中考数学专题复习练习：角的量度

中考数学专题复习练习：角的量度

关于角的度量的典型例题一 例 如图，你知道以A为顶点的角有哪些吗？除了以A为顶点的角外，图中还有哪些角？你会将它们表示出来吗？‎ 解：以 A为顶点的角有，其他的角有．‎ 说明：（1）在数以A为顶点的角的个数时，先选定一边为始边（如AB），确定以始边为一边的角的个数，再依次把后面的边看作起始边，数出角的个数，相加即可得角的总数．本题中以AB为始边的角有3个（如图1），以AD为始边的角有两个（如图2），以AE为始边的角有1个（如图3），在数角时注意要向同一个方向数，以免重复，这与线段的数法类似；（2）目前我们所说的角一般都是指小于平角的角．所以以D为顶点的平角和以E为顶点的平角不包括在内．‎ ‎（3）角的表示方法共有四种，可根据需求灵活选定；①用三个大写字母表示角，此时表示角的顶点的字母应写在中间（如∠BAD）；②用一个大写字母表示角，适用于以某一点为顶点的角只有一个（如∠B或∠C）；③用希腊字母等表示角，此时要在所表示的角的顶点处加上连接两边的弧线，以明确所表示的是图中的哪个角（如∠或∠）；④用数字表示角（如∠1或∠2）．‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 关于角的度量的典型例题二 例（1）下图中能用一个大写字母表示的角是___________．‎ ‎（2）以A为顶点的角有_____________个，它们是________________．‎ 分析 ‎：第（1）题中，能用一个大写字母表示的这个角必须是独立的一个角，所以只能是；第（2）题中，以A为顶点的角，必须含A，而且A为公共端点，这样的角有6个，以AC为一边的角：，以AE为边且不重复的角：，以AD为边且不重复的角：．‎ 答案：（1）；（2）6个．‎ 说明：要正确写出答案，首先要弄清角的定义是什么，其次是熟悉表示角的方法，特别对于（2），还要仔细、认真地找出所有的角．‎ 关于角的度量的典型例题三 例 （1）把25.72°分别用度、分、秒表示．‎ ‎（2）把45°12′30″化成度．‎ 分析：第（1）题中25.72°含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可，第（2）题中，45°21′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．‎ 解：（1）0.72°＝0.72×61′＝43.2′‎ ‎0.2′＝0.2×60″＝12″‎ 所以25.72°＝25°43′12″‎ ‎（2）‎ 所以45°12′30″＝45.21°‎ 说明：①是由高级单位向低级单位化：②是由低级单位向高级单位化．它们都必须是逐级进行的，“越级”化单位容易出错而且还要熟记他们之间的换算关系．‎ 关于角的度量的典型例题四 例 计算：‎ ‎（1）53°39′＋36°40′；（2）92°3′－48°34′；‎ ‎（3）53°25′28″×5； （4）15°20′÷6．‎ 解：（1）53°39′＋36°40′＝89°＋79＝90°19′；‎ ‎（2）92°3′－48°34′＝91°63′－48°34′＝43°29′；‎ ‎（3）53°25′28″×5＝265°＋125′＋140″＝267°7′20″；‎ ‎（4）15°20′÷6＝2°＋（3×60′＋20′）÷6＝2°33′20″．‎ 说明：角度的运算规律为：（1）加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1为60；（2）乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；（3）除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽就按题意要求，进行四舍五入；（4）度、分、秒之间的互化有：由低级单位向高级单位转化，使用的公式是．例如30°42′，可化为30.7°‎ ‎；另一种是由高级单位向低级单位转化，使用的公式是1°＝60′，1′＝60″，例如2.45°可化为2°27′，在度、分、秒的互化过程中要逐级进行，不要“跳级”，以免出错．‎ 关于角的度量的典型例题五 例 当时钟表面3时25分时，你知道时针与分针所夹角的度数是多少？‎ 解：法一：从3时整开始，分针转过了6°×25＝150°，时针转过了0.5°×25＝，因为3点整时两针夹角为90°，所以3时25分时两针夹角为150°－90°－12.5°＝．‎ 法二：3时25分时，分针在钟面“5”字上，时针从“3”字转过了0.5°×25＝．又“3”、“5”两字之间夹角为60°，所以3时25分时两针夹角为60°－12.5°＝．‎ 法三：设所求夹角度数为x°，将分针视作在追赶并超过时针，它们的速度分别是/min和0.5°/min，‎ 则由题意，‎ 得方程，‎ ‎．‎ 说明：（1）此题是角的度量的实际应用，它能加深我们对角的意义的理解．解题的关键是明确钟面上分针1分钟转过的角度是6°，时针1分钟转过的角度是分针转过角度的，即0.5°；（2）解题时要注意分针在运动时，时针也在运动，而不能认为时针静止；（3）这类题型可视作时针和分针在作相对运动，可以参照环形线路上的行程问题列方程（组）求解，也可以以钟面上“格”作单位，即分针和时针每分钟走1格和格．‎ 关于角的度量的典型例题六 ‎ 例 （1）指出图中OA、OB所处的位置．（2）画出OC射线，OC射线在北偏西45°．‎ ‎ 分析：①根据方位角，描述出射线所在的方位，②根据方位角确定方位．‎ ‎ 解：（1）射线OA在北偏东60°的方位上，射线OB在南偏东25°‎ 的方位上．（2）如图所示．‎ ‎ 说明：方位角都是以正南、正北为基准的，通过方位角确定方位时，一般以第一个方向作为角的始边，根据第二个方向作为旋转的方向，旋转相应的角度就可以确定方位．‎ 关于角的度量的典型例题六 ‎ 例 （1）指出图中OA、OB所处的位置．（2）画出OC射线，OC射线在北偏西45°．‎ ‎ 分析：①根据方位角，描述出射线所在的方位，②根据方位角确定方位．‎ ‎ 解：（1）射线OA在北偏东60°的方位上，射线OB在南偏东25°的方位上．（2）如图所示．‎ ‎ 说明：方位角都是以正南、正北为基准的，通过方位角确定方位时，一般以第一个方向作为角的始边，根据第二个方向作为旋转的方向，旋转相应的角度就可以确定方位．‎ 关于角的度量的选择题 ‎1．下列关于角的说法正确的是（）‎ ‎ A．两条射线组成的图形叫角 ‎ B．角的大小与这个角的两边长短无关 ‎ C．延长一个角的两边 ‎ D．角的两边是射线，所以角不可以度量 ‎2．关于平角、周角的说法正确的是（）‎ ‎ A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 ‎ C．反向延长射线OA，就成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角 ‎3．在钝角∠AOB内部引出两条射线OC、OD，则图中共有角（）‎ ‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ‎4．如图所示，下列表示的方法中，正确的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列各角中，是钝角的是（）‎ A．平角 B．平角 C．平角 D．周角 ‎6．如图下列表示角的方法，错误的是（ ）．‎ A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中、、‎ D．表示的是 ‎7．下列语句正确的是（ ）．‎ A．由两条射线所组成的图形叫做角 B．在的边AB延长线上取一点D C．如图，就是 D．对一个角的表示没有要求，可任意书写 ‎8．下列说法中正确的是（ ）．‎ ‎①两条射线所组成的图形叫做角 ‎②角的大小与边的长短无关 ‎③角的两边可以一样长，也可以一长一短 ‎④角的两边是两条射线 A．①② B．②④ C．②③ D．③④‎ ‎9．下列说法中正确的个数是（ ）．‎ ‎①直线AB是一个平角 ‎②两锐角的角的和不一定大于90°‎ ‎③两个锐角的和不一定大于180°‎ ‎④周角只有一条边 A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎10．40°15′的一半是（ ）．‎ A．20° B．20°7′ C．20°8′ D．20°7′30″‎ ‎11．已知三个非零度角的度数之和为180°，则这三个角中至少有一个角不大于（ ）．‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ 参考答案 ‎1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．D 关于角的度量的填空题 ‎1．把周角平均分成360分，每份_________的角，1°＝____________，1′‎ ‎＝_________．‎ ‎2．6点30分时，时针和分针的夹角是_________度．‎ ‎3．6点50分钟面上时针与分针所成的角为________度．‎ ‎4．4.75°＝______°________′___________″．‎ ‎5．用度、分、秒表示52.73°为____度____分____秒．‎ ‎6．15°48′36″＝_____________°．‎ ‎7．在图中，用三个大写字母表示为________；为________；为________；为________．‎ ‎8．在内部过顶点O引3条射线，则共有___________个角，如果引出99条射线，则共有_____________个角．‎ ‎9．计算90°－57°34′44″的结果为_______________．‎ ‎10．如图，是直角，，则度．‎ ‎11．在图中，A、B、C三点分别代表邮局，医院、 学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏 西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中A点应该是___________，B点是_________，C点是_________．‎ 参考答案 ‎1．1°，60′，60″‎ ‎2．15 ‎ ‎3．95‎ ‎4．4，45，0 ‎ ‎5．52，43，48‎ ‎6．15．81‎ ‎7．∠BDE；∠DBE；∠ABC；∠ACB ‎8．10 5050‎ ‎9．32°25′16″‎ ‎10．26°‎ ‎11．邮局，医院，学校 关于角的度量的解答题 ‎1．钟表2时15分时，你知道时针与分针的夹角是多少度吗？‎ ‎2．用剪刀沿直线剪掉长方形的一个角，数一数，还剩多少个角？‎ ‎3．如图，从一点O出发引射线OA、OB、OC、OD、OE，请你数一数图中有多少个角．‎ ‎4．计算：（1）77°52′＋32°43′－21°17′；‎ ‎（2）37°15′×3；‎ ‎（3）175°52′÷3．‎ ‎（4）23°45′＋24°16′‎ ‎（5）53°25′28″×5‎ ‎（6）15°20′÷6‎ ‎5．如图，在内部，从顶点O引出3条射线OC、OD、OE，则图形中共有几个角？如果从O点引出几条射线，有多少个角？你能找出规律吗？‎ ‎6．如图，已知OE是的角平分线，OD是的平分线．‎ ‎（1）若，求的度数；‎ ‎（2）若，求的度数．‎ ‎7．如图，指出OA表示什么方向的一条射线？并画出表示下列方向的射线：‎ ‎（1）南偏东60° （2）北偏西40°‎ ‎（2）南北方向 ‎8．时钟的时针从2点半到2点54分共转了多大角度？‎ ‎9．已知线段a、b、∠用尺规画一个△ABC，使．‎ ‎10．小明在宾馆大厅内看到反映世界几个大城市当前时刻的时钟如下（如图），请你分别写出每个钟面上时针和分针的夹角．‎ ‎11．一天24小时，时钟的分针与时针共组成多少次平角？多少次周角？‎ ‎12．如图，若放置一枝铅笔，使笔尖朝AB方向并重合于AB，以A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠A的大小，与AF重合；再以F为中心，按逆时针方向旋转F的大小，与EF重合……这样连续都按逆时针方向旋转过去，最后与AB重合，这时笔尖的方向仍是朝向AB，你知道铅笔一共转过了多少度吗？这个实验能说明六边形内角和的度数吗？‎ ‎13．你知道下图中有多少三角形吗？‎ 参考答案：‎ ‎1．22.5°‎ ‎2．3个或4个或5个 ‎3．10个 ‎4．（1）89°18′；（2）112°45′；（3）58°38′‎ ‎（4）48°1′ （5）267°7′20″ （6）2°33′20″‎ ‎5．共有10个角；从O点出发引出几条射线，能组个基本角，则共有角的个数为：个角．‎ ‎6．（1）先求故 ‎（2）有则 ‎7．北偏东60°（图略）‎ ‎8．12°‎ ‎9．略 ‎10．从左至右依次为：150°、120°、30°，120°、90°、60°‎ ‎11．22次，22次 ‎12．720°，六边形内角和为720°‎ ‎13．78个