九年级数学上册第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程教学课件新版北师大版

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2.4 用因式分解法求解 一元二次方程 第二章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 了解因式分解法的解题步骤 , 会用因式分解法解一元二次方程 . （重点） 2. 能根据具体一元二次方程的特征 , 灵活选择方程的解法 . （难点） 学习目标 导入新课 情境引入 我们知道 ab =0 ， 那么 a =0 或 b =0 ，类似的解方程 （ x +1 ）（ x － 1 ） =0 时，可转化为两个一元一次方程 x +1=0 或 x -1=0 来解，你能求 （ x +3 ） （ x － 5 ） =0 的解吗？ 因式分解法解一元二次方程 一 问题： 一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等 , 这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为 x , 根据题意得 , 可得方程 x 2 = 3 x 由方程 x 2 = 3 x , 得 x 2 - 3 x = 0 因此 x 1 = 0 , x 2 = 3 . 所以这个数是 0 或 3. 小颖的思路： 小明的思路： 方程 x 2 = 3 x 两边 同时约去 x , 得 x = 3 . 所以这个数是 3 . 讲授新课 小亮的思路： 由方程 x 2 = 3 x , 得 x 2 - 3 x = 0 即 x ( x - 3) = 0 于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0 . 因此 x 1 = 0 , x 2 = 3 所以这个数是 0 或 3 小亮想： 如果 a · b= 0, 那么 a=0 或 b=0 问题： 他们做得对吗？为什么？ 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移 ----- 方程的右边 =0 ; 二分 ----- 方程的左边因式分解 ; 三化 ----- 方程化为两个一元一次方程 ; 四解 ----- 写出方程两个解 ; 简记歌诀 ： 右化零 左分解 两因式 各求解 当一元二次方程的一边是 0, 而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时 , 我们就可以用分解因式的方法求解 . 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为 因式分解法 . 例 1 ： 解下列方程： （ 1 ） 5 x 2 = 4 x ; （ 2 ） x – 2 = x ( x - 2) . 解： 5 x 2 - 4 x = 0 , x (5 x - 4) = 0 . ∴ x = 0 或 5 x – 4 =0 . ∴ x 1 = 0 , x 2 = . 解： ( x - 2) – x ( x - 2) = 0 , ( x - 2) (1 - x ) = 0 . ∴ x – 2 = 0 或 1 – x = 0 . ∴ x 1 = 2 , x 2 =1 . （ 1 ）对于一元二次方程 （ x - p ）（ x - q ） =0 , 那么它的两个实数根分 别为 p ， q . （ 2 ）对于已知一元二次方程的两个实数根为 p ， q ，那么这个一元二次方程可以写成 （ x - p ） ( x - q )=0 的形式 . 结论 拓展提升 解下列方程： （ 1 ） （ 2 x + 3 ） 2 = 4 (2 x + 3) ; （ 2 ） ( x - 2) 2 = (2 x + 3) 2 . 解： （ 2 x + 3 ） 2 - 4 (2 x + 3) =0 , ( 2 x + 3 ) ( 2 x + 3 - 4) = 0 , ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 1 ) = 0 . ∴ 2 x + 3 = 0 或 2 x - 1 = 0 . 解： （ x - 2 ） 2 - (2 x + 3) 2 =0 , ( x - 2+ 2 x + 3) ( x - 2 - 2 x - 3)=0 , (3 x + 1)( x + 5) = 0 . ∴ 3 x + 1 = 0 或 x + 5 = 0 . 灵活选用方法解方程 二 典例精析 例 2 用适当的方法解方程： （ 1 ） 3 x （ x + 5 ） = 5 （ x + 5 ） ； （ 2 ） （ 5 x + 1 ） 2 = 1 ； 分析： 该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快 . 解： 化简 ( 3 x - 5 ) ( x + 5 ) = 0 . 即 3 x - 5 = 0 或 x + 5 = 0 . 分析： 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法 . 解： 开平方 , 得 5 x + 1 = ±1 . 解得 , x 1 = 0 , x 2 = （ 3 ） x 2 - 12 x = 4 ; （ 4 ） 3 x 2 = 4 x + 1 ； 分析： 二次项的系数为 1 ，可用配方法来解题较快 . 解： 配方 , 得 x 2 - 12 x + 6 2 = 4 + 6 2 , 即 ( x - 6) 2 = 40 . 开平方 , 得 解得 x 1 = , x 2 = 分析： 二次项的系数不为 1 ，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法 . 解： 化为一般形式 3 x 2 - 4 x + 1 = 0 . ∵Δ = b 2 - 4 ac = 28 > 0 , 填一填： 各种一元二次方程的解法及适用类型 . 拓展提升 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x 2 + px + q = 0 （ p 2 - 4 q ≥0 ） ( x + m ) 2 ＝ n （ n ≥ 0 ） ax 2 + bx + c = 0( a ≠0 , b 2 - 4 ac ≥0) ( x + m ) （ x + n ）＝ 0 1. 一般地，当一元二次方程一次项系数为 0 时（ ax 2 + c =0 ），应选用 直接开平方法 ； 2. 若常数项为 0 （ ax 2 + bx =0 ）， 应选用 因式分解法； 3. 若一次项系数和常数项都不为 0 ( ax 2 + bx + c =0 ）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用 因式分解法 ，不然选用 公式法 ； 4. 不过当二次项系数是 1 ，且一次项系数是偶数时，用 配方法 也较简单. 要点归纳 解法选择基本思路 1. 快速说出下列方程的解 （ 1 ） （ 4 x - 1 ） (5 x + 7) = 0 ; x 1 = （ ） , x 2 = ( ) . （ 2 ） ( x - 2)( x - 3) = 0 ; x 1 = （ ） , x 2 = ( ) . （ 3 ） （ 2 x + 3 ） ( x - 4) = 0 ; x 1 = （ ） , x 2 = ( ) . 2. 将下面一元二次方程补充完整 . （ 1 ） （ 2 x - ） ( x + 3) = 0 ; x 1 = , x 2 = - 3 . （ 2 ） ( x - )(3 x - 4) = 0 ; x 1 = 2 , x 2 = . （ 3 ） （ 3 x +____ ） ( x + ) = 0 ; x 1 = , x 2 = - 5 . 5 1 2 - 1 5 当堂练习 解 ：化为一般式为 因式分解，得 x 2 － 2 x +1 = 0. ( x － 1 )( x － 1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0 ， x 1 = x 2 =1. 解 ：因式分解，得 ( 2 x + 11 )( 2 x － 11 ) = 0. 有 2 x + 11 = 0 或 2 x － 11= 0 ， 3. 解方程： 5. 把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 r ， 根据题意 ( r + 5 ) 2 × π =2 r 2 π . 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀 ： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果 a · b =0 ，那么 a =0 或 b =0. 原理 将方程左边因式分解，右边 =0. 因式分解的方法有 ma + mb + mc = m ( a + b + c ); a 2 ±2 ab + b 2 =( a ± b ) 2 ； a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ).