中考数学专题复习练习：垂直于弦的直径

中考数学专题复习练习：垂直于弦的直径

例 如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.‎ 分析 要充分利用条件∠BED=30°，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求得未知量.‎ 解 过O作OF⊥CD于F，连结CO，‎ ‎ ∵AE=6cm，EB=2cm， ∴AB=8cm ‎ ∴OA=AB=4cm，OE=AE-AO=2cm，‎ ‎ 在Rt△OEB中，∵∠CEA=∠BED=30°，‎ ‎ ∴OF=OE=1cm.‎ ‎ 在Rt△CFO中，OF =1cm，OC＝OA＝4cm，‎ ‎ ∴CF= cm．‎ ‎ 又∵OF⊥CD．∴ CD＝2CF＝2cm．‎ 答：CD的长为2cm.‎ 说明：此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时，常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解；另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解，较为困难.‎ 例 已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．‎ 图①‎ 分析：①此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；②利用条件构造垂径定理的基本图形解题．‎ 解：分两种情况：‎ ‎（1）如图①，过A作AD⊥BC于D，‎ 又∵AB=AC，∴点O在AD上，∴OD=3cm．连结OB，‎ 在Rt△ODB中，OB==5cm，OD=3cm，由勾股定理，得 ‎，∴‎ 图②‎ 在Rt△ADB中， AD=AO+OD=5+3=8cm，由勾股定理，得 ‎，∴（cm）‎ ‎（2）如图②，同理可得：‎ AB=（cm）．‎ 说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．‎ 例 在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.‎ 分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的两侧，即有两解.‎ 解：（略，8cm，22cm）‎ 说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题.‎ 例 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于E ，BF⊥CD于F .求证： CE=DF ；OE=OF ‎ 分析：本题的关键是作OH⊥CD，构造垂径定理的基本图形解题，另外还用到平行线等分线段定理等.‎ 证明：（一）过O作OH⊥CD于H，‎ ‎ ∵AE⊥CD，BF⊥CD ∴AE∥OH∥BF ‎ ∵AO = BO ∴EH = HF ‎ ‎ ∵OH⊥CD且O为圆心 ∴CH = HD ‎ ‎ ∴CH－EH = HD－HF 即 CE = DF ‎ ‎ ∵EH = HF ，OH⊥EF ∴ OH是EF的中垂线 ‎ ‎∴ OE = OF .‎ 证明（二）延长EO交BF于G，用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE = OF.‎ 说明：（1）此题展示构造垂径定理的基本图形解题的基本方法；（2）让几何动起来.引申：让弦CD动起来，与直径AB不相交，让学生在运动中观察、发现问题，培养学生的探究能力.‎ 例 如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.‎ 分析：（方法一）由于A是的中点，连结OA可构造垂径定理的基本图形，BE=BF，△ADO≌△BEO，得AD=BE=BF.‎ ‎（方法二）如图，补圆，延长AD交⊙O于E，造垂径定理的基本图形，问题即可解决.‎ 证明：（略）‎ 说明：此题是垂径定理的应用为过程，培养学生的发散思维.‎ 典型例题六 例 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.‎ 证明：作，垂足为E，连，则.‎ 在Rt中，.‎ 在Rt中，.‎ 即 ‎ ‎ .‎ 由垂径定理，得 说明：本题主要运用勾股定理和垂径定理证题，垂径定理是圆中很重要的性质，垂径定理包含两个条件和三个结论，即 条件 结论 在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立，这就是垂径定理的推论.‎ 典型例题七 例 已知：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.‎ ‎ 分析：本例的关键在于正确理解什么是点到的距离.‎ ‎ 解 作，垂足为，则的长为点到的距离，如图.‎ ‎ ‎ ‎ 由垂径定理知：‎ ‎ 、为等腰直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎ 由是等腰直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎ 即 ⊙的半径为.‎ ‎ 说明：作出弦的弦心距，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.‎ 典型例题八 例 如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.‎ ‎ （1）求证：四边形是正方形.‎ ‎ （2）若，，求圆心到弦和的距离.‎ ‎ 分析：由条件易知四边形是矩形，连结，，利用勾股定理计算或证三角形全等，可得.‎ ‎ 证明（1）于，于，于 ‎ 四边形为矩形.‎ ‎ 连结、，则.‎ ‎ 在⊙中，由垂径定理知，，‎ ‎，又.‎ ‎≌..‎ 四边形为正方形.‎ ‎（2）‎ 又 ‎（由垂径定理）‎ 又 圆心到弦和弦的距离都等于3.‎ 说明：本例（1）证明，还可以利用勾股定理计算，，，‎ 典型例题九 已知：如图，以为圆心，，弓形高厘米，矩形的两顶点、在弦上，、在上，且，求的长.‎ 解 连结、.‎ ‎，‎ 为等边三角形.‎ 厘米，‎ 厘米 设，则.厘米.在中，由得：.‎ 解得：（舍去）‎ 的长为厘米.‎ 说明：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法.‎ 典型例题十 例 （天津市，1993）已知：如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：.‎ 证明：过作于.‎ ‎∵ ∴ ∥∥.‎ 又∵ ∴ ‎ ‎∵ 是圆心，，∴ .‎ ‎∴ 即 .‎ 说明：本题考查垂径定理的应用，解题关键是正确作出辅助线，易错点是忽视证.‎ 典型例题十一 例 如图，过⊙O的直径AB上两点M、N，分别作弦CD、EF，若.求证：（1）；（2）.‎ 分析：因为，由圆的对称性可知，又因为，所以，所以可证得．‎ 证明：（1）∵，∴.‎ 又∵，∴.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，故.从而得.‎ ‎（2）连结AD、BE.由（1）得.‎ 故.又，得.‎ 而，∴.‎ ‎∴.‎ 典型例题十二 例 已知：⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数.‎ 解：如图所示，作，则.‎ ‎∵，在Rt中，‎ 在Rt中，‎ 当AC、AB位于OA两侧时，有；‎ 当AC、AB位于OA同侧时，有.‎ 说明：有关弦长，弦心距的问题，往往需要作垂直于弦的直径（半径或弦心距），利用垂径定理平分弦以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的.‎ 典型例题十三 例 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.‎ 分析：因为已知圆柱的半径和油的最大深度，可以求出长，即可求得油面宽度．‎ 解：连结OB，过O作于D，交⊙O于C.‎ 依题意，得.在Rt中，，‎ ‎∴.‎ 由垂径定理得 .故应填48.‎ 说明：本题主要考查垂径定理．易错点是忘记油面宽度是的2倍．‎ 选择题 ‎1、下列命题中，正确的是（ ）‎ （A） 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧；‎ （B） 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；‎ （C） 平分一条弧的直径垂直平分这条弧所对应的弦；‎ （D） 在⊙O中，AB，CD是弦，=，则AB∥CD.‎ ‎2．下列命题中错误的有（）‎ ‎（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦 ‎（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．下面四个命题中正确的一个是（）‎ A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 ‎4．下列命题中，正确的是（　　）．‎ ‎　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 ‎　B．过弦的中点的直线必过圆心 ‎　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 ‎　D．弦的垂线平分弦所对的弧 ‎5、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎6．如图，如果为⊙直径，弦，垂足为，那么下列结论中错误的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．过⊙内一点的最长弦为，最短的弦长为，则的长为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，是⊙直径，是⊙的弦，于，则图中不大于半圆的相等弧有（）对。‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎9．如图，⊙O的直径AB，垂足为点E，若，则（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎10．过⊙O内一点M的最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm，则OM的长为（ ）‎ A．cm B．cm C．1 D．3cm ‎11．已知：如图，⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若，则BE的长是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．已知⊙O的弦AB长8cm，弦心距为3cm，则⊙O的直径是（ ）‎ A．5cm B．10cm C．cm D．cm ‎13．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）‎ A．1cm B．2cm C．cm D．cm ‎14．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，，则AC的长为（ ）‎ A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm ‎15．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦，的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（ ）‎ A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．等分 D．随C点的移动而移动 ‎16．圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为6cm和4cm两部分，则弦心距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎17．如图，已知⊙的半径为，两弦与垂直相交于，若，，则（　　）．‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎18．如图，是⊙的直径，弦于，，，则弦的长为（　　）．‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎19．在⊙中，是弦，是的中点，延长交⊙于．若，则的度数是（　　）．‎ ‎　A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ 答案：‎ ‎1、C； 2. C; 3. D 4. C 5、A； 6. D 7. A 8. C.9．C 10．A 11．A 12．B 13．A 14．D 15．B 16．C. 17．C 18．C；19．C．‎ 填空题 ‎1、如图，⊙O的半径为7cm，弦AB的长为cm，则由和弦AB组成的弓形的高CD等于 cm.‎ ‎2、过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 .‎ ‎3.在⊙中，弦长为，圆心到弦的距离为，则⊙半径长为（）‎ ‎4．半径是的圆中，圆心到长的弦的距离是（）‎ ‎5. 圆的两弦、的长分别和，且，又两弦之间距离为，则圆的半径长是（）‎ ‎6. 在半径为的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长，另一条弦长，则这两条弦之间的距离为________‎ ‎7．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径，桥拱的距度m，则拱高m.‎ ‎8．如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件：‎ ‎_____________（写出一个即可），就可得到M是AB的中点.‎ ‎9．直径是1000mm的圆柱形水管面积如图所示，若水面宽mm，则水的最大深度CD为_______mm.‎ ‎10．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm，水面宽，则水管中水深是_______cm.‎ ‎11．半径为的圆中，有一弦长，圆心到此弦的距离为____________．‎ ‎12．在半径为的⊙中．圆心到弦的距离为，则弦长为__________．‎ ‎13．过⊙内一点的最长的弦长为，最短的弦长为，那么⊙的半径等于________，的长为________．‎ ‎14．已知弓形的弦长，弓形的高为，则弓形所在圆的半径为_________．‎ ‎15．半径为的⊙内有一点，且，则过点的最长弦长为________，最短弦为________．‎ ‎16．如图，矩形边经过⊙的圆心，，分别为，与⊙的交点，若，，，则⊙的径等于__________．‎ ‎17．如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高，水面宽．那么水管截面圆的半径是_________．‎ 答案:‎ ‎1、2； 2、4. 3. 5 4. 5. 6. 或. 7．4 8．或或 9．200 10．8. 2．11；12．；13．；14．；15．10，816．；17．2.‎ 解答题 ‎1．如图，弦，直径于，且，求⊙的半径。‎ ‎2．如图，在圆中，直径垂直于弦，并且交于，直径交于，且，求.‎ ‎3．如图，已知、，是⊙的直径，，求证：‎ ‎4．如图，为⊙的直径，是弦于，于，求证：.‎ ‎5．如图，⊙中，弦、垂直相交于，，，，求圆的半径。‎ 6. 已知：△ABC内接于⊙O，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F.求证：EF∥BC，EF=.‎ 7. 如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=8cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长.‎ ‎8.某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，弓顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为正方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？‎ ‎9．如图，已知：为⊙的直径，，为，的中点，弦过点，于．求证：．‎ ‎10．如图，是⊙的直径，是弦，垂足为，写出图中所有相等的线段，相等的角，相等的弧．‎ ‎11．如图，，是⊙的直径，．求证：．‎ ‎12．如图，已知：在⊙中，是直径，是弦，交于，交于．求证：．‎ ‎13．已知：如图，⊙的弦，相交于点，是的平分线，点,分别是，的中点，分别交，于点，．求证：．‎ ‎14．如图，⊙的直径和弦相交于点，，，垂足分别是，．‎ ‎(1)求证：．‎ ‎(2)若，，求的值．‎ ‎15．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为米，拱顶高出水面米，现有一艘宽米，船仓顶部为方形并高出水面米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？‎ 答案：‎ ‎1．2． 3.略 4. 略 5．‎ ‎6、（略）；7、CD=；‎ 6. 略解：如图，表示桥拱，EF=3米，可求得：‎ FN=OH-OD=2.1米，这里2米<2.1米，仅有0.1米的余量，因此货船可以通过这座拱桥，但要非常小心.‎ ‎9．作于，则．因为，，所以．所以．‎ ‎10．由圆的轴对称性可知，，，．，‎ ‎，，，‎ ‎．‎ ‎11．为中点．同理．和中，∵，∴‎ ‎12．作于；13．连结，．证；‎ ‎14．(1)作于．‎ ‎(2)连并延长交于．连结．可证≌．得，．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴．在中，，．∴，从而．‎ ‎15．选求出圆弧的半径米．设船位于正中位置．可求得公有的余量，货船可以通过这座桥，但要非常小心．‎