九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程教学课件新版北师大版

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2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 行程问题及几何问题 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题 , 并能根据具体 问题的实际意义 , 检验结果的合理性 . （重点、难点） 2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程 , 并能运用所学的知识 解决问题． 问题： 如图 , 在一块长为 92 m , 宽为 60 m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等 , 水渠把耕地分成面积均为 885 m 2 的 6 个矩形小块 , 水渠应挖多宽？ 分析：设水渠宽为 x m ，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 ( 92 – 2 x ) m , 宽 ( 60 - x ) m . 解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2 x ) （ 60 - x ） = 6 × 885 . 导入新课 利用一元二次方程解决行程（几何）问题 一 例1 ： 如图,某海军基地位于 A 处,在其正南方向200 n mile 处有一 目标 B , 在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标 C . 小岛 D 位于 AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的 正南方向.一艘军舰沿 A 出发,经 B 到 C 匀速巡航,一艘补给船同时从 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. (1)小岛 D 与小岛 F 相距多少海里? 东 北 A B C D F 解：连接 DF . ∵ AD = CD , BF = CF , ∴ DF 是 △ ABC 的中位线 . ∴ DF ∥ AB ，且 DF = AB ， 导入新课 ∵ AB ⊥ BC , AB = BC =200n mile, ∴ DF ⊥ BC , DF =100n mile. 东 北 A B C D F (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到 0.1 海里)？ E 解 : 设相遇是补给船航行了 x n mile , 那么 DE = x n mile , AE + BE = 2 x n mile, EF = AB + BF - ( AB + BE ) = (300 - 2 x ) n mile. 在 Rt △ DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2 = 100 2 + (300 - 2 x ) 2 . 整理得： 3 x 2 - 1200 x + 100000 = 0 , 解方程得 ( 不符题意舍去 ) 例 2 ： 《 九章算术 》“ 勾股”章中有一题 :“ 今有二人同所立 . 甲行率七 , 乙行率三 . 乙东行 , 甲南行十步而斜东北与乙会 . 问甲乙各行几何 ?” 大意是说 : 已知甲 , 乙二人同时从同一地点出发 , 甲的速度是 7, 乙 的速度是 3. 乙一直向东走 , 甲先向南走 10 步 , 后又斜向北偏东方向 走了一段后与乙相遇 . 那么相遇时 , 甲 , 乙各走了多远 ? 解 : 设甲 , 乙相遇时所用时间为 x , 根据题意 , 得 (7 x - 10) 2 = (3 x ) 2 +10 2 . 整理得 2 x 2 - 7 x = 0. 解方程 , 得 x 1 =3.5, x 2 =0 ( 不合题意 , 舍去 ). ∴ 3 x =3 × 3.5 =10.5 , 7 x = 7 × 3.5 = 24.5 . 答 : 甲走了 24.5 步 , 乙走了 10.5 步 . 乙 : 3 x 甲 : 10 A B C 7 x -10 例 3 ： 一块长和宽分别为60 cm 和40 cm 的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800 cm 2 .求截去正方形的边长. 800cm 2 x x 解 : 设截取正方形的边长为 x m , 根据题意 , 得 (60 - 2 x )(40 - 2 x ) = 800 . 整理得 x 2 - 50 x + 400 = 0. 解方程 , 得 x 1 =10 , x 2 = 40 ( 不合题意 , 舍去 ). 答 : 截取正方形的边长为 10cm . (60 - 2 x ) (40-2 x ) 1. 如图，在矩形 ABCD 中， AB =6cm , BC =12cm， 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以2 cm/s 的速度移动，如果 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时出发，那么几秒后五边形 APQCD 的面积为64 cm 2 ？ A B C D Q P 分析：求五边形 APQCD 的面积为 64cm 2 时的时间可以 转换为求 △ PQB 面积为 （ 6×12 - 64 ） cm 2 的时间 解 : 设所需时间为 t s , 根据题意 , 得 2 t (6 - t ) ÷ 2 = 6 × 12 - 64 . 整理得 t 2 - 6 t + 8 = 0 . 解方程 , 得 t 1 = 2 , t 2 = 4 . 答 : 在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64cm 2 . (6 - t ) 2 t 针对练习 1. 有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱? 解 : 设 赛义德得到钱数为 x , 根据题意得 , x (20 - x ) = 96 . 整理，得 x 2 - 20 x + 96 = 0 . 解方程，得 x 1 = 12 ， x 2 = 8 ( 不符合题意，舍去 ). 答：赛义德得到钱数为 12. 当堂练习 解：设 x 秒后， △ PCQ 的面积是 Rt △ ABC 面积的一半 . 根据题意 整理，得 x 2 - 14 x + 24 = 0 . 解方程，得 x 1 = 2 , x 2 = 12 ( 不符题意，舍去 ). 答： 2 秒后，△ PCQ 的面积是 Rt △ ABC 面积的一半 . 2. 如图,在 R t △ ABC 中 ,∠ C =90°, 点 P , Q 同时由 A , B 两点出发 , 分别沿 AC , BC 方向向点 C 匀速移动（到点 C 为止） , 它们的速度都是 1m/s. 几秒后△ PCQ 的面积是 Rt △ ACB 面积的一半 ? A B C P Q 8m 6m 利用一元二次方程 解决行程问题 列方程步骤： 应用类型 几何问题 行程问题 面积问题 动点问题 审 设 列 解 检 答 课堂小结