北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形 教学课件

北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形 教学课件

1 .1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 菱形的性质 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系 . 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点） 导入新课 情景引入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧 . 讲授新课 菱形的性质 一 思考 如果从边的角度 , 将平行四边形特殊化 , 内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等 , 这个特殊的平行四边形叫什么呢 ? 平行四边形 菱形 邻边相等 定义： 有一组邻边相等的平行四边形 . 菱形是特殊的平行四边形 . 平行四边形不一定是菱形 . 归纳总结 活动 1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频： 活动 2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕 , 折叠手中 的图形 ( 如图），并回答以下问题 : 问题 1 菱形是轴对称图形吗 ? 如果是 , 指出 它的对称轴 . 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴 . 问题 2 根据上面折叠过程，猜想 菱形的四边在数量上 有什么关系 ? 菱形的两对角线有什么关系 ? 猜想 1 菱形的四条边都相等 . 猜想 2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角 . 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中 ， AB = AD ，对角线 AC 与 B D 相交 于点 O . 求证 :(1 ) AB = BC = CD = AD ； ( 2 ) AC ⊥ BD ； ∠ DAC= ∠ BAC ， ∠ DCA= ∠ BCA ， ∠ ADB= ∠ CDB ， ∠ ABD= ∠ CBD . 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD ， AD = BC （平行四边形的对边相等）. 又∵ AB = AD , ∴ AB = BC = CD = AD . A B C O D 证一证 （ 2 ）∵ AB = AD, ∴ △ ABD 是等腰三角形 . 又∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分） . 在等腰三角形 ABD 中 , ∵ OB = OD ， ∴ AO ⊥ BD ， AO 平分 ∠ B A D ， 即 AC ⊥ BD ， ∠ DAC= ∠ BAC . 同理可证 ∠ DCA= ∠ BCA ， ∠ ADB= ∠ CDB ， ∠ ABD= ∠ CBD . A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质 . 对称性：是轴对称图形. 边： 四条边都相等 . 对角线： 互相垂直 ，且每 条对角线平分一组对角 . 角：对角相等. 边：对边平行且相等 . 对角线：相互平分 . 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 例 1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， BD ＝ 12cm ， AC ＝ 6cm ，求菱形的周长． 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ AC ， BO ＝ BD . ∵ AC ＝ 6cm ， BD ＝ 12cm ， ∴ AO ＝ 3cm ， BO ＝ 6cm. 在 Rt△ ABO 中，由勾股定理得 ∴ 菱形的周长＝ 4 AB ＝ 4×3 ＝ 12 (cm) ． 典例精析 例 2 如图，在菱形 ABCD 中， CE ⊥ AB 于点 E ， CF ⊥ AD 于点 F ，求证： AE ＝ AF . 证明：连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC 平分 ∠ BAD ， 即 ∠ BAC ＝ ∠ DAC . ∵ CE ⊥ AB ， CF ⊥ AD ， ∴∠ AEC ＝ ∠ AFC ＝ 90°. 又 ∵ AC ＝ AC ， ∴△ ACE ≌ △ ACF . ∴ AE ＝ AF . 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 归纳 例 3 如 图， E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE ， AE 交 BD 于 O ，且 ∠ DAE =2∠ BAE ，求证： OA = EB . A B C D O E 证明： ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴ AD∥BC ， AD = BA ， ∠ ABC ＝ ∠ ADC ＝ 2∠ ADB ， ∴∠ DAE ＝ ∠ AEB ， ∵ AB = AE ,∴∠ ABC ＝ ∠ AEB ， ∴∠ ABC =∠ DAE ，   ∵∠ DAE ＝ 2∠ BAE ， ∴∠ BAE ＝ ∠ ADB .  又 ∵ AD ＝ BA ， ∴△ AOD ≌ △ BEA ， ∴ AO ＝ BE . 1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知 ∠ A ＝ 60° ， AB ＝ 5 ，则 △ ABD 的周长是 ( 　　 ) A.10 B.12 C.15 D.20 C 练一练 2. 如图，菱形 ABCD 的周长为48cm，对角线 AC 、 BD 相交于 O 点， E 是 AD 的中点，连接 OE ，则线段 OE 的长为 _______. 第 1 题图 第 2 题图 6 cm 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 C 2. 如图，在菱形 ABCD 中， AC =8， BD =6，则△ ABD 的周长等于 （　　） A . 18 B . 16 C . 15 D . 14 当堂练习 B 3. 根据下图 填一填： （1）已知菱形 ABCD 的周长是12cm，那么它的边长 是 ______. （ 2） 在 菱形 ABCD 中， ∠ ABC ＝120 °，则 ∠ BAC ＝ _______. （3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_______. 3cm 30° A B C O D 5cm (4) 菱形的一个内角为 120°, 平分这个内角的对角 线长为 11 cm ，菱形的周长为 ______. 44 cm A B C O D 4. 如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E ． 求证：∠ AFD = ∠ CBE ． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ CB = CD ， CA 平分∠ BCD ． ∴∠ BCE = ∠ DCE ． 又 CE = CE ， ∴△ BCE ≌ △ DCE （ SAS ）． ∴∠ CBE = ∠ CDE ． ∵在菱形 ABCD 中， AB ∥ CD ， ∴∠ AFD = ∠ EDC . ∴∠ AFD = ∠ CBE ． A D C B F E 课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 周长 = 边长的四倍 角 对角线 1. 两组对边平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分 ； 2. 每一条对角线平分一组对角 1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 菱形的判定 学习目标 　 1 . 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判 定定理． （重点） 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算 . （难点） 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 导入新课 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 根据菱形的定义 , 可得菱形的第一个判定的方法： AB = AD ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 讲授新课 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 一 前面我们用一长一短两根细木条 , 在它们的中点处固定一个小钉 , 做成一个可以转动的十字 , 四周围上一根橡皮筋 , 做成一个平行四边形 . 那么转动木条 , 这个平行四边形什么时候变成菱形 ? 对此你有什么猜想？ 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 你能证明这一猜想吗？ A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AC ⊥ BD . 求证： □ ABCD 是菱形 . 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ OA = OC . 又 ∵ AC ⊥ BD , ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线 . ∴ BA = BC . ∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义） . 证一证 对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 AC ⊥ BD 几何语言描述： ∵ 在 □ABCD 中， AC ⊥ BD , ∴ □ ABCD 是菱形 . A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 例 1 如图， ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AB =5 ， AO =4 ， BO =3. 求证： 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D O 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA =4, OB =3, AB =5 ， 证明： 即 AC ⊥ BD ， ∴ AB 2 = OA 2 + OB 2 ， ∴ △ AOB 是直角三角形， 典例精析 ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 例 2 如图 , □ ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于点 E 、 F , 求证：四边形 AFCE 是菱形． A B C D E F O 1 2 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AE∥FC ， ∴ ∠ 1=∠2 . ∵ EF 垂直 平分 AC ， ∴ AO = OC . 又 ∠ AOE = ∠ COF ， ∴△ AOE ≌ △ COF ， ∴ EO = FO . ∴四边形 AFCE 是平行四边形 . 又∵ EF ⊥ AC ∴ 四边形 AFCE 是菱形 . 练一练 在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ ABC =90° B． AC ⊥ BD C． AB = CD D． AB ∥ CD B 四条边相等的四边形是菱形 二 小刚： 分别以 A 、 C 为圆心 , 以大于 AC 的长为半径作弧 , 两条 弧分别相交于点 B , D , 依次连接 A 、 B 、 C 、 D 四点 . 已知线段 AC , 你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD , 使 AC 为菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想： 根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想： 四条边相等的四边形 是 菱形 . 证明： ∵ AB = BC = CD = AD ; ∴ AB = CD , BC=AD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 ∵ AB = BC , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 中 , AB = BC=CD=AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形 . 证一证 四条边都相等 的四边形是菱形 AB = BC=CD=AD 几何语言描述： ∵ 在四边形 ABCD 中， AB = BC=CD=AD ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 四 边形 ABCD A B C D 下 列命题中正确的是 （ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 证明： ∵ ∠ 1= ∠ 2, 又∵ AE = AC , AD = AD , ∴ △ ACD ≌ △ AED (SAS). 同理△ ACF ≌ △ AEF (SAS) . ∴ CD = ED , CF = EF . 又∵ EF = ED ,∴ CD = ED = CF = EF , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 2 例 3 如图 ,在△ ABC 中 , AD 是角平分线 , 点 E 、 F 分别在 AB 、 AD 上 , 且 AE = AC , EF = ED . 求证：四边形 CDEF 是菱形 . A C B E D F 1 典例精析 例 4 如图，在 △ ABC 中， ∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 6cm ， BC ＝ 8cm. 将 △ ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm ，得到 △ DEF ， A ， B ， C 的对应点分别是 D ， E ， F ，连接 AD . 求证：四边形 ACFD 是菱形． 证明：由平移变换的性质得 CF ＝ AD ＝ 10cm ， DF ＝ AC . ∵∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 6cm ， BC ＝ 8cm ， ∴ AC ＝ DF ＝ AD ＝ CF ＝ 10cm ， ∴ 四边形 ACFD 是菱形． 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便． 归纳 当堂练习 1. 判断下列说法是否正确 (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形； (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 2. 一边长为 5cm 平行四边形的两条对角 线的长分别为 24cm 和 26cm ，那么平行四边形的面积是 . 312cm 2 3.如图，将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DCE ，连接 AD ，下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　 ） A． AB = BC B． AC = BC C．∠ B =60° D．∠ ACB =60° B 解析：∵将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DCE ， ∴ A C ∥D E ， A C = D E ， ∴四边形 AB E D 为平行四边形 . 当 AC = BC 时， 平行四边形 ACED 是菱形． 故选B． 证明： ∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE ， AD = CD ， OA = OC ， ∠ AOD =∠ EOC =90°. ∵ CE∥AB ， ∴∠ DAO =∠ ECO ， ∴△ ADO ≌ △ CEO （ ASA ）． ∴ AD = CE ， OD = OE ， ∵ OD = OE ， OA = OC ， ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形 又 ∵∠ AOD =90° ， ∴ 四边形 ADCE 是菱形． 4. 如图， △ ABC 中， AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 O ， CE∥AB 交 MN 于点 E ，连接 AE 、 CD . 求证：四边形 ADCE 是菱形 . B C A D O E M （1）证明：由尺规作∠ BAF 的平分线的过程可得 AB = AF ，∠ BAE =∠ FAE ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ，∴∠ FAE =∠ AEB ， ∴∠ BAE =∠ AEB ，∴ AB = BE ， ∴ BE = FA ，∴四边形 ABEF 为平行四边形， ∵ AB = AF ， ∴四边形 ABEF 为菱形； 5. 如图 , 在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠ BAD 的 平分线交 BC 于点 E ，连接 EF ． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2） AE ， BF 相交于点 O ，若 BF =6， AB =5，求 AE 的长． （2） AE ， BF 相交于点 O ，若 BF =6， AB =5，求 AE 的长． 解：∵四边形 ABEF 为菱形， ∴ AE ⊥ BF ， BO = FB =3， AE =2 AO ， 在Rt△ AOB 中，由勾股定理得 AO =4， ∴ AE =2 AO =8． 课堂小结 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 . 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 四边相等的四边形是菱形 . 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 1 .1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 3 课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合 1. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题 , 并掌握菱形面积的求法 .( 重点、难点 ) 2. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程 , 体会 数形结合、转化等思想方法 . 学习目标 1 ．平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 ． 2 ．菱形具有 的一切性质． 3 ．菱形是 图形也是 图形． 4 ．菱形的四条边都 ． 5 ．菱形的两条对角线互相 ． 平行且相等 相等 互相平分 平行四边形 轴对称 中心对称 相等 垂直且平分 复习引入 导入新课 6. 平行四边形的面积 =_________. A B C D F 底 × 高 7. 菱形是特殊的平行四边形，如图菱形 ABCD 的面积 =_________. BC · DF 思考： 你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？ A B C O D 菱形的面积 一 问题 1 菱形是特殊的平行四边形 , 那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形 ABCD 的面积吗 ? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直 , 那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢 ? 能 . 过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E , 则 S 菱形 ABCD = 底×高 = BC · AE . E 讲授新课 问题 2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 交于点 O , 试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积 . A B C D O 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD , ∴ S 菱形 ABCD = S △ ABC + S △ ADC = AC · BO + AC · DO = AC ( BO + DO ) = AC · BD . 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底 × 高 = 对角线乘积的一半 例 1 ： 如图 , 四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形 , 其中对 角线 BD 长 10cm. 求 :(1) 对角线 AC 的长度 ; (2) 菱形 ABCD 的面积 . 解 :(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴∠ AED =90 ° , (2) 菱形 ABCD 的面积 ∴ AC =2 AE =2×12=24(cm). D B C A E 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半． 归纳 例 2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m ， ∠ ABC ＝ 60 °，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD ，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01m 和 0.1m 2 ） . A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 解： ∵ 花坛 ABCD 是菱形， 【变式题】 如图，在菱形 ABCD 中，∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1：2，周长是8cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC ， AC ⊥ BD ， AD ∥ BC ， ∴∠ ABC +∠ BAD =180° . ∵∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1：2， ∴∠ ABC = ×180° = 60°， ∴∠ ABO = ×∠ ABC = 30°，△ ABC 是等边三角形 . ∵菱形 ABCD 的周长是8cm． ∴ AB =2cm， ∴ OA = AB =1cm， AC = AB =2cm， ∴ BD =2 OB = cm； （2） S 菱形 ABCD = AC • BD = ×2× = （cm 2 ）． 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是 60 °时，菱形被分为以 60 °为顶角的两个等边三角形 . 归纳 练一练 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高 DE 为（　　） A . 2.4cm B . 4.8cm C . 5cm D . 9.6cm B 菱形的判定与性质的综合问题 二 如图两张 不等宽 的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？ 做一做 平行四边形 如图两张 等宽 的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是什么图形？为什么？ 菱形 A C D B 分析： 易知四边形 ABCD 是 平行四边形 ，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可 . 由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等， 然后通过证△ ABE ≌ △ ADF ，即得 AB = AD . E F 例 3 如图，在△ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， BE ＝2 DE ，延长 DE 到点 F ，使得 EF ＝ BE ，连接 CF . (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； (1)证明：∵ D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， ∴ DE ∥ BC 且2 DE ＝ BC . 又∵ BE ＝2 DE ， EF ＝ BE ， ∴ EF ＝ BC ， EF ∥ BC ， ∴四边形 BCFE 是平行四边形． 又∵ EF ＝ BE ， ∴四边形 BCFE 是菱形； (2)解：∵∠ BCF ＝120°， ∴∠ EBC ＝60°， ∴△ EBC 是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . (2)若 CE ＝4，∠ BCF ＝120°，求菱形 BCFE 的面积． 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 归纳 练一练 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC 平分∠ DAB ， AB =2，求平行四边形 ABCD 的周长 . 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC ， AB∥CD ， ∴∠ DAC =∠ ACB ，∠ BAC =∠ ACD ， ∵ AC 平分∠ DAB ， ∴∠ DAC =∠ BAC ， ∴∠ DAC =∠ ACD ， ∴ AD = DC ， ∴四边形 ABCD 为菱形， ∴四边形 ABCD 的周长=4×2=8． 1. 已知菱形的周长是 24cm ，那么它的边长是 ______. 2. 如图，菱形 ABCD 中∠ BAC ＝ 120 °， 则∠ BAC ＝ _______. 6cm 60 ° 3. 如图，菱形的两条对角线长分别为 10cm 和 24cm ， 则菱形的边长是（ ） C A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm A B C D O 当堂练习 4. 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在 △ AOB 中， OA ＝ 5 ， OB ＝ 12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h . 解：在 Rt△ AOB 中， OA ＝ 5 ， OB ＝ 12 ， ∴ S △ AOB ＝ OA · OB ＝ ×5×12 ＝ 30 ， ∴ S 菱形 ABCD ＝ 4 S △ AOB ＝ 4×30 ＝ 120. ∵ 又 ∵ 菱形两组对边的距离相等， ∴ S 菱形 ABCD ＝ AB · h ＝ 13 h ， ∴13 h ＝ 120 ，得 h ＝ . 5. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠ BAD =60° ， BD = 6 ， 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 . 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直) OB = OD = BD = ×6=3 (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中， ∵∠ BAD =60°， ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. A B C O D 在 Rt Δ AOB 中，由勾股定理，得 OA 2 + OB 2 = AB 2 ， ∴ OA = = = ∴ AC =2 OA = （菱形的对角线相互平分） . A B C O D 课堂小结 菱形的性质与判定的综合性问题 菱形的面积 综合运用 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 矩形的性质 学习目标 1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别 与 联系 . （重点） 2. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题 . （ 重点、 难点） 3. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用 . （重点） 观察下面图形 , 长方形 在 生活中无处不在 . 导入新课 情景引入 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 你还能举出其他的例子吗？ 讲授新课 矩形的性质 一 活动 1 ： 利用一个活动的平行四边形教具演示 , 使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察 . 矩形 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 . 定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 也叫做长方形 . 归纳总结 平行四边形不一定是矩形 . 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑 . 活动 2 ： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等 . （ 1 ）请同学们以小组为单位 , 测量身边的矩形（如书本 , 课桌 , 铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数 , 并记录测量结果 . A B C D O AB AD AC BD ∠ BAD ∠ ADC ∠ AOD ∠ AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （ 2 ） 根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想 1 矩形的四个角都是直角 . 猜想 2 矩形的对角线相等 . 你能证明吗？ 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ B = ∠ D , ∠ C =∠ A , AB∥DC . ∴ ∠ B + ∠ C =180°. 又∵ ∠ B = 90° , ∴ ∠ C = 90°. ∴∠ B =∠ C =∠ D =∠ A =90°. 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , ∠ B =90°. 求证 ： ∠ B = ∠ C = ∠ D = ∠ A =90° . A B C D 证一证 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AB = DC ,∠ ABC =∠ DCB =90° , 在△ ABC 和△ DCB 中 , ∵ AB = DC , ∠ ABC =∠ DCB , BC = CB , ∴△ ABC ≌ △ DCB . ∴ AC = DB . A B C D O 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , ∠ ABC =90°, 对角线 AC 与 DB 相较于点 O . 求证 ： AC = DB . 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角 . 矩形的对角线相等 . 归纳总结 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC 与 DB 相交于点 O . ∠ ABC =∠ BCD =∠ CDA =∠ DAB =90° ， AC = DB . A B C D O 例 1 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线 AC , BD 相交于点 O , ∠ AOB =60° , AB =4 , 求矩形对角线的长 . 解：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ， OA = OC = AC , OB = OD = BD , ∴ OA = OB . 又 ∵ ∠ AOB =60° , ∴ △ OAB 是等边三角形， ∴ OA = AB =4 ， ∴ AC = BD =2 OA =8. A B C D O 典例精析 矩形的对角线相等且互相平分 例 2 如图 , 在矩形 ABCD 中 , E 是 BC 上一点 , AE = AD , DF ⊥ AE , 垂足为 F . 求证： DF = DC . A B C D E F 证明：连接 DE . ∵ AD = AE ,∴∠ AED =∠ ADE . ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AD∥BC ,∠ C =90°. ∴∠ ADE =∠ DEC , ∴∠ DEC =∠ AED . 又∵ DF ⊥ AE , ∴∠ DFE =∠ C =90°. 又∵ DE = DE , ∴△ DFE ≌ △ DCE , ∴ DF = DC . 例 3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C ′ 处， BC ′ 交 AD 于点 E ， AD ＝ 8 ， AB ＝ 4 ，求 △ BED 的面积． 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ， ∠ A ＝ 90° ， ∴∠2 ＝ ∠3. 又由折叠知 ∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠1 ＝ ∠3 ， ∴ BE ＝ DE . 设 BE ＝ DE ＝ x ，则 AE ＝ 8 － x . ∵ 在 Rt△ ABE 中， AB 2 ＋ AE 2 ＝ BE 2 ， ∴4 2 ＋ (8 － x ) 2 ＝ x 2 ， 解得 x ＝ 5 ，即 DE ＝ 5. ∴ S △ BED ＝ DE · AB ＝ ×5×4 ＝ 10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片 , 折一折 , 观察并思考 .   矩形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2 条 练一练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ， 下列说法错误的是 （　　） A． AB ∥ DC B． AC = BD C． AC ⊥ BD D． OA = OB A B C D O C 2. 如图， EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O ，且分别交 AB 、 CD 于 E 、 F ，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的 _________. 　　　　　　　　　　　　　 3. 如图，在矩形 ABCD 中， AE ⊥ BD 于 E ， ∠ DAE ： ∠ BAE ＝ 3 ： 1 ，求 ∠ BAE 和 ∠ EAO 的度数． 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB ＝ 90° ， AO ＝ AC ， BO ＝ BD ， AC ＝ BD ， ∴∠ BAE ＋ ∠ DAE ＝ 90° ， AO ＝ BO . 又 ∵∠ DAE ： ∠ BAE ＝ 3 ： 1 ， ∴∠ BAE ＝ 22.5° ， ∠ DAE ＝ 67.5°. ∵ AE ⊥ BD ， ∴∠ ABE ＝ 90° － ∠ BAE ＝ 90° － 22.5° ＝ 67.5° ， ∴∠ OAB ＝ ∠ ABE ＝ 67.5° ∴∠ EAO ＝ 67.5° － 22.5° ＝ 45°. 直角三角形斜边上的中线的性质 二 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 活动： 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半 . B C O A 问题 Rt △ ABC 中， BO 是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边 AC 有什么关系？ 猜想： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 试给出数学证明 . O C B A D 证明 : 延长 BO 至 D , 使 OD = BO , 连接 AD 、 DC . ∵ AO = OC , BO = OD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵∠ ABC =90° , ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD ， 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ ABC =90° ， BO 是 AC 上的中线 . 求证 : BO = AC ? ∴ BO = BD = AC . 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 性质 证一证 例 4 如图，在 △ ABC 中， AD 是高， E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点． (1) 若 AB ＝ 10 ， AC ＝ 8 ，求四边形 AEDF 的周长； 解： ∵ AD 是 △ ABC 的高， E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点， ∴ DE ＝ AE ＝ AB ＝ ×10 ＝ 5 ， DF ＝ AF ＝ AC ＝ ×8 ＝ 4 ， ∴ 四边形 AEDF 的周长＝ AE ＋ DE ＋ DF ＋ AF ＝ 5 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 18 ； (2) 求证： EF 垂直平分 AD . 证明： ∵ DE ＝ AE ， DF ＝ AF ， ∴ E 、 F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD . 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 归纳 例 5 如图，已知 BD ， CE 是 △ ABC 不同边上的高，点 G ， F 分别是 BC ， DE 的中点，试说明 GF ⊥ DE . 解：连接 EG ， DG . ∵ BD ， CE 是 △ ABC 的高， ∴∠ BDC ＝ ∠ BEC ＝ 90°. ∵ 点 G 是 BC 的中点， ∴ EG ＝ BC ， DG ＝ BC . ∴ EG ＝ DG . 又 ∵ 点 F 是 DE 的中点， ∴ GF ⊥ DE . 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 归纳 归纳总结 直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型 如图，在△ ABC 中 ,∠ ABC = 90°, BD 是斜边 AC 上的中线 . (1) 若 BD =3cm, 则 AC =_____cm; (2) 若∠ C = 30° , AB = 5cm, 则 AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 练一练 当堂练习 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12, 则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D. 不能确定 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°, 则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° A C C 4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，点 E 、 F 分别是 AO 、 AD 的中点，若 AB =6cm， BC =8cm，则 EF = ______ cm． 2.5 5. 如图，△ ABC 中， E 在 AC 上，且 BE ⊥ AC ． D 为 AB 中点，若 DE =5， AE =8，则 BE 的长为 ______ ． 6 第 4 题图 第 5 题图 6. 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , 对角线 AC , BD 相交于点 O , BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E . （ 1 ）求证： BD = BE , （ 2 ）若 ∠ DBC =30° , BO =4 , 求四边形 ABED 的面积 . A B C D O E (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AC = BD , AB∥CD . 又∵ BE∥AC , ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形 , ∴ AC = BE , ∴ BD = BE . (2) 解： ∵ 在矩形 ABCD 中 , BO =4 , ∴ BD = 2 BO =2×4=8. ∵∠ DBC =30° , ∴ CD = BD = ×8=4 , ∴ AB = CD =4 , DE = CD + CE = CD + AB =8. 在 Rt△ BCD 中 , BC = ∴四边形 ABED 的面积 = ×(4+8)× = . A B C D O E 7. 如图，在矩形 ABCD 中， AB =6， AD =8， P 是 AD 上的动点， PE ⊥ AC ， PF ⊥ BD 于 F ，求 PE + PF 的值 . 解：连接 OP . ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB =90°， OA = OD = OC = OB ， ∴ S △ AOD = S △ DOC = S △ AOB = S △ BOC = S 矩形 ABCD = ×6×8=12 . 在Rt△ BAD 中，由勾股定理得 BD =10， ∴ AO = OD =5， ∵ S △ APO + S △ DPO = S △ AOD ， ∴ AO · PE + DO · PF =12，即5 PE +5 PF =24， ∴ PE + PF = . 能力提升： 课堂小结 矩形的相关概念及性质 具有平行四边行的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 矩形的判定 学习目标 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程， 理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2 . 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题 .( 难点 ) 复习引入 导入新课 问题 1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 问题 2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时 ，如何确保 图形是 矩形呢？现在师傅带了两种工具 （卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧 . 讲授新课 对角线相等的平行四边形是矩形 一 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法 . 问题 1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 矩形是特殊的平行四边形 . 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立 . 问题 2 上节课我们已经知道 “ 矩形的对角线相等 ” ，反过来， 小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 . 不对，等腰梯形的对角线也相等 . 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分 . 思考 你能证明这一猜想吗？ 已知：如图 , 在 □ ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证： □ ABCD 是矩形 . 证明：∵ AB = DC , BC = CB , AC = DB , ∴ △ ABC ≌ △ DCB , ∴∠ ABC = ∠ DCB . ∵ AB ∥ CD , ∴∠ ABC + ∠ DCB = 180° , ∴ ∠ ABC = 90° , ∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义） . A B C D 证一证 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形 . 归纳总结 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中， ∵ AC = BD ， ∴ 平行 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验 两组对边相等 的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果 对角线长相等 ，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形 . 　 例 1 如图，在 　 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且 OA = OD ，∠ OAD =50° ．求∠ OAB 的度数． 　 A 　 B 　 C 　 D 　 O 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC ， OB = OD = BD . 又 ∵ OA = OD ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ BAD= 90 ° . 又 ∵ ∠ OAD =50° ， ∴ ∠ OAB =40°. 典例精析 例 2 如图 , 矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AO 、 BO 、 CO 、 DO 上的一点 , 且 AE = BF = CG = DH . 求证 : 四边形 EFGH 是矩形 . B C D E F G H O A 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD （矩形的对角线相等 ) ， AO = BO = CO = DO （矩形的对角线互相平分）， ∵ AE = BF = CG = DH ， ∴ OE = OF = OG = OH ， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形， ∵ EO + OG = FO + OH ， 即 EG = FH ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . 练一练 1. 如图，在▱ ABCD 中， AC 和 BD 相交于点 O ，则下面条件能判定▱ ABCD 是矩形的是 （　　） A． AC = BD B． AC = BC C． AD = BC D． AB = AD A 2. 如图 ABCD 中 , ∠1= ∠2 中 . 此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形 . 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO = CO , DO = BO . 又 ∵ ∠1= ∠2 ， ∴ AO = BO ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 二 问题 1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形 . 成立 问题 2 至少有几个角是直角的四边形是矩形 ？ A B D C ( 有一个角是直角 ) A B D C ( 有二个角是直角 ) A B D C ( 有三个角是直角 ) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形 . 已知：如图 , 在四边形 ABCD 中 ,∠ A =∠ B =∠ C =90 ° . 求证：四边形 ABCD 是矩形 . 证明 :∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴∠ A +∠ B =180 ° , ∠ B +∠ C =180 ° ， ∴ AD∥BC , AB∥CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 证一证 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形 . 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形 . 例 3 如图， □   ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E 、 F 、 G 、 H ，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在 □   ABCD 中， AD∥BC , ∴∠ DAB +∠ ABC =180 ° . ∵ AE 与 BG 分别为∠ DAB 、 ∠ ABC 的平分线 , A B D C H E F G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证 ∠ AED = ∠ EHG =90°, ∴∠ AFB =90° ， ∴∠ GFE =90°. ∴ ∠ BAE + ∠ ABF = ∠ DAB + ∠ ABC =90 ° . 例 4 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， CE ⊥ AN ，垂足为 E ，求证：四边形 ADCE 为矩形． 证明：在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ BAD ＝ ∠ DAC ，即 ∠ DAC ＝ ∠ BAC . 又 ∵ AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， ∴∠ MAE ＝ ∠ CAE ＝ ∠ CAM , ∴∠ DAE ＝ ∠ DAC ＋ ∠ CAE ＝ (∠ BAC ＋ ∠ CAM ) ＝ 90°. 又 ∵ AD ⊥ BC ， CE ⊥ AN ， ∴∠ ADC ＝ ∠ CEA ＝ 90°, ∴ 四边形 ADCE 为矩形． 练一练 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 当堂练习 1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （ 1 ）对角线相等的四边形是矩形； （ 2 ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ 3 ）有一个角是直角的四边形是矩形； （ 5 ）有三个角是直角的四边形是矩形； （ 6 ）四个角都相等的四边形是矩形； （ 7 ）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ 4 ）有三个角都相等的四边形是矩形 ; × × × × √ √ √ √ （ 8 ）一组对角互补的平行四边形是矩形； 2. 如图 , 直线 EF∥MN , PQ 交 EF 、 MN 于 A 、 C 两点 , AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别是 ∠ EAC 、 ∠ MCA 、 ∠ ACN 、 ∠ CAF 的平分线 , 则四边形 ABCD 是 （ ） A. 梯 形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 3. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BAD =90°， AB =5， BC =12， AC =13．求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BAD =90°， ∴∠ ADC =90° . 又∵△ ABC 中， AB =5， BC =12， AC =13， 满足13 2 =5 2 +12 2 ，即 ∴△ ABC 是直角三角形，且∠ B =90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． A B C D 4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，延长 OA 到 N ，使 ON ＝ OB ，再延长 OC 至 M ，使 CM ＝ AN . 求证：四边形 NDMB 为矩形． 证明： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AO ＝ OC ， OD ＝ OB . ∵ AN ＝ CM ， ON ＝ OB ， ∴ ON ＝ OM ＝ OD ＝ OB ， ∴ 四边形 NDMB 为平行四边形， MN ＝ BD ， ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形． 5. 如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的高， AE 是 △ BAC 的外角平分线， DE ∥ AB 交 AE 于点 E ，求证：四边形 ADCE 是矩形． 证明： ∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ， BD ＝ DC . ∵ AE 是 ∠ BAC 的外角平分线， ∴∠ FAE ＝ ∠ EAC . ∵∠ B ＋ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＋ ∠ EAC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＝ ∠ EAC ， ∴ AE ∥ CD . 又 ∵ DE ∥ AB ， ∴ 四边形 AEDB 是平行四边形， ∴ AE 平行且相等 BD . 又 ∵ BD ＝ DC ， ∴ AE 平行且等于 DC ， 故四边形 ADCE 是平行四边形 . 又 ∵∠ ADC ＝ 90° ， ∴ 平行四边形 ADCE 是矩形． 6. 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ B ＝ 90° ， AD ＝ 24cm ， BC ＝ 26cm ，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动．点 P 、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？ 解：设经过 x s ，四边形 PQCD 为平行四边形， 即 PD ＝ CQ ， 所以 24 － x ＝ 3 x ， 解得 x ＝ 6. 即经过 6s ，四边形 PQCD 是平行四边形； 能力提升： (2)经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？ 解：设经过 y s ，四边形 PQBA 为矩形， 即 AP ＝ BQ ， ∴ y ＝ 26 － 3 y ， 解得 y ＝ 6.5 ， 即经过 6.5s ，四边形 PQBA 是矩形． 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形 . 对角线相等的平行四边形是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 . 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 3 课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 1 ．回顾矩形的性质及判定方法． 2 ．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用 . ( 难点 ) 学习目标 问题 1: 矩形有哪些性质？ A B C D O ① 是轴对称图形 ; ②四个角都是直角 ; ③ 对角线相等且平分 . 导入新课 ① 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 问题 2: 矩形有判定方法有哪些？ A B C D O E 例 1 ： 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， DE∥AC , CE ∥BD . 求证：四边形 OCED 是菱形 . 证明： ∵ DE∥AC ， CE∥BD ， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形 . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OC = OD ， ∴ 四边形 OCED 是菱形． 矩形的性质与判定综合运用 讲授新课 H G F E D C B A 证明：连接 AC 、 BD . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD . ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = HE ， ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 例 2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH ，求证：四边形 EFGH 是菱形 . C A B D E F G H 【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 E F G H 是什么四边形？ 解：四边形 EFGH 是菱形 . 又∵ AC = BD , ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = HE ， ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形 . 归纳 理由如下：连接 AC 、 BD A B C D E F G H 拓展 1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：连接 AC 、 BD . ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . 拓展 2 如图，若四边形 ABCD 是菱形，顺次连接 菱形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 四边形 EFGH 是矩 形 . 同学们自己去解答吧 例 3 ： 如图，在矩形 ABCD 中， AD =6，对角线AC与BD相交于点 O ， AE ⊥ BD ，垂足为 E ， ED =3 BE ，求 AE 的长 . 分析： 由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长 . 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵BE：ED=1：3， ∴BE：OB=1：2， ∵AE⊥BD， ∴AB=OA，∴OA=AB=OB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°， ∴ AE = AD= 3. 例 4 ： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论 . 证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形； （1）求证：四边形ADCE为矩形； 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB ( 3 ) 线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论 . 【点评】 此题 考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 . 例 5 ： 如图所示，在 △ ABC 中， D 为 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ，且 AF ＝ BD . 连接 BF . (1) BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由； (2) 当 △ ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由． 解： (1) BD ＝ CD . 理由如下： ∵ AF ∥ BC ， ∴∠ AFE ＝ ∠ DCE . ∵ E 是 AD 的中点， ∴ AE ＝ DE . 在 △ AEF 和 △ DEC 中， ∴△ AEF ≌ △ DEC (AAS) ， ∴ AF ＝ DC . ∵ AF ＝ BD ， ∴ BD ＝ DC ； (2) 当 △ ABC 满足 AB ＝ AC 时，四边形 AFBD 是矩形．理由如下： ∵ AF ∥ BD ， AF ＝ BD ， ∴ 四边形 AFBD 是平行四边形． ∴ AB ＝ AC ， BD ＝ DC ， ∴∠ ADB ＝ 90°. ∴ 四边形 AFBD 是矩形． 【方法总结】 本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 当堂练习 1. 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形，点 B 在 EF 边上，若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S 1 ， S 2 ，则 S 1 ， S 2 的大小关系是 ( 　 　 ) A ． S 1 > S 2 　　　　　　　 B ． S 1 ＝ S 2 C ． S 1 < S 2 D ． 3 S 1 ＝ 2 S 2 B 2 ．如图，在 △ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， AC ， BC 的中点， AH ⊥ BC 于点 H ，连接 EH ，若 DF ＝ 10 cm ，则 EH 等于 ( 　　 ) A ． 8 cm 　　 B ． 10 cm 　　 C ． 16 cm 　　 D ． 24 cm B 3. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， AE 平分 ∠ BAD 交 BC 于点 E ，若 ∠ CAE ＝ 15° ，则 ∠ BOE ＝ ____ 度． 75 4 ．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 4 ，点 A ， B 分别在 y 轴， x 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，如果 ∠ OAB ＝ 30° ，那么点 C 的坐标为 ． 5. 如图， O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点， CD ＝ 5cm ， OD ＝ 3cm ；过点 C 作 CE ∥ DB ，过点 B 作 BE ∥ AC ， CE 与 BE 相交于点 E . (1) 求 OC 的长； (2) 求四边形 OBEC 的面积． 解： (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD . 在 Rt△ OCD 中，由勾股定理得 OC ＝ 4cm ； (2)∵ CE ∥ DB ， BE ∥ AC ， ∴ 四边形 OBEC 为平行四边形 . 又 ∵ AC ⊥ BD ，即 ∠ COB ＝ 90° ， ∴ 平行四边形 OBEC 为矩形 . ∵ OB ＝ OD ＝ 3cm ， ∴ S 矩形 OBEC ＝ OB · OC ＝ 4×3 ＝ 12(cm 2 ) ． 6. 如图，点 D 是 △ ABC 的边 AB 上一点， CN ∥ AB ， DN 交 AC 于点 M ， MA ＝ MC . (1) 求证： CD ＝ AN ； (2) 若 ∠ AMD ＝ 2∠ MCD ， 求证：四边形 ADCN 是矩形． 　 证明： (1) 证 △AMD ≌ △CMN 得 AD ＝ CN ， 又 ∵AD∥CN ， ∴ 四边形 ADCN 是平行四边形， ∴CD ＝ AN. 　 (2) 若 ∠ AMD ＝ 2∠ MCD ， 求证：四边形 ADCN 是矩形． 　 证明： ∵∠AMD ＝ 2∠MCD ， ∠AMD ＝ ∠MCD ＋ ∠MDC ， ∴∠MCD ＝ ∠MDC ， ∴MD ＝ MC ， 由 (1) 知四边形 ADCN 是平行四边形， ∴MD ＝ MN ＝ MA ＝ MC ， ∴AC ＝ DN ， ∴ ▱ ADCN 是矩形 . 　 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定 课堂小结 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 正方形的性质 学习目标 1.理解正方形的概念 . 2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别 .( 重点、难点 ) 3 .会应用正方形 的性质解决相关 证明及计算 问题 . （难点） 导入新课 观察下面图形 , 正 方形是我们熟悉的几何图形， 在 生活中无处不在 . 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 讲授新课 矩 形 〃 〃 问题 1 ： 矩形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么 发现？ 问题引入 正方形的性质 正方形 问题 2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么 发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形 . 归纳总结 已知：如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 求证：正方形 ABCD 四边相等 , 四个角都是直角 . A B C D 证明：∵四边形 ABCD 是正方形 . ∴∠ A =90° , AB = AC （正方形的定义） . 又∵正方形是平行四边形 . ∴ 正方形是矩形（矩形的定义） , 正方形是菱形 ( 菱形的定义 ). ∴∠ A =∠ B =∠ C =∠ D = 90° , AB= BC = CD = AD . 证一证 已知：如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证 ： AO = BO = CO = DO , AC ⊥ BD . A B C D O 证明：∵正方形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = BO = CO = DO . ∵ 正方形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片 , 折一折 , 观察并思考 .   正方 形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4 条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形 , 也是特殊的矩形 , 也是特殊的菱形 . 所以矩形、菱形有的性质 , 正方形都有 . 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质： 1. 正方形的四个角都是直角 , 四条边相等 . 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 . 归纳总结 例 1 求证 : 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 . A D C B O 已知 : 如图 , 四边形 ABCD 是正方形 , 对角线 AC 、 BD 相 交于点 O . 求证 : △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 是全等的 等腰直角三角形 . 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴ AC = BD , AC ⊥ BD , AO = BO = CO = DO . ∴ △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 都 是等腰直角三角形 , 并且 △ ABO ≌ △ BCO ≌ △ CDO ≌ △ DAO . 典例精析 例 2 ： 如图在正方形 ABCD 中 , E 为 CD 上一点， F 为 BC 边延长线上一点 , 且 CE = CF . BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由 . 解： BE = DF , 且 BE ⊥ DF .理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC , ∠ BCE =90° . （正方形的四条边都相等 , 四个角都是直角） ∴∠ DCF =180° - ∠ BCE =180° - 90°=90°. A B D C F E ∴∠ BCE =∠ DCF . 又∵ CE = CF . ∴△ BCE ≌ △ DCF . ∴ BE = DF . A B D F E (2) 延长 BE 交 DE 于点 M , ∵ △ BCE ≌ △ DCF , ∴∠ CBE = ∠ CDF . ∵∠ DCF =90° , ∴∠ CDF + ∠ F =90°. ∴∠ CBE + ∠ F =90° , ∴∠ BMF =90°. ∴ BE ⊥ DF . C M 例 3 如图，在正方形 ABCD 中， Δ BEC 是等边三角形， 求证： ∠ EAD ＝∠ EDA ＝ 15° . 证明：∵ Δ BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC ,∠ EBC =∠ ECB =60 °， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD ,∠ ABC =∠ DCB =90 °， ∴ AB = BE = CE = CD , ∠ ABE = ∠ DCE =30 °， ∴△ ABE ，△ DCE 是等腰三角形， ∴∠ BAE = ∠ BEA = ∠ CDE = ∠ CED =75 °， ∴∠ EAD = ∠ EDA =90 ° -75 ° =15 ° . 【变式题 1 】 四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边作等边 △ ADE ，求 ∠ BEC 的大小． 解：当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图 ① ， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝ 90° ＋ 60° ＝ 150°. ∴∠ AEB ＝ 15°. 同理可得 ∠ DEC ＝ 15°. ∴∠ BEC ＝ 60° － 15° － 15° ＝ 30° ； 当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图 ② ， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝ 90° － 60° ＝ 30° ， ∴∠ AEB ＝ 75°. 同理可得 ∠ DEC ＝ 75°. ∴∠ BEC ＝ 360° － 75° － 75° － 60° ＝ 150°. 综上所述， ∠ BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ ADE 在正方形的外部或在正方形的内部． 【变式题 2 】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB ， PB = PC ，连接 AC 、 PD ． （1）求证：△ APB ≌ △ DPC ； 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ ABC =∠ DCB =90°． ∵ PB = PC ， ∴∠ PBC =∠ PCB ． ∴∠ ABC -∠ PBC =∠ DCB -∠ PCB ， 即∠ ABP =∠ DCP ． 又∵ AB = DC ， PB = PC ， ∴△ APB ≌ △ DPC ． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ BAC =∠ DAC =45°． ∵△ APB ≌ △ DPC ， ∴ AP = DP ． 又∵ AP = AB = AD ， ∴ DP = AP = AD ． ∴△ APD 是等边三角形． ∴∠ DAP =60°． ∴∠ PAC =∠ DAP -∠ DAC =15°． ∴∠ BAP =∠ BAC -∠ PAC =30°． ∴∠ BAP =2∠ PAC ． （2） 求证： ∠ BAP =2∠ PAC ． 例 4 如图，在正方形 ABCD 中， P 为 BD 上一点， PE⊥BC 于 E ， PF ⊥ DC 于 F . 试说明： AP = EF . A B C D P E F 解 : 连接 PC ， AC . 又 ∵ PE ⊥ BC ， PF ⊥ DC , ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴∠ FCE =90°, AC 垂直平分 BD , ∴ 四边形 PECF 是矩形 , ∴ PC = EF . ∴ AP = PC . ∴ AP = EF . 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明 . 归纳 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 B D 练一练 2. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AO ＝ 2 ，求正方形的周长与面积． 解： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD ， OA ＝ OD ＝ 2. 在 Rt△ AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 正方形的周长为 4 AD ＝ ， 面积为 AD 2 ＝ 8. 2. 一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A . 2cm 2 B . 4cm 2 C . 6cm 2 D . 8cm 2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3 ．在正方形 ABC 中 , ∠ ADB = , ∠ DAC = , ∠ BOC = . 4. 在正方形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点，且 AE=AB ，则∠ EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第 3 题图 第 4 题图 45° 5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm ， AC 为对角线， AE 平分 ∠ BAC ， EF ⊥ AC ，求 BE 的长． 解： ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ B ＝ 90° ， ∠ ACB ＝ 45° ， AB ＝ BC ＝ 1cm. ∵ EF ⊥ AC ， ∴∠ EFA ＝ ∠ EFC ＝ 90°. 又 ∵∠ ECF ＝ 45° ， ∴△ EFC 是等腰直角三角形， ∴ EF ＝ FC . ∵∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∠ B ＝ ∠ EFA ＝ 90° ， AE ＝ AE ， ∴△ ABE ≌ △ AFE ， ∴ AB ＝ AF ＝ 1cm ， BE ＝ EF . ∴ FC ＝ BE . 在 Rt△ ABC 中， ∴ FC ＝ AC － AF ＝ ( － 1)cm ， ∴ BE ＝ ( － 1)cm ． 课堂小结 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 . 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 正方形的判定 学习目标 1 ． 探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别； ( 重点、难点 ) 2 ． 会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . ( 难点 ) 问题 1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 . 正方形性质： ① 四个角都是直角 ; ②四条边都相等 ; ③ 对角线相等且互相垂直平分 . O 导入新课 复习引入 问题 2 你是 如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 讲授新课 正方形的判定 活动 1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠 , 然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证 . 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 已知：如图 , 在矩形 ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC ⊥ DB . 求证：四边形 ABCD 是正方形 . 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = CO = BO = DO ， ∠ ADC =90 ° . ∵ AC ⊥ DB , ∴ AD = AB = BC = CD , ∴四边形 ABCD 是正方形 . 证一证 A B C D O 对角线互相垂直的矩形是正方形 . 活动 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状 . 量量看是不是正方形 . 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图 , 在菱形 ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证：四边形 ABCD 是正方形 . 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AB = BC = CD = AD , AC ⊥ DB . ∵ AC = DB , ∴ AO = BO = CO = DO , ∴△ AOD , △ AOB , △ COD , △ BOC 是等腰直角三角形， ∴∠ DAB =∠ ABC =∠ BCD =∠ A D C =90 ° , ∴四边形 ABCD 是正方形 . 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形 . 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 ( 二选一 ) 菱形条件 ( 二选一 ) 一个直角， 一组邻边相等， 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 在四边形 ABCD 中， O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A ． AC = BD ， AB∥CD ， AB = CD B ． AD∥BC ，∠ A =∠ C C ． AO = BO = CO = DO ， AC ⊥ BD D ． AO = CO ， BO = DO ， AB = BC 练一练 C A B C D O 例 1 在正方形 ABCD 中，点 E 、 F 、 M 、 N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN ．四边形 EFMN 是正方形吗 ? 为什么 ? 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD = DA ， ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90 ° . ∵ AE = BF = CM = DN ， ∴ AN = BE = CF = DM . 分析：由已知可证 △ AEN ≌ △ BFE ≌ △ CMF ≌ △ DNM ，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可 . 典例精析 在△ AEN 、△ BFE 、△ CMF 、△ DNM 中， AE = BF = CM = DN , ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D , AN = BE = CF = DM , ∴△ AEN ≌ △ BFE ≌ △ CMF ≌ △ DNM , ∴ EN = FE = MF = NM ， ∠ ANE =∠ BEF , ∴ 四边形 EFMN 是菱形 ， ∠ NEF =180° － （∠ AEN +∠ BEF ） =180° － （∠ AEN +∠ ANE ） =180° － 90°=90°. ∴ 四边形 EFMN 是正方形 . 例 2 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , BE 平分 ∠ ABC , CE 平分 ∠ DCB , BF ∥ CE , CF ∥ BE . 求证：四边形 BECF 是正方形 . F A B E C D 解析： 先由两组平行线得出四边形 BECF 平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形； 45° 45° F A B E C D 证明 : ∵ BF ∥ CE , CF ∥ BE ， ∴四边形 BECF 是平行四边形 . ∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ ABC = 90° , ∠ DCB = 90° , ∵ BE 平分∠ ABC , CE 平分∠ DCB , ∴∠ EBC = 45° , ∠ ECB = 45° , ∴ ∠ EBC = ∠ ECB . ∴ EB = EC , ∴ □ BECF 是菱形 . 在 △ EBC 中 ∵ ∠ EBC = 45 ° , ∠ ECB = 45° , ∴∠ BEC = 90° , ∴菱形 BECF 是正方形 . 证明： ∵ DE ⊥ AC ， DF ⊥ AB ， ∴∠ DEC = ∠ DFC =90° . 又∵ ∠ C =90 ° ， ∴ 四边形 ADFC 是矩形 . 过点 D 作 DG ⊥ AB ，垂足为 G . ∵ AD 是∠ CAB 的平分线 DE ⊥ AC ， DG ⊥ AB ， ∴ DE = DG . 同理得 DG = DF ， ∴ ED = DF ， ∴四边形 ADFC 是正方形 . 例 3 如图，在直角三角形中，∠ C =90° ，∠ A 、∠ B 的平分线交于点 D . DE ⊥ AC ， DF ⊥ AB . 求证 : 四边形 CEDF 为正方形 . A B C D E F G 例 4 如图， EG , FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O , 且 EG ⊥ FH . 求证：四边形 EFGH 是正方形 . 证明：∵四边形 ABCD 为正方形 , ∴ OB = OC , ∠ ABO= ∠ BCO =45° , ∠ BOC =90°=∠ COH +∠ BOH . ∵ EG ⊥ FH , ∴∠ BOE +∠ BOH =90° , ∴∠ COH= ∠ BOE , ∴ △ CHO ≌ △ BEO , ∴ OE = OH . 同理可证： OE = OF = OG , B A C D O E H G F ∴ OE=OF=OG=OH . 又∵ EG ⊥ FH , ∴四边形 EFGH 为菱形 . ∵ EO + GO = FO + HO , 即 EG = HF , ∴四边形 EFGH 为正方形 . B A C B O E H G F 例 5 如图，正方形 ABCD ，动点 E 在 AC 上， AF ⊥ AC ，垂足为 A ， AF = AE ． （1）求证： BF = DE ； （2）当点 E 运动到 AC 中点时 ( 其他条件都保持不变 ) ， 问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由． （1）证明：∵正方形 ABCD ， ∴ AB = AD ，∠ BAD =90°， ∵ AF ⊥ AC ，∴∠ EAF =90°， ∴∠ BAF =∠ EAD ， 在△ ADE 和△ ABF 中， AD ＝ AB ，∠ DAE ＝∠ BAF ， AE ＝ AF , ∴△ ADE ≌ △ ABF （SAS），∴ BF = DE ； （2）解：当点E运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形， 理由：∵点 E 运动到 AC 的中点， AB = BC ， ∴ BE ⊥ AC ， BE = AE = AC ， ∵ AF = AE ， ∴ BE = AF = AE . 又∵ BE ⊥ AC ，∠ FAE =∠ BEC =90°， ∴ BE ∥ AF ， ∵ BE = AF ， ∴得平行四边形 AFBE ， ∵∠ FAE =90°， AF = AE ， ∴四边形 AFBE 是正方形． 思考 前面学菱形时我们探究了 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 . 顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 当堂练习 1. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC ⊥ BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当∠ ABC =90°时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC = BD 时，四边形 ABCD 是正方形 D 3. 如图，四边形 ABCD 中，∠ ABC =∠ BCD =∠ CDA =90°，请添加一个条件 ____________________ ，可得出该四边形是正方形． AB = BC ( 答案不唯一 ) A B C D O 4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从① AB = BC ，②∠ ABC =90°，③ AC = BD ，④ AC ⊥ BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是 _________________ （只填写序号）． ②③或①④ 5. 如图，在四边形 ABCD 中 , AB = BC , 对角线 BD 平分  ABC , P 是 BD 上一点 , 过点 P 作 PM  AD , PN  CD , 垂足分别为 M 、 N . (1) 求证：  ADB =  CDB ; (2) 若  ADC =90  , 求证：四边形 MPND 是正方形 . C A B D P M N 证明：（ 1 ）∵ AB = BC , BD 平分∠ ABC . ∴∠1=∠2. ∴△ ABD ≌ △ CBD (SAS). ∴∠ ADB= ∠ CDB . 1 2 C A B D P M N （ 2 ）∵∠ ADC =90°; 又∵ PM ⊥ AD , PN ⊥ CD ; ∴∠ PMD =∠ PND =90°. ∴四边形 NPMD 是矩形 . ∵∠ ADB =∠ CDB ; ∴∠ ADB =∠ CDB =45°. ∴∠ MPD =∠ NPD =45°. ∴ DM = PM,DN = PN . ∴ 四边形 NPMD 是正方形 . 6. 如图，△ ABC 中， D 是 BC 上任意一点， DE ∥ AC ， DF ∥ AB ． ①试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由． ②连接 AD ，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形，为什么？ 解：①∵ DE ∥ AC ， DF ∥ AB ， ∴四边形 AEDF 为平行四边形 . ②∵四边形 AEDF 为菱形， ∴ AD 平分∠ BAC ， 则 AD 平分∠ BAC 时，四边形 AEDF 为菱形 . ③在②的条件下，当△ ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形，不说明理由． 解：由四边形 AEDF 为正方形 ∴∠ BAC =90°， ∴△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形即可． 课堂小结 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 小结与复习 第一章 特殊平行四边形 项目 四边形 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、 矩形、 正方形的性质 要点梳理 四边形 条件 ① 定义：有一外角是直角的平行四边形 ② 三个角是直角的四边形 ③ 对角线相等的平行四边形 ① 定义：一组邻边相等的平行四边形 ② 四条边都相等的四边形 ③ 对角线互相垂直的平行四边形 ① 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 二、菱形、 矩形、 正方形的判定方法 例 1 ： 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠ BAD =60° ， BD = 6 ， 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 . 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直) OB = OD = BD = ×6=3 (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中， ∵∠ BAD =60°， ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. A B C O D 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 证明：在 △ AOB 中 . ∵ AB = , OA =2, OB =1 . ∴ AB 2 = AO 2 + OB 2 . ∴ △ AOB 是直角三角形 , ∠ AOB 是直角 . ∴ AC ⊥ BD . ∴ □ ABCD 是菱形 ( 对角线垂直的平行四边形是菱形 ) . 1. 已知：如右图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AB = , OA =2, OB =1. 求证： □ ABCD 是菱形 . A B C O D 针对训练 2. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由 . A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形 . 过点 C 作 AB 边的垂线交点 E , 作 AD 边上的垂线交点 F . S 四边形 ABCD = AD · CF = AB · CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ AD = AB . ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 例 2 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线相交于点 O , ∠ AOD = 120° , AB = 2.5 , 求矩形对角线的长 . 解：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ( 矩形的对角线相等 ) . OA = OC = AC , OB = OD = BD , ( 矩形对角线相互平分 ) ∴ OA = OD . A B C D O 考点二 矩形的性质和判定 A B C D O ∵ ∠ AOD =120° , ∴ ∠ ODA = ∠ OAD = (180° - 120°)=30°. 又∵ ∠ DAB =90° , （矩形的四个角都是直角） ∴ BD = 2 AB = 2 × 2.5 = 5. 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 A 作 AE∥BD ，过点D作 ED∥AC ，两线相交于点 E ． 求证：四边形 AODE 是菱形； 证明：∵ AE∥BD ， ED∥AC ， ∴四边形 AODE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD ， OA = OC = AC ， OB = OD = BD ， ∴ OA = OC = OD ， ∴四边形 AODE 是菱形. 【变式题】 如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 B E∥AC ， CE∥BD ， B E 、 CE 交于点 E ，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ B E∥AC , CE ∥ BD ， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 . 3. 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , △ ABO 是等边三角形 , AB =4 , 求 □ ABCD 的面积 . 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OA = OC , OB = OD . 又∵ △ ABO 是等边三角形 , ∴ OA = OB = AB = 4 , ∠ BAC =60°. ∴ AC = BD = 2 OA = 2×4 = 8. A B C D O 针对训练 ∴ □ABCD 是矩形 （ 对角线相等的平行四边形是矩形 ） . ∴∠ ABC =90° （矩形的四个角都是直角） . 在 Rt △ ABC 中 , 由勾股定理 , 得 AB 2 + BC 2 = AC 2 , ∴ BC = . ∴ S □ABCD = AB · BC = 4× = A B C D O 4. 如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 B E ∥ AC ， CE ∥ BD ， B E 、 CE 交于点 E ，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ DE∥AC , CE ∥ BD ， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 （有一个角是直角 的平行四边形是矩形 ） . 例 4 如图，已知在四边形 ABFC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，且 CF ＝ AE ； (1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由； (2) 当 ∠ A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论． 解： (1) 四边形 BECF 是菱形． 理由如下： ∵ EF 垂直平分 BC ， ∴ BF ＝ FC ， BE ＝ EC ， ∴∠3 ＝ ∠1. ∵∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠3 ＋ ∠4 ＝ 90° ， ∠1 ＋ ∠2 ＝ 90°,∴∠2 ＝ ∠4 ， 考点三 正方形的性质和判定 ∴ EC ＝ AE ， ∴ BE ＝ AE . ∵ CF ＝ AE ， ∴ BE ＝ EC ＝ CF ＝ BF ， ∴ 四边形 BECF 是菱形； (2) 当 ∠ A ＝ 45° 时，菱形 BECF 是正方形． 证明如下： ∵∠ A ＝ 45° ， ∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ CBA ＝ 45° ， ∴∠ EBF ＝ 2∠ CBA ＝ 90° ， ∴ 菱形 BECF 是正方形． 方法总结 正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 例 5 如图， △ ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN ∥ BC ，设 MN 交 ∠ BCA 的平分线于点 E ，交 ∠ BCA 的外角 ∠ ACG 的平分线于点 F ，连接 AE 、 AF . (1) 求证： ∠ ECF ＝ 90° ； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请 说明理由； (1) 证明： ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ ECF ＝ ×180° ＝ 90°. (2) 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形．理由如下： ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ OEC ＝ ∠ BCE ， ∠ OFC ＝ ∠ GCF . 又 ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ OCE ＝ ∠ OEC ， ∠ OCF ＝ ∠ OFC ， ∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO ， ∴ OE ＝ OF . 又 ∵ 当点 O 运动到 AC 的中点时， AO ＝ CO ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵∠ ECF ＝ 90° ， ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 解：当点 O 运动到 AC 的中点时， 且满足 ∠ ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形． ∵ 由 (2) 知当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形， 已知 MN ∥ BC ， 当 ∠ ACB ＝ 90° ， 则 ∠ AOF ＝ ∠ COE ＝ ∠ COF ＝ ∠ AOE ＝ 90° ， 即 AC ⊥ EF ， ∴ 四边形 AECF 是正方形． (3)在(2)的条件下，△ ABC 应该满足 什么 条件时， 四边形 AECF 为正方形． 针对训练 5. 如图，两个含有30°角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 FC 滑动，下列说法错误的是（　　） A．四边形 ACDF 是平行四边形 B．当点 E 为 BC 中点时，四边形 ACDF 是矩形 C．当点 B 与点 E 重合时，四边形 ACDF 是菱形 D．四边形 ACDF 不可能是正方形 B 6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC =6， BD =10，则菱形 ABCD 的面积为 ______ ． 30 A B C O D 7. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG ，点 E 、 F 分别在 AG 上，连接 BE 、 DF ，∠ 1 ＝∠ 2 ，∠ 3 ＝∠ 4. (1) 证明：△ ABE ≌ △ DAF ； (2) 若∠ AGB ＝ 30° ，求 EF 的长． (1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ AD . 在△ ABE 和△ DAF 中， ∴△ ABE ≌ △ DAF . (2) 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠1＋∠4＝90° . ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠ AFD ＝90°. 在正方形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∴∠1＝∠ AGB ＝30°. 在Rt△ ADF 中，∠ AFD ＝90°， AD ＝2， ∴ AF ＝ ， DF ＝1. 由(1)得△ ABE ≌ △ DAF ， ∴ AE ＝ DF ＝1， ∴ EF ＝ AF － AE ＝ －1. 两组对边平行 一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 一个角是直角 一个角是直角且一组邻边相等 课堂小结