- 2021-11-06 发布 |
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文档介绍
2019九年级数学上册 专题突破讲练 圆的周长和弧长试题 (新版)青岛版
圆的周长和弧长 1. 弧长公式: 圆周长C=2R(其中R为圆的半径),即为圆心角是360°的弧长。因此圆心角是1°的弧长等于圆周长的,即,所以n°的圆心角所对的弧长为。即在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=。 说明:(1)在应用公式进行计算时,要注意公式中n的意义:n表示1°的圆心角的倍数。公式中的n、180都不带单位。(2)同圆中圆心角n°越大,弧长越长;相等的圆心角半径越大,所对的弧长越大,L与n、R两个因素有关。 2. 易错点:扇形的弧长和扇形的周长不一样,扇形的周长是扇形的弧长与两个半径的和。 直接利用公式求弧长 例题1 如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠ABC=120°,OC=3,则的长为( ) A. B. 2 C. 3 D. 5 解析:连接OB,由于AB是切线,那么∠ABO=90°,而∠ABC=120°,易求∠OBC,而OB=OC,那么∠OBC=∠OCB,进而求出∠BOC的度数,在利用弧长公式即可求出的长。 解:连接OB。 ∵AB与⊙O相切于点B,∴∠ABO=90°。∵∠ABC=120°,∴∠OBC=30°。 ∵OB=OC,∴∠OCB=30°。∴∠BOC=120°。∴的长为,故选B。 答案:B 点拨:利用弧长公式计算弧长时,关键是根据题意得出圆心角、半径,而本题解题的关键是连接OB,构造直角三角形。 例题2 如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点C顺时针旋转60°,则顶点A所经过的路径长为( ) 7 A. 10π B. C. π D. π 解析:由题意得点A所经过的路径是以C为圆心,CA长为半径,圆心角为60°的弧,而要求的顶点A所经过的路径长就是求以C为圆心,CA长为半径,圆心角为60°的弧长,利用弧长公式计算可得。 解:∵在Rt△ACD中,AD=3,DC=1,∴根据勾股定理得:AC= , ∵△ABC绕点C顺时针旋转60°, ∴顶点A所经过的路径长为 l==π。故选C。 答案:C 点拨:求动点所经过的路径长,必须先分析清楚动点所经过的路径是什么。此题中的动点绕一定点在旋转,故动点所经过的路径是以定点为圆心,动点到定点的长度为半径的一条弧,从而把求长度问题转化为求弧长问题,直接利用弧长公式计算。 弧长公式的逆用 例题3 一条弧所对的圆心角为135°、弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径为 cm。 解析:已知圆半径可由圆周长公式得圆周长。弧长的计算为公式:,已知圆心角为135°,故弧长为,由题意列方程可解得弧所在圆的半径。 解:设弧所在圆的半径为rcm,由题意得:,解得r=40, 故这条弧的半径为40cm。 答案:40 点拨:注意区别圆周长的计算公式:()与弧长的计算公式: 弧长公式在滚动问题中的应用 在旋转变换中,有时就隐含着弧长的计算,准确理解弧长公式各个量的含义,是解题的关键。 满分训练 如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l做无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为 。 7 解析:从点A第一次翻滚到点A1位置时,先确定翻转过程中点A每一次转角及旋转半径大小,再求各弧长,最后求和。 解:如图,由=5,则==,==2, ==,则点A第一次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为++==6。 答案:6 点拨:根据弧长公式l=可知,确定弧长的关键是弄清圆心角和半径大小。 弧长公式中包含三个量,已知其中的两个可以求出第三个。所以利用弧长公式进行计算一般有三种类型:①已知、,代入公式直接求;②已知、,代入公式借助方程求;③已知、,代入公式借助方程求。 (答题时间:45分钟) 1. 如图,某厂生产横截面直径为7的圆柱形罐头,需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面,为了获得较佳视觉效果,字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°,则“蘑菇罐头”字样的长度为( ) A. B. C. D. 2. (聊城中考)把地球看成一个表面光滑的球体,假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝,然后把钢丝加长,使钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米,那么钢丝大约需加长( ) A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 3. 一个扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2πcm,则这个扇形的半径为( ) 7 A. 6cm B. 12cm C. 2cm D. cm 4. 已知一个扇形的半径为60厘米,圆心角为150°。用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为厘米。 *5. 如图,⊙O的半径为6cm,直线AB是⊙O的切线,切点为点B,弦BC∥AO,若∠A=30°,则劣弧的长为 cm。 6. (四川中考)点A、B、C是半径为15cm的圆上三点,∠BAC=36°,则弧BC的长为 ______cm。 *7. 点O在直线AB上,点A1、A2、A3…在射线OA上,点B1、B2、B3…在射线OB上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度。一个动点M从O点出发,按如图所示的箭头方向沿实线段和以O为圆心的半圆匀速运动,速度为每秒1个单位长度。按此规律,则动点M到达A101点处所需时间为 。 **8. 如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,半径OA=18,将扇形OAB沿着过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的长为 。 **9. 如图,已知CB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,点A为CD延长线上一点,BC=AB,∠CAB=30°。(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,求的长。 **10. 如图所示,AC⊥AB,AB=,AC=2,点D是以AB为直径的半圆O上一动点,DE⊥CD交直线AB于点E,设∠DAB=,(0°<<90°)。 (1)当=18°时,求的长。(2)当=30°时,求线段BE的长。 (3)若要使点E在线段BA的延长线上,则的取值范围是 (直接写出答案)。 7 *11. 如图,实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,求游泳池的周长。 7 1. B 解析:∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°,∴此弧所对的圆心角为90°,由题意可得,=cm,则“蘑菇罐头”字样的长= 。故选B。 2. A 解析:先设地球的半径为r,则赤道的长近似为2πr cm,当钢丝圈沿赤道处处高出球面16厘米时,钢丝的长度近似为2π(r+16)cm,则钢丝大约需加长2π(r+16)﹣2πr =32π≈100 cm,故选A。 3. A 解析:根据弧长公式,πr=2π,解得r=6,故选A。 4. 25 解析:设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长R=60cm,因为圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长,所以2πr=,解得r=25cm。 5. 解析:∵AB是⊙O的切线,∴AB⊥BO。 ∵∠A=30°,∴∠AOB=60°。∵BC∥AO,∴∠OBC=∠AOB=60°。在等腰△OBC中,∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×60°=60°。∴弧BC的长为cm。 6. 6π 解析:如图,在⊙O中,∠BAC=36°,∴∠BOC=72°,∴根据弧长公式计算弧BC的长为:=6π。 7. (5050 π+101)s 解析:动点M到达A1的时间为1s,到达A2的时间为[]s,到达A3的时间为[]s,到达A4的时间为[]s,……,所以到达A101的时间为[]s=(5050 π+101)s。 8. 5π 解析:如图,连接OD。由折叠可得OB=DB=OD,∴△ODB是等边三角形,从而DOB=60°。 ∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°,因此的长为=5π。 9. 解析:(1)∵BC=AB,∴∠C=∠A=30°,∴∠BOA=2∠C=60°, ∴∠OBA=180°-∠A-∠BOA=180°-30°-60°=90°,∴AB是⊙O的切线。 ⑵的长=。 10. 解析:(1)连接OD,∵=18°,∴∠BOD=36°,又∵AB=,∴OB=,∴ 7 的长==。 (2)∵AB是半圆O的直径,∴∠ADB=90°,又∵=30°,∴∠B=60°,又∵AC为半圆O的切线,∴∠CAD=60°,∴∠CAD=∠B,又∵DE⊥CD,∴∠ADC+∠ADE=90°,又∵∠ADE+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠ADC,∴△BDE∽△ADC,∴,即,∴BE=。 (3)60°<<90°。 11. 解析:如图,连接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B, 因为⊙O1和⊙O2是等圆,∴△O1O2A,△O1O2B都是等边三角形,∴∠AO1B=∠AO2B=120°, ∴周长为:2××2π×15=40π,所以游泳池的周长为40πm。 7查看更多