2020-2021九年级数学上册一元二次方程单元同步练习1（新人教版pdf格式）

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2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习：一元二次方程（一） 一、选择题 1．将一元二次方程 23 1 6xx 化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．3，-6 B．3，6 C．3，1 D． 23 , 6xx 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a≠0 的条件．这是 在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c 分 别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】 解 化成一元二次方程一般形式是 23-610xx ，则它的二次项系数是 3，一次项系数是-6． 故选 A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般 形式． 2．解一元二次方程 x2＋4x－1＝0，配方正确的是（ ） A．   223x  B．   223x  C．   225x  D．   225x  【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】 ∵x2+4x-1=0， ∴x2+4x+4=5， ∴（x+2）2=5， 故选：C． 【点评】此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法． 3．关于 x 的方程 x2﹣3x+k＝0 的一个根是 2，则常数 k 的值为（ ） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=2 代入 2x - 3 x + k = 0 得 4-6+k=0，然后解关于 k 的方程即可. 【详解】 把 x=2 代入 得，4-6+k=0， 解得 k=2. 故答案为：B. 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义，把已知代入方程，列出关于 k 的 新方程，通过解新方程来求 k 的值是解题的关键. 4．定义：如果一元二次方程 2 0(a0)axbxc 满足 0abc ，那么我们称这个方程为“凤凰”方 程． 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）． A． ac B． ab C． D． abc 【答案】A 【解析】 【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△ =b2-4ac=0，又 a+b+c=0，即 b=-a-c，代入 b2-4ac=0 得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到 a 与 c 的关系． 【详解】 ∵一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 ∴△=b2−4ac=0， 又 a+b+c=0，即 b=−a−c， 代入 b2−4ac=0 得(−a−c)2−4ac=0， 即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0， ∴a=c 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系． 5．若关于 x 的一元二次方程 22(1)5320mxxmm 有一个根为 0，则 m 的值（ ） A．0 B．1 或 2 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】把 x=0 代入已知方程得到关于 m 的一元二次方程，通过解方程求得 m 的值；注意二次项系数不为 零，即 m-1≠0． 【详解】 解：根据题意，将 x=0 代入方程，得：m2-3m+2=0， 解得：m=1 或 m=2， 又 m-1≠0，即 m≠1， ∴m=2， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的 m 的值必须满 足：m-1≠0 这一条件． 6．若关于 x 的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0 的一个解是 x＝0，则 a 的值为( ) A．1 B．－1 C．±1 D．0 【答案】A 【解析】 【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于 a 的方程，从而求得 a 的值,且（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0 为一元二次方程， + 1 0a  即 -1a  ． 【详解】 把 x=0 代入方程得到：a2－1＝0 解得：a=±1． （a＋1)x2＋x＋a2－1＝0 为一元二次方程  即 ． 综上所述 a=1. 故选：A． 【点评】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法. 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数 是 13，则每个支干长出（ ） A．2 根小分支 B．3 根小分支 C．4 根小分支 D．5 根小分支 【答案】B 【解析】 【分析】先设每个支干长出 x 个分支，则每个分支又长出 x 个小分支，x 个分支共长出 x2 个小分支；再根据 主干有 1 个，分支有 x 个，小分支有 x2 个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的 x 的 值即可. 【详解】 设每个支干长出 x 个分支， 根据题意得 1+x+x•x=13， 整理得 x2+x-12=0， 解得 x1=3，x2=-4（不符合题意舍去）， 即每个支干长出 3 个分支. 故应选 B. 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合 适的等量关系，列出方程，再求解． 8．关于 x 的方程（m+n）x2+ mn 2 -（m-n）x=0（m+n≠0）的二次项系数与一次项系数的和为 1 2 ，差为 2，则 常数项为（ ） A． 1 8 B． C． 1 16 D． 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】二次项系数与一次项系数的和为 1 2 ，差为 2 列方程组求出 m、n 的值，然后可求出常数项. 【详解】 由题意得         1 2 2 mnmn mnmn     ， 解之得 1 1 4 m n   ， ∴ 1 1 14 =2 2 8 mn   . 故选 A. 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数 的最高次数都是 2，像这样的方程叫做一元二次方程.对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0），其中 a 是二次 项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.本题也考查了二元一次方程组的解法. 9．方程（x+1）2＝0 的根是（ ） A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解. 【详解】 (x+1)2＝0, 解: x+1=0, 所以 x1＝x2＝﹣1, 故选 B. 【点评】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法. 10．若代数式 2x 6x 5的值是12，则 x 的值为（ ） A．7 或-1 B．1 或-5 C．-1 或-5 D．不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】首先把方程化为一般形式 x2-6x+5-12=0，即 x2-6x-7=0，用因式分解法求解． 【详解】 2 6512,xx 2 65120,xx 2 670,xx   7 1 0,xx   ∴ 7 0,x  10,x  解得： 127,1.xx  故选:A. 【点评】考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 11．将一元二次方程 2 230xx 用配方法化成  2()0xhkk 的形式为（ ） A． 2 ( 1) 4x B． 2( 1) 1x C． 2 ( 1) 4x D． 2 ( 1) 1x 【答案】A 【解析】 【分析】先移项得，x2-2x=3，然后在方程的左右两边同时加上 1，即可化成（x+h）2=k 的形式． 【详解】 移项，得 x2-2x=3， 配方，得 x2-2x+1=3+1， 即（x-1）2=4． 故选 A． 【点评】本题考查了配方法的应用，将一元二次方程 x2-2x-3=0 用配方法化成（x+h）2=k （k≥0）的形式， 其关键步骤就是移项后，在方程的左右两边加上一次项系数一半的平方． 12．如果关于 x 的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0 有一个解是 0，那么 m 的值是（ ） A．﹣3 B．3 C．±3 D．0 或﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】把 X=0 代入方程(m-3)x 2 +3x+m -9=0 中,解关于 m 的一元二次方程,注意 m 的取值不能使原方程 对二次项系数为 0 【详解】 把 x=0 代入方程(m-3)x +3X+m -9=0 中 得：m -9=0 解得 m=-3 或 3 当 m=3 时,原方程二次项系数 m-3=0,舍去, 故选 A 【点评】此题主要考查一元二次方程的定义，难度不大 二、填空题 13．若方程 2234m x x x   是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是_____. 【答案】 1m  【解析】 【分析】将原方程化为一般式，根据一元二次方程中，二次项系数不能为零求解即可. 【详解】 原方程可化为：   21340mxx ， ∵方程 是关于 的一元二次方程， ∴ 10m  ，即 ， 故答案为： . 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不能为零这一点是解题关键. 14．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0 的解为_____． 【答案】3 或-7 【解析】 据题意得，∵（x+2）*5=（x+2）2-52∴x2+4x-21=0，∴（x-3）（ x+7）=0，∴x=3 或 x=-7． 15．若方程 2 410xx 的两根 12,xx，则 1 2 2(1 )x x x++的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出 12xx ， 12xx 代入即可求解． 【详解】 ∵ 12,xx是方程 2 4 1 0xx   的两根 ∴ =- b a =4， = c a =1 ∴ 122( 1 )x x x ++= 1122x x x x= 1212x x x x =4+1=5， 故答案为：5． 【点评】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知 =- ， = 的运用． 16．已知 1x  是一元二次方程 2 20x m x   的一根，则该方程的另一个根为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可． 【详解】 设方程的另一根为 x1， 由根与系数的关系可得：1× x1=－2， ∴x1=－2. 故答案为：－2. 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，明确根与系数的关系是解题的关键. 三、解答题 17．已知：已知关于 x 的方程 2 20xmxm （1）求证：不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若该方程的一个根为 1，求 的值及方程的另一个根. 【答案】（1）见解析；（2） 1 2m  ，方程的另一个根是 3 2 . 【解析】 【分析】(1)由方程的各系数 结合根的判别式可得出△ >0，由此即可得出结论 (2)将 x=1 代入原方程，得出关于 m 的一元一次方程，解方程求出 m 的值，将其代入原方程得出关于 x 的一 元二次方程，结合根与系数的关系得出方程的另一个解. 【详解】 解：(1)证明：∵在关于 x 的方程 2 20x mx m    中，    22 412240mmm  ， 所以不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)将 x=1 代入方程中得出：1+m+m-2=0 解得： 1m 2 , ∴原方程为： 2 13022xx   ∴ 12 1 2 bxx a     ∵ 1 1x  ∴ 2 3 2x  ∴ ，方程的另一个根是 . 【点评】本题考查的知识点是根的判别式以及根与系数的关系，熟记每个公式是解题的关键. 18．据统计某市农村 2013 年人均纯收入是 10000 元，预计 2015 年人均纯收入可达到 12100 元．  1 试求该市农村这两年人均纯收入的平均增长率；   2 按此增长速度 2016 年该市农村人均纯收入可达到多少元？ 【答案】(1) 1? 0% ；  2 2016 年该市农村人均纯收入可达到 13310 元． 【解析】 【详解】 (1)设该市农村这两年人均纯收入的平均增长率为 x， 根据题意得：10000（1+x）2=12100， 解得：x=0.1 或 x=﹣2.1（舍去）， 故该市农村这两年人均纯收入的平均增长率为 10% ；    2 12100110%13310 （元）， 答： 年该市农村人均纯收入可达到 元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解此题的关键在于先设出未知数 x，再根据题意列出方程求解 即可. 19．选择适当方法解下列方程： （1） 2 510xx （用配方法）； （2）    2322xx x ；（ 3） 22 2 2 5 0xx   ； （4）   222 3 1yy   . 【答案】（1） 1 5 21 2x  ， 2 5 21 2x  ；（ 2） 1 2x  ， 2 3x  ；（ 3） 1 2 2 3 2x  ， 2 2 2 3 2x  ； （4） 1 3 2y  ， 2 1 4y  ． 【解析】 【分析】【详解】 解：   21 5 1 0xx   ， 移项得： 2 51xx   ， 配方得： 2 25 255144xx     ， 即 25 2 1()24x ， ∴ 5 21 22x    ， ∴ 1 521 2x  ， 2 521 2x  ；    223(2)2xxx ， 移项，得  23(2)20xxx ，   2360xxx ， 20x 或 260x ， 1 2x  ， 2 3x  ； ;   23 22250xx ， ∵ 2a  ， 22b  ， 5c  ， ∴  8 4 2 5 48      ， ∴ 2248223 222x  ， ∴ 1 2 2 3 2x  ， 2 2 2 3 2x  ； ;   224 ( 2) (3 1)yy   ．  2 3 1yy    ， 2 3 1yy   ，或  2 3 1yy    ， 1 3 2y  ， 2 1 4y  ． 【点评】掌握一元二次方程的求根方法是解题的关键. 20．已知关于 x 的方程   221 1 0m x m x m     ．  1 m 为何值时，此方程是一元一次方程？  2 m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) 1m  时，此方程是一元一次方程；（2） 1m  ．一元二次方程的二次项系数 2 1m  、一次项 系数  1m，常数项 m ．; 【解析】 试题分析：（1）根据一元一次方程的定义可得 2 1m  =0，且 m+1≠0，解得 m 的值； （2）根据一元二次方程的定义可得 ≠0，可得 m 的取值范围，然后写出一元二次方程的二次项系数、 一次项系数及常数项． 试题解析：解：（1） =0，且 m+1≠0， 解得 m=1， 答：当 m=1 时，此方程是一元一次方程； （2） 2 1m  ≠0，解得 m≠±1， 答：当 m≠±1 时，此方程是一元二次方程，其二次项系数为 ，一次项系数为-（m+1），常数项为 m． 考点：一元一次方程的定义；一元二次方程的定义． 21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 求代数式 y2+4y+8 的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8 的最小值是 4． （1）求代数式 m2+m+1 的最小值； （2）求代数式 4﹣x2+2x 的最大值． 【答案】（1） 3 4 ；（ 2）5． 【解析】 【分析】（1）根据题中的解法即可得到答案； （2）同理（1）. 【详解】 （1）m2+m+1=m2+m+ 1 4 + 3 4 =（m+ 1 2 ）2+ ≥ ， 则 m2+m+1 的最小值是 ； （2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5， 则 4﹣x2+2x 的最大值是 5． 【点评】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利 用非负数的性质即可得解. 22．一玩具城以 49 元/个的价格购进某种玩具进行销售，并预计当售价为 50 元/个时，每天能售出 个玩具， 且在一定范围内，当每个玩具的售价平均每提高 0.5 元时，每天就会少售出 3 个玩具  1 若玩具售价不超过60 元/个，每天售出玩具总成本不高于 686 元，预计每个玩具售价的取值范围；  2 在实际销售中，玩具城以 中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础，进一步调整了销售方案，将 每个玩具的售价提高了 %a ，从而每天的销售量降低了 2%a ，当每天的销售利润为 147 元时，求 a 的值． 【答案】 预计每个玩具售价的取值范围是 5 6 6 0x ； 25a  或 1 2 . 5a  ． 【解析】 【分析】 根据题意列不等式组即可得到结论；; 由 知最低销售价为 56 元/个，对应销售量为 56 5050 3 140.5    个 ，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】 解： 每个玩具售价 x 元/个， 根据题意得 60 5049503686 0.5 x x      ， 解得： ， 答：预计每个玩具售价的取值范围是 ； 由 知最低销售价为 元/个，对应销售量为 ， 由题意得：    56 1 % 49 14 1 2 % 147aa      ， 令 %ta ，整理得： 232 12 1 0tt   ， 解得： 1 1 4t  ， 2 1 8t  ， ∴ 25a  或 1 2 . 5a  ． 【点评】考查一元二次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，根据题意列出方程和不等式进行求解即 可. 23．某林场计划修一条长 750 m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 21 . 6 m ，上口宽比渠深多 2 m ，渠底 比渠深多 0 . 4 m  1 渠道的上口宽与渠底宽各是多少？  2 如果计划每天挖土 348 m ，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 【答案】 渠道的上口与渠底宽各是 2 . 8 米和 1 . 2 米; 需要 25 天才能把这条渠道的土挖完． 【解析】 【分析】（1）设渠道深 x 米，则上口的宽度是（x+2）米，渠底宽（x+0.4）米，根据断面面积为 1.6 平方米， 列出方程，求解即可； （2）根据渠道的长为 750 米，求出渠道的体积，再根据每天挖土 48 立方米，即可求出需要的天数． 【详解】 设渠道深 x 米，则上口的宽度是  2x  米，渠底宽  0.4x  米，根据题意得：    1 2 0.4 1.62 x x x   ， 解得： 1 2x  （舍去）， 2 0.8x  ， 则渠道的上口宽是：0.822.8 （米）， 渠底宽是0.8 0.4 1.2（米）； 答：渠道的上口与渠底宽各是 米和 米;  2 ∵渠道的长为 750 米， ∴渠道的体积为 7 5 0 1 . 6 1 2 0 0 （立方米）， ∵每天挖土 48 立方米， ∴需要的天数是： 1 2 0 0 4 8 2 5 （天）， 答：需要 25 天才能把这条渠道的土挖完． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出未知数，找出等量关系，列方程求解. 24．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题： （1）例：解方程 x2﹣|x|﹣2＝0． 解：当 x≥0 时，原方程可化为 x2﹣x﹣2＝0． 解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意．舍去） 当 x＜0 时，原方程可化为 x2+x﹣2＝0． 解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意．舍去） ∴原方程的解是 x1＝2，x1＝﹣2． （2）请参照上例例题的解法，解方程 x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0． 【答案】x1＝﹣0.5，x2＝1 【解析】 【分析】解方程 x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．方程中|x﹣1|的值有两个，所以就要分情况讨论，然后去掉绝对值．一种 是当 x﹣1≥0 时，求解；另一种情况是当 x﹣1＜0 时，求解． 【详解】 解：当 x﹣1≥0，即 x≥1 时， 原方程可化为 x2﹣x（x﹣1）﹣1＝0 即 x﹣1＝0， 解得 x＝1 当 x﹣1＜0，即 x＜1 时， 原方程可化为 x2﹣x（1﹣x）﹣1＝0 即 2x2﹣x﹣1＝0， 解得 x1＝﹣0.5，x2＝1（不合题意．舍去） ∴原方程的解为 x1＝﹣0.5，x2＝1 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，易出错的地方是要分情况而解，所以学生容易出现漏解的现 象．