明比较困难，又由BD平分考虑到添加辅助线，构造与或相等的角. 作，连结DE，则容易证出，，又由，可知. 因此可证出. ‎ 证明：在AB上截取，连结DE. ‎ ‎∵BD平分，‎ ‎∴. ‎ 在和中，‎ ‎∴ ∴，‎ ‎∴ ∵ ‎ ‎∴ ‎ 说明：对于任意多边形的问题，经常分解为若干个三角形，然后利用三角形的性质去解，这是处理四边形问题时常用的重要思路. ‎ 选择题 ‎1．已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是（ ）‎ A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ‎2．若多边形的边数由3倍增加到n（n为正整数，且），则其外角和的度数（ ）‎ A．增加 B．减少 C．不变 D．不确定 ‎3．若一个多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎5．一个五边形有三个内角是直角，另两个都等于n°，则n的值是（ ）‎ A．45 B．135 C．120 D．108‎ ‎6．所有内角都相等的18边形，它的每个内角、外角的度数是（ ）‎ A．120°，60° B．140°，40° C．160°，20° D．100°，80°‎ ‎7．过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形边数是（ ）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎8．下列命题中，正确的有（ ）‎ ‎①七边形有14条对角线；②外角和大于内角和的多边形只有三角形；③若一个多边形的内角和与外角和是4：1，则它是九边形. ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 参考答案 ‎1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C 7．C 8．C ‎ 填空题 ‎1．六边形的内角和是_________，十二边形的内角和是_________. ‎ ‎2．如果一个多边形的内角和为1260°，那么边数是________. ‎ ‎3．当多边形的边数增加一条时，其内角和增加_____度. ‎ ‎4．将n边形的边数增加一倍，那么它的内角和增加_______度. ‎ ‎5．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则 参考答案 ‎1．720°，1800° ‎ ‎2．9 ‎ ‎3．180° ‎ ‎4． ‎ ‎5．125．（提示：可求） ‎ 解答题 ‎1．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的边数. ‎ ‎2．在五边形ABCDE中，若，. 求、、的度数. ‎ ‎3．一个多边形的内角和与外角和的差为，求它的边数. ‎ ‎4．一个多边形的每个内角都等于144°，求它的边数. ‎ ‎5．一个多边形，除去一个内角之外，其余各角之和为3290°，求这个内角的度数（用两种方法）. ‎ ‎6．一个边形除去一个内角之外的所有内角之和是，求这个内角的度数. ‎ ‎7．多边形的每一个内角都等于它相邻的外角的4倍，求多边形的边数. ‎ ‎8．五边形ABCDE中，已知. 求 ‎9．有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1：2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数. ‎ ‎10．如图，求的度数. ‎ ‎11．在六边形ABCDEF中，，且，求和的度数. ‎ ‎12．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数. ‎ ‎13．在四边形ADEF中，于C，于B，已知，求四边形ADEF的面积. ‎ ‎14．在四边形ABCD中，，求和 的度数. ‎ ‎15．如图所示，ABCD是一块四边形菜地的示意图，EFG是流过这块菜地的水渠，水渠东边的地属张家承包，水渠西边的地属李家承包，现在村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并且要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由. ‎ ‎16．如图，是一个用六根竹条联接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到内架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点连接，设计出两种不同的联接方案（用直尺连接）. ‎ 参考答案 ‎1．12‎ ‎2．解：设，则有 ‎∴ . ∴ . ‎ ‎3．解：设边数为. 则∴‎ 答：这个多边形是9边形. ‎ ‎4． ‎ ‎5．130°‎ ‎6．解法1：∵除去的内角，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ∴ 所求的角为 解法2：设除去的角为，则，‎ 因为多边形的内角和是的整数倍，则除去的角与上面的余数和为，即. ∴ . ‎ ‎7．10 ‎ ‎8．180°. ‎ ‎（提示：∴，∴）‎ ‎9．12，24‎ ‎10．解：连BE，则 ‎∵ ，‎ ‎∴‎ ‎11．与的两边分别平行，则这两个角相等或互补，结合图形可得. 连接DF，五边形ABCDEF内角和为，则，. ‎ ‎. ‎ ‎12．设这个多边形边数为n，则有. ‎ ‎13．50 ‎ ‎14．‎ ‎15．略 ‎16．连结EG，过F作EG的平行线交AB于H，（交CD于P），则EH为所求，理由略 图中（1）～（5）依题意而作，而（6）～（8）均不符合联结要求. ‎