中考数学专题复习练习：平行线分线段成比例定理

中考数学专题复习练习：平行线分线段成比例定理

典型例题一 例01．已知：如图，，，，，求和的长 解答 ，‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 说明 本题考查平行线分线段成比例线段定理的应用，易错点是弄错对应线段，解题关键是运用平行线分线段成比例定理列出比例式求解 典型例题二 例02．如图，已知：，，，，‎ 求：线段的长 分析 由，，可找到有关、、、之间的比例关系，则由这些关系式不难求出的长 解答 ，，‎ 四边形是平行四边形 ‎，‎ ‎（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）‎ 说明 由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，不要写倒了，注意把对应的线段写在对应的位置上 典型例题三 例03．如图，已知，在中，点在上，、在上，且，‎ 求证：是和的比例中项 分析 要证是和的比例中项，就是要证 证明 ‎ ‎（平行线分线段成比例定理）‎ 同理，‎ ‎ ‎ 是和的比例中项 说明 结合题中的条件和图形的特征，把求证比例式通过恒等变形，变换成与其等价的形式，再找寻“中间比”作为过渡的桥梁，这是证明比例线段常用的方法，而如何寻找恰当的“中间比”，则是此类问题证明的难点和关键. ‎ 典型例题四 例04．如图，已知：，‎ 求证：‎ 分析 由已知条件得，由此联想到要证，只需证.那么，要证需证，由已知条件，这个比例式可证 证明 ，‎ ‎（平行线分线段成比例定理）‎ 又，‎ ‎（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边）‎ 说明 在证明过程中，要分清性质定理和判定定理，由平行得出比例式用的性质定理，由比例式得出平行用的是判定定理，另外，本题的证明过程中，也使用了“中间比” 作为过渡 典型例题五 例05．已知：如图，AD是的内角平分线 求证：‎ 分析 AB、AC不在同一直线上，而BD和CD在同一直线上. 在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们考虑不妨作一条平行线. ‎ 证明 过点C作，交BA的延长线于点E ‎，‎ 又，‎ 而，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 说明 此题是三角形的内角平分线定理，即三角形的内角平分线分对边成两条线段与夹这个角的两边对应成比例 典型例题六 例06．如图，梯形中，，为的中点，分别连结，，，，且与交于，与交于，‎ 求证：‎ 证明： ，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 说明 本题主要考查三角形一边平行线的判定，易错点是企图利用角的关系证明平行，解题关键是用中间比代换证出 典型例题七 例07．如图，，，，，则=_________‎ 解法1 如图，延长，相交于点，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 设，，‎ 又，‎ ‎ ‎ 解法2 如图，过作交于，交于 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法3 如图，过作交于，交的延长线于 ‎ ，‎ ‎ ‎ 设， ‎ ‎，，‎ ‎，即 ‎，‎ ‎，‎ 即 说明 本题考查平行线分线段成比例定理及推论的应用，解题关键是作出恰当的辅助线，将梯形的问题转化三角形问题. ‎ 典型例题八 例08．如图，中，为边的中点，延长至，延长交于. 若，‎ 求证：‎ 分析：本题有多种证明方法，现提供几种辅助线的作法供选用 ‎①过作，交于；②过作交于；③过的中点，连结；④延长至，使，连结. ‎ 证法1 过作，交于，‎ 由已知，‎ 又，‎ ‎，‎ 即 证法2 过作交于 在中，‎ ‎，‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 证法3 作的中点，连结 是的中点，‎ 且 在中，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 即 ‎，‎ 证法4 延长至，使，连结，则 又，，‎ ‎ ‎ ‎，，‎ 从而，‎ ‎∽ ‎ ‎ ‎ 典型例题九 例09．是的高，是的中点，交于，若，，，求 错解 如图 ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ，，‎ ‎ 即 ‎ 正解 ①的解法同上 ‎②时，如图 ‎，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ 即 说明 错解中因为题目没有指明的形状，所以错误解答习惯地把画成了锐角三角形，事实上，若是的钝角三角形，高在三角形外，也符合题意 典型例题十 例10．如图，的对角线交于点，是延长线上一点，交于，若，，，求的长 解答：过作的平行线交于 是对角线的交点，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 说明 本题考查平行线分线段成比例定理推论的应用，解题关键是过平行四边形对角线的交点作边的平行线 典型例题十一 例11．如图，已知梯形中，，，是上一点，交于，交于. 设，的长分别为，，，那么当点在上移动时，值是否变化？若变化，求出值的取值范围；若不变，求出值，并说明理由 解答：的值不变 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 说明 本题考查平行线分线段成比例定理推论的应用，是一道开放性试题，解题关键是先探索出题目的结论 典型例题十二 例12．已知，如左图，，，垂足分别为，，和 相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求证明）‎ 若将图左中的垂直改为斜交，如右图，，、相交于点，过作，交于点，则：‎ ‎（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 ‎（2）请找出，和间的关系式，并给出证明 解 成立 证明 （1），‎ ‎，‎ ‎（2）关系式为：‎ 分别过作于，过作于，过作交的延长线于 由题设可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 说明 ‎ 本题有两点值得回味：一是通过阅读可发现，题中蕴含着类比猜想的思想方法，因而易猜想关系式仍成立；二是有一处伏笔“不要求考生证明”，具有一定的迷惑性，因为论证猜想是否成立，还须“同样的方法”，不证而证矣 选择题 ‎1．如图，已知，下列比例式成立的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图，H为ABCD中AD边上一点，且，AC和BH交于点K，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（曲靖市，2001）已知：如图，在中，，，FD的延长线交BC的延长线于N，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（宁夏，2002）在中，，DE交AB于D，交AC于E. 如果，，，那么BC等于（ ）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎5．（上海市，2002）如图，，AD与BC相交于O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．（邵阳市，2002）下列命题错误的是（ ）‎ A．矩形是平行四边形 B．相似三角形一定是全等三角形 C．等腰梯形的对角线相等 D．两直线平行，同位角相等 ‎7．（北京市西城区，2002）如图，中，，如果，，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 参考答案：‎ ‎1．D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 填空题 ‎1．（天津市，2001）如图，，且，若，则AE的长为_______. ‎ ‎2．如图，梯形ABCD，，延长两腰交于点E，若，则_______，_________. ‎ ‎3．如图，梯形ABCD中，，且，，则_______，________. ‎ ‎4．（重庆市，2002）雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影. 如果旗杆底端到积水处的距离为，该生的眼部高度是，那么旗杆的高度是_______m. ‎ ‎5．（盐城市，2002）如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点作为观测点，从M点测得山顶P的仰角为. 在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则山顶P的海拔高度为_____. （取）‎ ‎6．（黑龙江省，2002）在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时高为米的测竿的影长为米，那么古塔的高为_____米. ‎ ‎7．（南京市，2002）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份. 如果小管口DE正好对着量具上30份处（），那么小管口径DE的长是_____毫米. ‎ ‎8．（北京市东城区，2002）在坡度为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米. ‎ ‎9．（上海市，2002）在中，点D，E分别在AB，AC上，. 如果，，，那么_______. ‎ 参考答案：‎ ‎1． ‎ ‎2．， ‎ ‎3．，3‎ ‎4． ‎ ‎5．1116 ‎ ‎6．30 ‎ ‎7．5‎ ‎8． ‎ ‎9．12 ‎ 解答题 ‎1．如图，已知菱形BEDF内接于，点E，D，F分别在AB，AC和BC上，若，，‎ 求菱形边长. ‎ ‎2．如图，已知中，，求BD的长. ‎ ‎3．如图，中，AD是角平分线，交AB于E，已知，，‎ 求DE. ‎ ‎4．如图，D，E分别是两边AB，AC上的点，哪些线段成比例推出. ‎ ‎5．如图，G是四边形ABCD的对角线BD上任一点，，. ‎ 求证：. ‎ ‎6．如图，. ‎ 求证：‎ ‎7．如图，中，，AD是AF，AB的比例中项，‎ 求证：. ‎ ‎8．如图，P是ABCD的对角线AC上的任一点，EF，MN是过点P的两直线与ABCD的边分别交于E，F，M，N. ‎ 求证：. ‎ ‎9．如图，直线FD和的边BC交于D，交AC于E，与BA的延长线交于F，且，‎ 求证：. ‎ ‎10．如图，D在BC上，且，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，‎ 求. ‎ 参考答案：‎ ‎1． ‎ ‎2．‎ ‎3． ‎ ‎4．或或 ‎ ‎5．证 ‎ ‎6．证 ‎ ‎7．证 ‎ ‎8．证 ‎9．解法1：作交DF于G；解法2：作交BC于G ‎10．‎ 解答题 ‎1．（广西，2001）如图，，，，，AH交BF于M. ‎ 求BM与CG. ‎ ‎2．如图，M是中BC边的中点，P是BC边上任一点，过P作交BA的延长线于Q，交CA于R. ‎ 求证：. ‎ ‎3．如图，AD是中BC边上中线，从C引射线交AD于E，AB于F. ‎ 求证：. ‎ ‎4．过ABCD的顶点A作任一直线与BD，BC及DC延长线于E，F，G，‎ 求证：. ‎ ‎5．如图，梯形ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，，（） ，‎ 求GH的值. ‎ ‎6．如图，，. 求的值. ‎ ‎7．如图，在ABCD中，，，，F为AB中点，EF交AC于G. 交CB的延长线于K. ‎ 求的值. ‎ ‎8．（盐城市，2001）如图，已知：，. ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）连结OD，若，求证：四边形ABCD为菱形. ‎ ‎9．（南京市，2001）以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使. 以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上. 如图所示. ‎ ‎（1）求AM、DM的长. ‎ ‎（2）求证：‎ 参考答案：‎ ‎1．‎ ‎2．∵， ∴，. ∵，‎ ‎∴‎ ‎3．过D作交AB于P. ∴. 又，∴. ‎ ‎∴. ∴‎ ‎4．得，得. ∴‎ ‎∴‎ ‎5． ‎ ‎6． ‎ ‎7． ‎ ‎8．（1）略；（2）证 ‎9．（1），；（2）‎ 解答题 ‎1．如图，中，AF平分，于E，交其延长线于D，BE的延长线交DC的延长线于G. ‎ 求证：. ‎ ‎2．（温州市，2001）如图，在正方形ABCD中，，点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG分别交AD、AE、BC于点F、H、K，交AB的延长线于点G. ‎ ‎（1）设，，用含的代数式表示；‎ ‎（2）当时，求BG的长. ‎ ‎3．（山西省，2001）（1）阅读下列材料，补全证明过程：‎ 已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，于E，连结DE交OC于点F，作于G. ‎ 求证：点G是线段BC的一个三等分点. ‎ 证明：在矩形ABCD中，‎ ‎，∴‎ ‎∵， ∴‎ ‎∴ . ‎ ‎（2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点. （要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）. ‎ ‎4．在中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于F. ‎ ‎（1）如，求的值；‎ ‎（2）如（为不小于2的自然数）. 求的值；‎ ‎（3）对于满足且均大于2的自然数，是否总存在自然数（其中，）使当，时，的值与当，时，的值相同？如果存在，写出这时与之间应满足的关系. ‎ ‎5．如图一个矩形ABCD（）中，，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感，备受人们欢迎，在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图）. 请问矩形ABFE是否是黄金矩形？证明你的结论. ‎ ‎6．（河北省，2001）在中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：‎ ‎（1）当时，有（如图）‎ ‎（2）当时，有（如图）‎ ‎（3）当时，有（如图）‎ 在下图中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明（其中是正整数）. ‎ ‎7．（黄冈市，1999）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且（）. 阅读下段材料，然后回答后面问题. ‎ 如图，连接BD. ‎ ‎∵， ∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴. ‎ ‎（1）连结AC，则EF与GH是否一定平行，答：_______. ‎ ‎（2）当值为______时，四边形EFGH为平行四边形. ‎ ‎（3）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足_______条件时，EFGH为矩形. ‎ ‎（4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足_______条件时，EFGH为菱形. ‎ ‎8．如图，在四边形ABCD中，，E、F各为BC、AD的中点，延长BA、EF、CD相交成、，求证：. ‎ 证明：连结DE，延长DE到G，使，连结BG、AG. ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎∵EF是的边AD、DG的中位线，‎ ‎∴，‎ 即 ‎∴，. ‎ 又∵，‎ ‎∴‎ 从上述命题证明过程中可以知道，通过构造一对全等三角形，将一条线段从一个三角形中移至另一个三角形中，从而使总是获得巧妙解决. ‎ ‎（1）这是一种通过将一个三角形绕旋转中心旋转，构成______图形的方法. 请用此方法完成下列命题的证明：‎ ‎（2）如图，已知中，F为中线AC上一点，DF的延长线交AB于点E. 求证：. ‎ ‎9．一条笔直的公路穿过草原，公路边有一陌生站A，距离公路30千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是90千米（如图）. 有一天，某司机驾车从陌生站送一批急救药品到居民点B，汽车在公路上的最快速度是60千米/时，而在草地上的最快速度是30千米/时. 问该司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？‎ 参考答案 ‎1．延长AC，BD交于H. 可证，得. ，‎ ‎∴，. ∴. ∴‎ ‎2．（1）过H作，；（2）过H作于T，‎ ‎3．（1）补充证明方法一：∵，，∴. ∴. ∵，∴. 又∵，∴ 方法二：∵，∴.∴，∴. ∵E是BC中点，∴ ∴点G是BC的一个三等分点. ‎ ‎（2）如图 ‎4．（1）（2）；（3）存在. ‎ ‎5．ABFE也是黄金矩形. 证略 ‎6．，证略. ‎ ‎7．（1）不一定；（2）1；（3）；（4）‎ ‎8．（1）全等；（2）延长AC到G，使，连结DG. 先证，再证可得 ‎9．过A作，过B作射线AE的垂线段BE交AC于D，D点就是应离开公路的地点. 因此，所行路线为. ‎