中考数学专题复习练习：用因式分解法解一元二次方程

中考数学专题复习练习：用因式分解法解一元二次方程

典型例题一 例 用因式分解法解下列方程 解：把方程左边因式分解为：‎ ‎∴或 ‎∴ ‎ 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。‎ 典型例题二 例 用因式分解法解下列方程。‎ 解: 移项得：‎ 把方程左边因式分解 得：‎ ‎∴或 ‎∴‎ 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。‎ 典型例题三 例 用因式分解法解下列方程 ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ 分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.‎ 解：（1）原方程可变形为 或，‎ ‎∴.‎ ‎（2）原方程可化为 ‎，‎ 即 ，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴.‎ 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.‎ 典型例题四 例 用因式分解法解方程：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）.‎ 分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为的形式，然后通过或，求出.‎ 解：（1），‎ 或.‎ ‎（2），‎ 即 .‎ ‎∴或，‎ ‎∴‎ ‎（3），‎ 即 或.‎ ‎∴.‎ ‎（4），‎ 即 或，‎ ‎∴.‎ 说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.‎ 典型例题五 例　用适当方法解下列方程：‎ ‎（1）；　　　　　　　　　（2）；‎ ‎（3）；　（4）‎ ‎（5）（用配方法）‎ 解：（1）移项，得 ‎，‎ 方程两边都除以2，得 ‎，‎ 解这个方程，得 ‎，‎ ‎，‎ 即 ‎，‎ ‎（2）展开，整理，得 方程可变形为 ‎ 或，‎ ‎　　∴　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（3）展开，整理，得 ‎，‎ 方程可变形为　‎ 或 ‎∴　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（4）∵　‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ , 　‎ ‎（5）移项，得 ‎，‎ 方程各项都除以3，得 配方，得 ‎，‎ 解这个方程，得 ‎,‎ 即 ‎ ‎，‎ ‎ 说明:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式()，若，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题．若，,‎ ‎ 时，可用因式分解法求解，如（2）题．若a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题．‎ ‎ 而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得，用因式分解法求解，得，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以，这会丢掉一个根．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式．‎ 典型例题六 例 解关于的方程（） ‎ 解法一：原方程可变形为 或 ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ 解法二：∵，，，‎ ‎，‎ 又 ，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎ 说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零．‎ 对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单．‎ 典型例题七 例 已知，试解关于的方程 分析 由，容易得到或．整理关干x的方程，得．题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程。‎ 解：由，得 ‎,‎ ‎∴ ‎ 整理，得 当时，原方程为，‎ 解得 当时，原方程为，‎ 解得 ‎∴ 当时，‎ 当时，‎ 填空题 ‎1．方程的根是 ‎ ‎2．（盐城市，1998）方程的解是 ‎ ‎3．方程的解是 ‎ 答案：1． 2． 3．.‎ 解答题 1． 用因式分解法解下列方程：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）。‎ ‎（5）；（6）；‎ ‎（7）；（8）；‎ ‎（9）；（10）.‎ ‎2. 用因式分解法解下列方程：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎3．用因式分解法解下列关于的一元二次方程：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；‎ ‎（5）‎ ‎4．用适当的方法解下列方程：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；‎ ‎（5）；（6）.‎ ‎5．已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程的根，求这个三角形的周长.‎ 答案：‎ ‎1．（1）； （2）；‎ ‎ （3）； （4）.‎ ‎（5），（6），（7），（8），（9），（10），.‎ ‎2. （1）；‎ ‎ （2）； （3）.‎ ‎3．（1），（2），（3），（4），（5），.‎ ‎4．（1），（2），（3），（4），（5），（6），‎ ‎5．提示：三角形两边之和大于第三边，三角形周长为.‎