14届 复旦大学附属中学自主招生测试 数学卷

14届 复旦大学附属中学自主招生测试 数学卷

复旦附中数学自主招生测试（2014）第 1页（共 1页） 2014年复旦大学附属中学自主招生测试 数学卷 一．填空题 1．已知 998a  ， 997b  ， 996c  ，则 2a ab ac bc    ▲ ． 2．已知： 2 3a  ， 3 2b  ，则 1 1 1 1a b     ▲ ． 3．在△ABC中， 10AB  ， 16AC  ， BAC 的角平分线为 AN，BN和 AN垂直，垂直为 N， M为 BC的中点，则MN  ▲ ． 4．方程 23 5 4 2 3 5 x x x x       的根为 ▲ ． 5．已知一次函数 y kx b  经过点 (1,1)，且 2k  ，则该函数不经过第 ▲ 象限． 6．已知 , , , , ,a b c d e f 为实数，满足 0ace  ，已知 ax b cx d ex f     对于任意 x都成立， 则 ad bc  ▲ ． 7．已知： 2 2 2 21 2 3 1001 1 3 5 2001 A      ， 2 2 2 21 2 3 1001 3 5 7 2003 B      ，则与 A B 最接近的整 数是 ▲ ． 二．解答题 8．已知 ,x y是正整数，且 2014x y  ， 1 1 1 2014 x y xy    ，试求 x y 的最大值． 9．在△ABC中，BF和 CE分别是 ABC 和 ACB 的平分线，O是内心（角平分线的交点）， 满足OE OF ，求证：△ABC是等腰三角形或 60A  ． 10．从 1、2、3、4、…、2014这 2014个数中，抽取 n个数，放入集合 A中，从 A中任意取 3 个数后，总有一个数能够整除另一个，试求 n的最大值． 2014年复旦大学附属中学自主招生测试 复旦附中数学自主招生测试（2014）第 2页（共 1页） 数学试卷参考答案和评分标准 一．填空题 1．2 2．1 3．3 4．0；4； 4 3 5．二 6．0 7．501 二．解答题 8．解：由 1 1 1 2014 x y xy    得 1 1 2015 2014 x y x y             ； 即 2014 2014 2014 0xy x y    ； 即 ( 2014)( 2014) 2014 2013x y    ； 得： min( ) 4028 4027 1x y    ． 9．证明：在 AC上截取 'AE AE ①如果 E'和 F重合，那么 △AOE≌△AOF，△BOE≌△COF； 因此 AB AE BE AF CF AC     ； 故 △ABC是等腰三角形； ②如果 E'和 F不重合，易知 △AOE'≌△AOF； 于是 'OE OF ； 即 ' 'OFE OE F BEC     ； 由 1 2 BEC A C     ， 1 2 AFO B C    A B C E F(E') O 第 9题图① A B C E E' O F 第 9题图② 复旦附中数学自主招生测试（2014）第 3页（共 1页） 推出 1 1( ) (180 ) 2 2 B C A A       ； 即 60A  ． 10．解：首先构造两个数列：  1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024 ；  3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512 ． 共 21个数，这 21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数． 因此： 21n  ． 如果 21n  ，则构造如下集合：  1 ， 2,3 ， 4,5,6,7 ， 8,9,10, ,15 ，…， 1024,1025, ,2014 ； 共 11个集合，如果 21n  ，至少有某个集合中被选了大于等于 3个数，而这个集合中不可能 存在一个数是另一个数的倍数．矛盾． 故 n的最大值为 21．