人教A版选修1-12-3-2抛物线的几何性质（2）（含答案）

人教A版选修1-12-3-2抛物线的几何性质（2）（含答案）

§2.3.２抛物线的几何性质（２） 【学情分析】： 由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲 线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。 【教学目标】： （ 1）知识与技能： 熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相 关概念及公式。 （ 2）过程与方法： 重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立 思考。 （ 3）情感、态度与价值观： 培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激 发学生学习数学的兴趣与热情。 【教学重点】： 抛物线的几何性质及其运用。 【教学难点】： 抛物线几何性质的运用。 【课前准备】： Powerpoint 或投影片 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入 回顾抛物线的几何性质： 将基本公式 用填空的形 式巩固。 二、知识准备 设圆锥曲线 C∶f(x，y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1，y1)、 B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： 2 1 2 1 2 1 22 2 1 11 1 ( ) 4AB y y y y y y k k         或 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB k x x k x x x x        曲 线 抛 物 线 方 程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 图 形 x y o F L x y o F L y o F L y o F L 焦 点 F(p/2,0) F(-p/2,0) F(0,p/2) F(0,-p/2) 范 围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶 点 O(0,0) O(0,0) O(0,0) O(0,0) 离心率 e=1 e=1 e=1 e=1 准 线 x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2 渐近线 无 无 无 无 二、例题讲解 例 1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 )0(22  ppxy 上，求这个正三角形的边长． 分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明 x 轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长． 解：如图，设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上，且坐标分别 为 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx ，则 1 2 1 2pxy  ， 2 2 2 2pxy  又|OA|＝|OB|，所以 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx  即 2 2 21 2 1 22 pxxpxx  0)(2)( 21 2 2 2 1  xxpxx 0)](2)[( 2121  xxpxx ∵ 02,0,0 21  pxx ，∴ 21 xx  ． 由此可得 |||| 21 yy  ，即线段 AB 关于 x 轴对称． 因为 x轴垂直于 AB，且∠AOx＝30°，所以 3 330tan 0 1 1  x y 所以 p y pxy 3212 1 11  ， pyAB 342|| 1  例 2．过抛物线 y＝ 21 4 x 的焦点作倾斜角为α的直线 l 与抛物线交 于 A、B 两点，且|AB|=8，求倾斜角α． 解：抛物线标准方程为 x2＝－4y，则焦点 F（0,-1） ⑴ 当α＝90°时，则直线 l：x＝0（不合题意，舍去） ⑵ 当α≠90°时，设 k＝tanα，则直线 l：y+1＝kx；即 y=kx-1．与 x2＝－4y 联立，消去 y 得：x2＋4kx-4=0 则 x1+x2= －4k； x1x2= －4； ∴ 1 2x x ＝ 216 16k  ∴ AB = 2 2 2 1 21 | | 1 16 16k x x k k       ＝4（1+k2）＝8 ∴k＝±1 ∴α＝45°或 135° 圆锥曲线的 弦长求法 二、例题讲解 例 3．已知抛物线方程为 )0)(1(22  pxpy ，直线 :l x y m  过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3，求 p 的值． 圆锥曲线的 x y B A O 解：设 l与抛物线交于 1 1 2 2( , ), ( , ), | | 3.A x y B x y AB 则 由弦长公式 |AB|= 2 21 2 21 )()( yyxx  = 1 2 1 22 11 | | 2 | |y y y y k     =3 则有 2 1 2 9( ) . 2 y y  由 .02, ).1(2 , 2 1 22 2        ppyyx xpy pyx 得消去 .,2.04)2( 2 2121 22 pyypyypp  从而 . 2 94)2(,4)()( 22 21 2 21 2 21  ppyyyyyy 即 由于 p>0，解得 4 3 p 中点弦问题 三、巩固练习 1．若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线 y2=4x 上，求此 正三角形的边长。 （答案：边长为 8 3 ） 2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线  022  ppxy 上，求正三角形外接圆的方程 分析：依题意可知圆心在 x轴上，且过原点， 故可设圆的方程为： 022  Dxyx ， 又∵ 圆过点  32,6pA ， ∴ 所求圆的方程为 0822  pxyx 3．已知抛物线 xy 62  ,过点(4, 1)引一弦,使它恰在这点被平分,则 此弦所在直线方程为 0113  yx 解析: 设直线与抛物线交点为 ),(),,( 2211 yxByxA 则       2 2 2 1 2 1 6 6 xy xy )(6 21 2 2 2 1 xxyy  , 3,62  kky中 4．已知直线 bxy  与抛物线 pxy 22   0p 相交于 A、B两 点，若 OBOA ，（O为原点）且 52AOBS ，求抛物线的方程 （答案： xy 22  ） 5．顶点在坐标原点，焦点在 x轴上的抛物线被直线 12  xy 截 得的弦长为 15 ，求抛物线的方程 （答案： xy 122  或 xy 42  ） 四、课后练习 1．斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线相交于两 点 A、B，求线段 AB 的长． 解：如图，由抛物线的标准方程可知， 抛物线焦点的坐标为 F(1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y=x-1① 与 y2=4x②联立，解得： 将 x1、x2 的值代入方程①中，得 即 A、B 的坐标分别为  3 2 2, 2 2 2  、  3 2 2,2 2 2     2 2 4 2 4 2 8AB    2．已知抛物线  022  ppxy 与直线 1 xy 相交于 A、B 两点，以弦长 AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案： xy 2 ） 3. 已知 ABC 的三个顶点是圆 0922  xyx 与抛物线  022  ppxy 的交点，且 ABC 的垂心恰好是抛物线的焦点， 求抛物线的方程 （答案： xy 42  ） 4．已知直角 OAB 的直角顶点O为原点， A、 B 在抛物线  022  ppxy 上，（1）分别求 A、 B两点的横坐标之积，纵 坐标之积；（2）直线 AB是否经过一个定点，若经过，求出该定点 坐标，若不经过，说明理由；（3）求O点在线段 AB上的射影M 的 轨迹方程 答案：（1） 2 21 4pyy  ； 2 21 4pxx  ； （2）直线 AB过定点  0,2p （3）点M 的轨迹方程为    0222  xpypx 5．已知直角 OAB 的直角顶点O为原点， A、 B 在抛物线  022  ppxy 上，原点在直线 AB上的射影为  1,2D ，求抛 物线的方程（答案： xy 2 52  ） 练习与测试： 1．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P（4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x2＝8y (B) x2＝4y (C) x2＝2y (D) yx 2 12  2．抛物线 y2 ＝8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，± 4） (C) （1， 22 ） (D) （1，± 22 ） 3． 直线 l过抛物线 )0()1(2  axay 的焦点,并且与 x轴垂直,若 l被抛物线截得的线段长为 4,则 a ( ) A. 4 B. 2 C. 4 1 D. 2 1 4．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与 y 轴垂直的弦长等于 8，则抛物线方程为 5．抛物线 y2 ＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 6．以双曲线 1 916 22  yx 的右准线为准线，以坐标原点 O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦 AB，求 △OAB 的面积． 7．已知抛物线 xy 2 与直线 )1(  xky 相交于 A、B 两点 , ①求证; OBOA  ; ②当 OAB 的面积等于 10 时,求 k的值. 测试题答案： 1．A 2．D 3．A 4．x2 ＝±8y 5． 9) 2 3( 22  yx 6． 25 512 7．解析(证明):设 ),(),,( 2 2 21 2 1 yyByyA  ; )0,1(N ),1(),1( 2 2 21 2 1 yyNByyNA  ,由 A,N,B 共线 2 122 2 211 yyyyyy  )()( 212112 yyyyyy  , 又 21 yy  121  yy --------------------------------------------------------------③ OBOAyyyyyyyyOBOA  0)1( 2121 2 2 2 121 ② 121 2 1 yyS OAB  由      )1( 2 xky xy 得 02  kyky 6 1,1041 2 11 2 1 212   k k yyS OAB