2019九年级数学下册 专题突破讲练 a、b、c对抛物线y＝ax2＋bx＋c的影响试题

2019九年级数学下册 专题突破讲练 a、b、c对抛物线y＝ax2＋bx＋c的影响试题

a、b、c对抛物线y＝ax2＋bx＋c的影响 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象及性质与系数a、b、c的关系制表 a、b、c的代数式 作用 说明 a ‎（1）a的正、负决定抛物线的开口方向；‎ ‎（2）︱a︱的大小决定抛物线的开口大小，︱a︱越大，开口越小；︱a︱越小，开口越大 a＞0‎ 开口向上 a＜0‎ 开口向下 c 确定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c）‎ c＞0‎ 交点在y轴的正半轴 c＝0‎ 交点在原点 c＜0‎ 交点在y轴的负半轴 ‎－ 确定对称轴的位置，对称轴为直线x＝－ a、b同号 对称轴在y轴的左侧 a、b异号 对称轴在y轴的右侧 b2－‎‎4ac 确定抛物线与x轴的交点的个数 b2－‎4ac＞0‎ 抛物线与x轴有两个交点 b2－‎4ac＝0‎ 抛物线与x轴有一个交点 b2－‎4ac＜0‎ 抛物线与x轴无交点 方法归纳：（1）当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c。若a＋b＋c＞0，则x＝1时y＞0；若a－b＋c＞0，则x＝－1时y＞0。‎ ‎（2）a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置。当b＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴右侧。‎ 总结：‎ ‎1. 根据a、b、c的符号判断二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的位置。‎ ‎2. 根据二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象求抛物线的顶点、对称轴、与坐标轴的交点，a、b、c的符号，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。‎ 例题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②‎2a＋b＝0；③a＋b＋c＝0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，－1＜x 10‎ ‎＜3。其中，正确的说法有（ ）‎ A. ②③ B. ①③ C. ②⑤ D. ③④⑤‎ 解析：根据图象开口向下和与y轴的交点位置，求出a＜0，c＞0，即可判断①；根据抛物线的顶点的横坐标－＝1可判定②；把x＝1代入抛物线，根据纵坐标y的值可判断③；根据图象的性质（部分图象的延伸方向）可判断④；根据图象在x轴的上方时，y＞0，即可求出x的取值范围。‎ 答案：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①错误；由图象可知：－＝1，∴‎2a＋b＝0，∴②正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，∴③错误；由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；根据图象，当－1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤。‎ 点拨：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式等知识点的应用，注意：根据抛物线的开口方向即可得到a的正负，根据抛物线与y轴的交点的纵坐标即可求出c的值，根据顶点的横坐标得出‎2a和b的关系式，把x＝1或－1代入即可求出a＋b＋c和a－b＋c的值，题型较好，但有一定的难度。‎ 例题2 已知一元二次方程7x2－（k＋13）x－k＋2＝0的两实数根x1、x2满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，求k的取值范围。‎ 解析：画出二次函数y＝7x2－（k＋13）x－k＋2的草图，根据关键点确定不等式。‎ 答案：令y＝7x2－（k＋13）x－k＋2，则由已知条件可知，此抛物线与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且开口向上，根据这些特点，画出其大致图象，如图所示，由图象可得，即。解这个不等式组得－2＜k＜。‎ 点拨：本题用到了建模的思想，即建立二次函数模型，用函数知识解决方程问题，同时本题还运用了数形结合的思想方法，把变化的“数”用“形”清楚地显示出来。‎ 10‎ 观察二次函数的图象时，重点是“六点一轴一方”。所谓“六点”是指抛物线与x轴两交点（或交点的个数）、与y轴的交点、顶点、x＝±1时对应的抛物线上的点（－1，y（－1））、（1，y（1）），“一轴”即对称轴，“一方”就是开口方向。其中开口方向决定a的符号，对称轴及a的符号决定b的符号，c的符号由抛物线与y轴的交点位置决定，b2－‎4ac的符号由抛物线与x轴的交点个数决定，点（－1，y（－1））决定a－b＋c的符号，点（1，y（1））决定a＋b＋c的符号，同时应注意上述说法反过来也成立。‎ 例：若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝－，x1•x2＝。把它称为一元二次方程根与系数的关系定理。如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）。利用根与系数的关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB＝︱x1－x2︱＝＝＝＝。‎ 参考以上定理和结论，解答下列问题：‎ 设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形。‎ ‎（1）当△ABC为直角三角形时，求b2－‎4ac的值；‎ ‎（2）当△ABC为等边三角形时，求b2－‎4ac的值。‎ 解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE。∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－‎4ac＞0，则︱b2－‎4ac︱＝b2－‎4ac。∵a＞0，∴AB＝＝，又∵CE＝︱︱＝，∴＝2×，∴＝，∴b2－‎4ac＝，∵b2－‎4ac＞0，∴b2－‎4ac＝4；‎ ‎（2）当△ABC为等边三角形时，由等边三角形的性质和勾股定理可得CE＝AB，∴＝ 10‎ ‎×，∵b2－‎4ac＞0，∴b2－‎4ac＝12。‎ 分析：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等。解题关键是建立抛物线顶点的纵坐标与抛物线和x轴两交点间线段长度的数量关系。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. a＞0 B. 当－1＜x＜3时，y＞0‎ C. c＜0 D. 当x≥1时，y随x的增大而增大 ‎*2. 在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是（ ）‎ ‎*3. 如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（－1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②‎4a－2b＋c＜0；③‎2a－b＜0。其中正确的个数是（ ）‎ 10‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 ‎**4. 已知b＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象如下列四个图之一所示。根据图象分析，a的值等于（ ）‎ A. －2 B. －‎1 ‎C. 1 D．2‎ ‎**5. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点（1，0）和点（0，－2），且顶点在第三象限，设P＝a－b＋c，则P的取值范围是（ ）‎ A. －4＜P＜0 B. －4＜P＜－‎2 ‎C. －2＜P＜0 D. －1＜P＜0‎ ‎**6. 小轩从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a＋b＋c＜0；③b＋‎2c＞0；④a－2b＋‎4c＞0；⑤a＝b。你认为其中正确信息的个数有（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 ‎7. 如图所示，在同一个坐标系内，二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）和一次函数y2＝dx＋e 10‎ ‎（d≠0）的图象相交于点A（m，n）和点B（p，q）。当y1＜y2时，用m、p表示x的取值范围是__________。‎ ‎8. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图像过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（3＋，y3），则y1、y2、y3的大小关系是__________。‎ ‎*9. 若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为__________。‎ ‎**10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③‎4a＋2b＋c>0；④‎2c＜3b；⑤a＋b＜m（am＋b）（m是不等于1的实数）。其中正确结论的序号有__________。‎ 三、解答题 ‎11. 已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限。‎ ‎（1）使用a、c表示b；‎ ‎（2）判断点B所在象限，并说明理由。‎ ‎*12. 我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋bx（a≠0）。‎ ‎（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a＝__________；当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是__________；‎ ‎（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线的顶点在直线y＝kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b。‎ ‎*13. 已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围。‎ 10‎ ‎**14. 已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）。‎ ‎（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；‎ ‎（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。‎ ‎①当△ABC的面积等于1时，求a的值：‎ ‎②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。‎ 10‎ 一、选择题 ‎1. B 解析：A. 抛物线的开口方向向下，则a＜0，本选项错误；B. 抛物线的对称轴为x＝1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是－1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当－1＜x＜3时，y＞0。故本选项正确；C. 该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，本选项错误；D. 根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故本选项错误。故选B。‎ ‎*2. C 解析：x＝0时，两个函数的函数值均为y＝b，所以两个函数的图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以a＞0，所以一次函数y＝ax＋b经过第一、三象限，所以A选项错误，C选项正确。故选C。‎ ‎*3. C 解析：由图可知c＞0，a＜0，－＜0，∴b＜0，∴abc＞0，①正确；当x＝－2时y＜0，即‎4a－2b＋c＜0，②正确；由对称轴－＞－1得1－＞0，∵a＜0，∴‎2a－b＜0，③正确。‎ ‎**4. C 解析：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x＝－＝0，解得b＝0，与已知中b＜0相矛盾；第3个图抛物线开口向上，a＞0，经过坐标原点，a2－1＝0，解得a1＝1，a2＝－1（舍去），对称轴x＝－＝－＞0，所以b＜0，符合题意，故a＝1，第4个图抛物线开口向下，a＜0，经过坐标原点，a2－1＝0，解得a1＝1（舍去），a2＝－1，对称轴x＝－＝－＞0，所以b＞0，不符合题意，综上所述，a的值等于1。故选C。‎ ‎**5. A 解析：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左边，∴－＜0，‎ ‎∴b＞0，∵图象与y轴的交点坐标是（0，－2），过（1，0）点，代入得：a＋b－2＝0，‎ ‎∴a＝2－b，b＝2－a，∴y＝ax2＋（2－a）x－2，把x＝－1代入得：y＝a－（2－a）－2＝‎2a－4，即y＝a－b＋c＝P。∵b＞0，∴b＝2－a＞0，∴a＜2，∵a＞0，∴0＜a＜2，∴0＜‎2a＜4，∴－4＜‎2a－4＜0，即－4＜P＜0，故选A。‎ ‎**6. D 解析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0。∵对称轴x＝－＝－，∴b＝a＜0，∴ab＞0，且有3b＝‎2a，a＝b。故①和⑤正确；②如图，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0。故②正确；③如图，当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，∴‎2a－2b＋‎2c＞0，又3b＝‎2a，∴3b－2b＋‎2c＞0，即b＋‎2c＞0。故③正确；④如图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0。抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0。∵b＜0，∴c－b＞0，∴（a－b＋c）＋（c－b）＋‎2c＞0，即a－2b＋‎4c＞0。故④正确。综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个。故选D。‎ 10‎ 二、填空题 ‎7. m＜x＜p 解析：直接观察图象即可。‎ ‎8. y1＞y3＞y2 解析：因为此抛物线的对称轴是x＝3，开口向上，所以A、B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，因为3－（－1）＞（3＋）－3＞3－2，由抛物线的对称性可知y1＞y3＞y2。‎ ‎*9. k＝0或k＝－1 解析：函数与x轴只有一个交点，有两个可能：（1）当k＝0时，是一次函数，符合题意；（2）当k≠0时，△＝4＋4k＝0，解得k＝－1，所以k＝0或k＝－1。‎ ‎**10. ①③④ 解析：由图象可知，a＜0，c＞0，－＞0，所以b＞0，因此，abc＜0，①正确；当x＝－1时，y＜0，所以a－b＋c＜0，即b＞a＋c，所以②错误；由对称轴－＝1，得b＝－‎2a，又∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标在－1与0之间，∴另一交点的横坐标必大于2，∴当x＝2时y＝‎4a＋2b＋c＞0，③正确；对于④，∵由①②知b＝－‎2a且b＞a＋c，所以2b＞‎2a＋‎2c，∴‎2c＜3b，④正确；⑤∵x＝1时，y＝a＋b＋c（最大值），x＝m时，y＝am2＋bm＋c，∵m≠1，∴a＋b＋c＞am2＋bm＋c，∴a＋b＞m（am＋b）成立。∴⑤错误，选①③④。‎ 三、解答题 ‎11. 解：（1）∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）经过A（1，0），代入可得b＝－a－c；‎ ‎（2）B在第四象限。理由如下：∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），∴x1＝1，x2＝，a≠c，所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，所以a＞0，且顶点在第四象限。‎ ‎*12. 解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴，解得。即当顶点坐标为（1，1）时，a＝－1；当顶点坐标为（m，m），m≠0时，，解得。则a与m之间的关系式是：a＝－或am＋1＝0。‎ ‎（2）∵a≠0，∴y＝ax2＋bx＝a（x＋）2－，∴顶点坐标是（－，－）。又∵该顶点在直线y＝kx（k≠0）上，∴k（－）＝－。∵b≠0，∴b＝2k。‎ ‎*13. 解：根据OC长为8可得一次函数中n的值为8或－8。分类讨论：①n＝8时，易得A（－6，0），如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB＝16，且A（－6，0），∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x＝ 10‎ ‎＝2，要使y1随着x的增大而减小，而a＜0，∴x＞2；②n＝－8时，易得A（6，0），如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB＝16，且A（6，0），∴B（－10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x＝＝－2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x＜－2。‎ ‎**14. （1）证明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am。因为当a≠0时，[－（2am＋a）]2－‎4a（am2＋am）＝a2＞0，所以方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根。所以不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。‎ ‎（2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－）2－，所以点C的坐标为（，－）。当y＝0时，a（x－m）2－a（x－m）＝0，解得x1＝m，x2＝m＋1，所以AB＝1。当△ABC的面积等于1时，×1×︱－︱＝1，解得a＝－8或a＝8。‎ ‎②当x＝0时，y＝am2＋am，所以点D的坐标为（0，am2＋am）。△ABC的面积与△ABD的面积相等有三种情况：抛物线与y轴交点正好是顶点、抛物线与y轴的交点和顶点在x轴的异侧，无论哪种情况均有×1×︱－︱＝×1×︱am2＋am︱，即︱－︱＝︱am2＋am︱，所以m＝－，或m＝，或m＝。‎ 10‎