初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆

1 第二十三讲 圆与圆 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有 如下三种方法： 1．通过两圆交点的个数确定； 2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定； 3．通过两圆的公切线的条数确定． 为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以 及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线． 熟悉以下基本图形、基本结论： 【例题求解】 【例 1】 如图，⊙Ol 与半径为 4 的⊙O2 内切于点 A，⊙Ol 经过圆心 O2，作⊙O2 的直径 BC 交⊙Ol 于点 D，EF 为过点 A 的公切线，若 O2D= 22 ，那么∠BAF= 度． 思路点拨 直径、公切线、O2 的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连 O2Ol 必过 A 点，先求 出∠D O2A 的度数． 注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使 弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因 素． (2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形， 将分散的条件集中，通过解直角三角形求解． 【例 2】 如图，⊙Ol 与⊙O2 外切于点 A，两圆的一条外公切线与⊙O1 相切于点 B，若 AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙Ol 与⊙O2 的半径之比为( ) A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3 思路点拨 添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度数， 为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A 的关系． 2 【例 3】 如图，已知⊙Ol 与⊙O2 相交于 A、B 两点，P 是⊙Ol 上一点，PB 的延长线交⊙ O2 于点 C，PA 交⊙O2 于点 D，CD 的延长线交⊙Ol 于点 N． (1)过点 A 作 AE∥CN 交⊙Oll 于点 E，求证：PA=PE； (2)连结 PN，若 PB=4，BC=2，求 PN 的长． 思路点拨 (1)连 AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA， 探寻 PN、PD、PA 对应三角形的联系． 【例 4】 如图，两个同心圆的圆心是 O，AB 是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点 D， 连结 OD 并延长交大圆于点 E，连结 BE 交 AC 于点 F，已知 AC= 24 ，大、小两圆半径差 为 2． (1)求大圆半径长； (2)求线段 BF 的长； (3)求证：EC 与过 B、F、C 三点的圆相切． 思路点拨 (1)设大圆半径为 R，则小圆半径为 R-2，建立 R 的方程；(2)证明△EBC∽△ECF； (3)过 B、F、C 三点的圆的圆心 O′，必在 BF 上，连 OˊC，证明∠O′CE=90°． 注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股 定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键． 3 【例 5】 如图，AOB 是半径为 1 的单位圆的四分之一，半圆 O1 的圆心 O1 在 OA 上，并与 弧 AB 内切于点 A，半圆 O2 的圆心 O2 在 OB 上，并与弧 AB 内切于点 B，半圆 O1 与半圆 O2 相切，设两半圆的半径之和为 x ，面积之和为 y ． (1)试建立以 x 为自变量的函数 y 的解析式； (2)求函数 的最小值． 思路点拨 设两圆半径分别为 R、r，对于(1)， )(2 1 22 rRy   ，通过变形把 R2+r2 用“ =R+r” 的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因 =R+r，故是在约束条件下求 的最小值， 解题的关键是求出 R+r 的取值范围． 注：如图，半径分别为 r、R 的⊙Ol 、⊙O2 外切于 C，AB，CM 分别为两圆的公切线，OlO2 与 AB 交于 P 点，则： (1)AB=2 rR ； (2) ∠ACB=∠Ol M O2=90°； (3)PC2=PA·PB； (4)sinP= rR rR   ； (5)设 C 到 AB 的距离为 d，则 dRr 211  ． 学力训练 1．已知：⊙Ol 和⊙O2 交于 A、B 两点，且⊙Ol 经过点 O2，若∠AOlB=90°，则∠A O2B 的 度数是 ． 2．矩形 ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以 A、C 为圆心的两圆相切，点 D 在圆 C 内， 点 B 在圆 C 外，那么圆 A 的半径 r 的取值范围 ． (2003 年上海市中考题) 3．如图；⊙Ol 、⊙O2 相交于点 A、B，现给出 4 个命题： (1)若 AC 是⊙O2 的切线且交⊙Ol 于点 C，AD 是⊙Ol 的切线且交⊙O2 于点 D，则 AB2=BC·BD； (2)连结 AB、OlO2，若 OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，则 OlO2=25cm； 4 (3)若 CA 是⊙Ol 的直径，DA 是⊙O2 的一条非直径的弦，且点 D、B 不重合，则 C、B、 D 三点不在同一条直线上， (4)若过点 A 作⊙Ol 的切线交⊙O2 于点 D，直线 DB 交⊙Ol 于点 C，直线 CA 交⊙O2 于点 E，连结 DE，则 DE2=DB·DC，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题 的序号) ． 4．如图，半圆 O 的直径 AB=4，与半圆 O 内切的动圆 Ol 与 AB 切于点 M，设⊙Ol 的半径 为 y ，AM 的长为 x ，则 与 x 的函数关系是 ，自变量 的取值范围是 ． 5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是 1 米的水泥管两两相切摞在一起，则其 最高点到地面的距离是( ) A．2 B． 2 21 C． 2 31 D． 2 31 6．如图，已知⊙Ol、⊙O2 相交于 A、B 两点，且点 Ol 在⊙O2 上，过 A 作⊙Oll 的切线 AC 交 B Ol 的延长线于点 P，交⊙O2 于点 C，BP 交⊙Ol 于点 D，若 PD=1，PA= 5 ，则 AC 的长为( ) A． 5 B． 52 C． 52 D． 53 7．如图，⊙Ol 和⊙O2 外切于 A，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B、C 是切点①PB=AB； ②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PB·PC=OlA·O2A． 上述结论，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．两圆的半径分别是和 r (R>r)，圆心距为 d，若关于 的方程 0)(2 22  dRrxx 有两个 相等的实数根，则两圆的位置关系是( ) 5 A．一定内切 B．一定外切 C．相交 D．内切或外切 9．如图，⊙Ol 和⊙O2 内切于点 P，过点 P 的直线交⊙Ol 于点 D，交⊙O2 于点 E，DA 与⊙ O2 相切，切点为 C． （1）求证：PC 平分∠APD； (2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC； (3)若 PE=3，PA=6，求 PC 的长． 10．如图，已知⊙Ol 和⊙O2 外切于 A，BC 是⊙Ol 和⊙O2 的公切线，切点为 B、C，连结 BA 并延长交⊙Ol 于 D，过 D 点作 CB 的平行线交⊙O2 于 E、F，求证：(1)CD 是⊙Ol 的 直径；(2)试判断线段 BC、BE、BF 的大小关系，并证明你的结论． 11．如图，已知 A 是⊙Ol、⊙O2 的一个交点，点 M 是 OlO2 的中点，过点 A 的直线 BC 垂 直于 MA，分别交⊙Ol、⊙O2 于 B、C． (1)求证：AB=AC； (2)若 Ol A 切⊙O2 于点 A，弦 AB、AC 的弦心距分别为 dl、d2，求证：dl+d2=O1O2； (3)在(2)的条件下，若 dld2=1，设⊙Ol、⊙O2 的半径分别为 R、r，求证：R2+r2= R2r2． 12．已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P，则点 P 到两圆外公切线的距离为 ． 13．如图，7 根圆形筷子的横截面圆半径为 r，则捆扎这 7 根筷子一周的绳子的长度为 ． 6 14．如图，⊙Ol 和⊙O2 内切于点 P，⊙O2 的弦 AB 经过⊙Ol 的圆心 Ol，交⊙Ol 于 C、D， 若 AC：CD：DB=3：4：2，则⊙Ol 与⊙O2 的直径之比为( ) A．2：7 B．2：5 C．2：3 D． 1：3 15．如图，⊙Ol 与⊙O2 相交，P 是⊙Ol 上的一点，过 P 点作两圆的切线，则切线的条数可 能是( ) A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4 16．如图，相等两圆交于 A、B 两点，过 B 任作一直线交两圆于 M、N，过 M、N 各引所在 圆的切线相交于 C，则四边形 AMCN 有下面关系成立( ) A．有内切圆无外接圆 B 有外接圆无内切圆 C．既有内切圆，也有外接圆 D．以上情况都不对 17．已知：如图，⊙O 与相交于 A，B 两点，点 P 在⊙O 上，⊙O 的弦 AC 切⊙P 于点 A， CP 及其延长线交⊙P P 于点 D，E，过点 E 作 EF⊥CE 交 CB 的延长线于 F． （1）求证：BC 是⊙P 的切线； (2)若 CD=2，CB= 22 ，求 EF 的长； (3)若 k=PE：CE，是否存在实数 k，使△PBD 恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若 不存在，请说明理由． 18．如图，⊙A 和⊙B 是外离两圆，⊙A 的半径长为 2，⊙B 的半径长为 1，AB=4，P 为连 接两圆圆心的线段 AB 上的一点，PC 切⊙A 于点 C，PD 切⊙B 于点 D． (1)若 PC=PD，求 PB 的长； (2)试问线段 AB 上是否存在一点 P，使 PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的 P 点有几个? 并求出 PB 的值；如果不存在，说明理由； (3)当点 F 在线段 AB 上运动到某处，使 PC⊥PD 时，就有△APC∽△PBD． 7 请问：除上述情况外，当点 P 在线段 AB 上运动到何处(说明 PB 的长为多少，或 PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线 CP 与 OB 的位置关系，证明你 的结论． 19．如图，D、E 是△ABC 边 BC 上的两点，F 是 BA 延长线上一点，∠DAE=∠CAF． (1)判断△ABD 的外接圆与△AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的结论； (2)若△ABD 的外接圆半径是△AEC 的外接圆半径的 2 倍，BC=6，AB=4，求 BE 的长． 20．问题：要将一块直径为 2cm 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底 面． 操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方 案(要求，画示意图) ． 方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案 (要求：画示意图)； ， 探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径； (2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径； (3)设方案二中半圆圆心为 O，圆柱两个底面的圆心为 O1、O2，圆锥底面的圆心为 O3， 试判断以 O1、O2、O3、O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明． 8 参考答案 9 10