2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十二抛物线新人教B版 0

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核心素养测评五十二 抛物线 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2020·丹东模拟)经过抛物线y2=12x的焦点F,作圆(x-1)2+(y-2)2=8的切线l,则l的方程为 (　　)‎ A.x+y-3=0　 B.x+y-3=0或x=3　‎ C.x-y-3=0　 D.x-y-3=0或x=3‎ ‎【解析】选C.抛物线y2=12x的焦点F(3,0),圆的圆心为(1,2),圆的半径为2,‎ 设切线l的方程为x=my+3,则(1,2)到切线l的距离d==2,‎ 解得m=1.所以切线l的方程为x-y-3=0.‎ ‎2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,‎ PA⊥l,垂足为A,|PF|=3,则直线AF的斜率为 (　　)‎ A.　 B.-　 C.　 D.-‎ ‎【解析】选B.如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),‎ 由|PF|=3,得|PA|=3,则xP=2,代入y2=4x,得 yP=2.所以 A(-1,2),所以kAF==-.‎ ‎3.(多选)(2020·青岛模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是 (　　)‎ 12‎ A.p=2 　　　 B.F为AD中点 C.|BD|=2|BF| 　　　 D.|BF|=2‎ ‎【解析】选ABC.如图,‎ F,直线l的斜率为,则直线方程为y=,‎ 联立得12x2-20px+3p2=0.‎ 解得:xA=p,xB=p,‎ 由|AF|=p+=2p=4,得p=2.‎ 所以抛物线方程为y2=4x.‎ xB=p=,则|BF|=+1=;‎ ‎|BD|====,‎ 所以|BD|=2|BF|,‎ ‎|BD|+|BF|=+=4,则F为AD中点.‎ 所以结论正确的是A,B,C.‎ ‎4.(2020·上饶模拟)已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)‎ 12‎ 为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为 (　　)‎ A.3　 B.2　 C.4　 D.2‎ ‎【解析】选A.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点F(0,1),准线方程y=-1,过P作PA垂直于准线,垂足为A,过M作MA0垂直于准线,垂足为A0,交抛物线于P0,则|PM|+|PF|=|PA|+|PM|≥|A0M|=3(当且仅当P与P0重合时取等号).‎ ‎5.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,若|PM|=4,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为 (　　)‎ A. B. C. D.2‎ ‎【解析】选C.设P(x0,y0),依题意可知抛物线准线x=-1,所以x0=4-1=3,所以y0=2,所以P(3,2),F(1,0).所以直线PF的斜率为k==.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.已知点P(-3,3),过点M(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=________. ‎ ‎【解析】设过点M的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设A,‎ B,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2‎ ‎=+=+‎ 12‎ ‎=+‎ ‎=+=-1.‎ 答案:-1‎ ‎7.抛物线C:y2=2x的焦点坐标是________,经过点P(4,1)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,F为抛物线的焦点,则||+||=________. ‎ ‎【解析】由抛物线C:y2=2x,得2p=2,p=1,则=,‎ 所以抛物线的焦点F.‎ 过A作AM⊥准线,BN⊥准线,PK⊥准线,M、N、K分别为垂足,‎ 则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|.‎ 再根据P为线段AB的中点,有(|AM|+|BN|)=|PK|=,‎ 所以|AF|+|BF|=9,‎ 答案:　9‎ ‎8.(2020·保定模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),直线l与抛物线交于相异两点A,B,若△MAB的内切圆圆心为(1,t),则直线l的斜率为________.  ‎ ‎【解析】将点M(1,2)代入y2=2px,可得p=2,‎ 12‎ 所以抛物线方程为y2=4x,‎ 由题意知,直线l斜率存在且不为0,‎ 设直线l的方程为x=my+n(m≠0),‎ 代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=4m,y1y2=-4n,‎ 又由△MAB的内切圆圆心为(1,t),‎ 可得kMA+kMB=+‎ ‎=+=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l的斜率为-1.‎ 答案:-1‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于A,B两点,点O是坐标原点.‎ ‎(1)求证:OA⊥OB.‎ ‎(2)当△OAB的面积等于2时,求t的值.‎ ‎【解析】(1)由 整理得y2-2ty-4=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.‎ 所以·=x1x2+y1y2=y1y2+=(-4)+=0,所以⊥,即OA⊥OB.‎ ‎(2)设l:x=ty+2与x轴交于点E,则E(2,0),所以|OE|=2,‎ S△OAB=·|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==2,解得t=±.‎ ‎10.(2020·淄博模拟)已知圆O:x2+y2=4,抛物线C:x2=2py(p>0). ‎ ‎(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求|AF|.‎ 12‎ ‎(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于M,N两点,设M(x0,y0),当y0∈[3,4]时,求|MN|的最小值.‎ ‎【解析】(1)依题意F在圆x2+y2=4上,所以0+=4,解得p=4,所以抛物线C的方程为:x2=8y,联立 消去x得y2+8y-4=0,‎ 解得y=-4+2(负值舍去),‎ 所以|AF|=y-=-4+2+2‎ ‎=2-2.‎ ‎(2)依题意设切线l的方程为y-y0=(x-x0),‎ 得py-py0=x0x-,‎ 又因为=2py0,所以x0x-py-py0=0,‎ 由|ON|=2,得|py0|=2=‎ ‎2,所以p=且>4,‎ 所以|MN|2=|OM|2-4=+-4=2py0+-4=+-4=-4++16,‎ 设t=-4∈[5,12],‎ 则|MN|2=t++16,所以t=8,‎ 即y0=2时,|MN|取得最小值为4.‎ ‎(15分钟　35分)‎ 12‎ ‎1.(5分)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是 (　　)‎ A.1　 B.2　 C.3　 D.4‎ ‎【解析】选D.抛物线的标准方程为y2=8x,则抛物线的准线方程为x=-2.‎ 又因为点P到y轴的距离是2,则点P到准线的距离为4,根据抛物线的定义可得:点P到该抛物线焦点的距离是4.‎ ‎2.(5分)抛物线y=x2上一点M到x轴的距离为d1,到直线-=1的距离为d2,则d1+d2的最小值为 (　　)‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【解析】选D.因为点M到抛物线x2=4y的准线的距离为d1+1等于M到抛物线x2=4y的焦点的距离|MF|,则d1+d2+1的最小值即为焦点F到直线-=1的距离.由题意知F(0,1),所以(d1+d2)min=-1=2.‎ ‎【变式备选】‎ 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=2,则|QF|= (　　)‎ A.8　　　 B.4　　　 C.6　　　 D.3‎ ‎【解析】选D.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=2,所以|PQ|=3d,‎ 所以直线PF的斜率为±2,因为F(1,0),‎ 所以直线PF的方程为y=±2(x-1),‎ 与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),‎ 所以|QF|=d=1+2=3.‎ 12‎ ‎3.(5分)(2019·葫芦岛模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于M,N点,若l1与直线l2的斜率的乘积为-1,则|AB|+|MN|的最小值为 (　　)‎ A.14　 B.16　 C.18　 D.20‎ ‎【解析】选B.可得F(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.‎ 设直线l1的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=+2=4+,‎ 因为l1与l2的斜率的乘积为-1,所以l2的斜率为-,‎ 同理可得|MN|=x3+x4+p=+2=4+4k2,‎ 所以|AB|+|MN|=4++4+4k2=8++4k2≥8+2=16.当且仅当k=±1时取等号.‎ ‎4.(10分)已知点M为直线l1:x=-1上的动点,N,过M作直线l1的垂线l,l交MN的中垂线于点P,记点P的轨迹为C. ‎ ‎(1)求曲线C的方程.‎ ‎(2)若直线l2:y=kx+m与圆E:+y2=6相切于点D,与曲线C交于A,B 12‎ 两点,且D为线段AB的中点,求直线l2的方程.‎ ‎【解析】(1)由已知可得,=,即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离,‎ 故点P的轨迹是以N为焦点,l1为准线的抛物线,‎ 所以曲线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)设A,B,D,‎ 由得k2x2+x+m2=0,‎ 所以x1+x2=,‎ 所以x0==,y0=kx0+m=,‎ 即D,‎ 因为直线l2与圆E:+y2=6相切于点D,‎ 又圆心E(3,0),所以=6,且DE⊥l2,‎ 从而+=6,kDE·=-1,‎ 即:,‎ 整理可得=2,即k=±,‎ 所以m=0,‎ 12‎ 故直线l2的方程为y=x或y=-x.‎ ‎5.(10分)(2019·保定模拟)已知抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4. ‎ ‎(1)若直线l与抛物线E相切,求直线l的方程.‎ ‎(2)设Q(4,0),k>0,直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在点C,使得四边形OACB为平行四边形(O为原点),且AC⊥QC,求x2的取值范围.‎ ‎【解析】(1)根据题意,抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得 ‎ 整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,‎ 若直线l与抛物线E相切,则k≠0且Δ=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-,‎ 所以,所求的直线方程为y=-x-4.‎ ‎(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有可得k2x2-8(k+1)x+16=0,‎ 因为k>0,‎ 所以Δ=64(k+1)2-64k2>0,‎ 则有x1+x2=,‎ 所以y1+y2=k(x1+x2)-8=,‎ 因为四边形OACB为平行四边形,‎ 则=+‎ ‎=(x1+x2,y1+y2)=,‎ 即C,‎ 因为AC⊥QC,则kAC·kQC=-1.‎ 12‎ 又kQC==,‎ 又kAC=kOB==k-,所以·=-1,所以=k++2,‎ 又由k>0,则=k++2≥2+2=2(+1),当且仅当k=时等号成立,‎ 此时0

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