中考数学专题复习练习：二次函数2

中考数学专题复习练习：二次函数2

例 1 已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．‎ 分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：‎ 解：此题可用以下四种方法求出解析式．‎ ‎　　方法一：因为抛物线的对称轴是ｘ＝４，抛物线与ｘ轴的一个交点为（１，０），由对称性可知另一点为（７，０），同例1，抛物线y=ax2＋bx＋c通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来．‎ ‎　　方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以 ‎　　‎ ‎　　由上面的方程组解出a、b、c．‎ ‎　　方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a来. 即得出. 所求二次函数解析式为 ‎　　方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7．可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4,-3)代入上式得:所求二次函数解析式为.‎ 例 2 如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是                                   [    ]‎ A．b+c-a=0；           B．b+c-a＞0；‎ C．b+c-a＜0；            D．不能确定．‎ 解： 从图13-25上看出抛物线开口向下，所以a＜0．当x=0时，y的值为正，所以c＞0．又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0．‎ 综上分析知b+c-a＞0，应选B．‎ 注意：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为，要根据图象具体分析才能得出正确结论．‎ 例3 已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值．‎ 解：方法一 依题意，设M(x1，0)，N(x2，0)，且x1≠x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1·x2=-2b+1．‎ 因为x1，x2又是方程-x2+(a-3)x+b2-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1·x2=1-b2．由此得方程组 当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以 a=1，b=0舍去．‎ 当a=1，b=2时， 二次函数为y=x2+2x-3和y=-x2-2x+3符合题意，所以a=1，b=2．‎ 方法二 因为二次函数y=x2+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a，二次函数的图象的对称轴为，又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N．所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以，解得a=1. 所以两个二次函数分别为y=x2+2x-2b+1和y=-x2-2x+b2-1．‎ 依题意，令y=0得 x2+2x-2b+1=0，‎ ‎                                                             (1)‎ ‎-x2-2x+b2-1=0，‎ ‎                                                             (2)‎ ‎(1)+(2)得b2-2b=0，解得b1=0，b2=2．‎ 以下解法同方法一．‎ 注意：本题给出两种不同的解法．方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数 图象都经过x轴上两个不同的点M，N．从而把文字语言转化为代数语言，设M(x1，0)，N(x2‎ ‎0)，再转化为x1，x2是两个二次方程的等根来解．‎ 方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点M，N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1．在求b的过程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯,可以这样理解:都是方程(1)和(2)的解,不妨设,同时也应有,所以.从而推出2b=b2得解．‎ 最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意．‎ 例 4 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是  [    ]‎ 解： 图象大致是D．‎ 分析： 这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A．和B．，且c＞0．其次考虑完字母c后，再考虑a的取值．若a＞0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C．；再检验D．，从二次函数图象知a＜0，且c＞0，直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维 例 5 如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；‎ ‎(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．因为A、B两点在原点的两侧，所以x1·x2＜0，即-(m+1)＜0．‎ 当m＞-1时，Δ＞0，所以m的取值范围是m＞-1．‎ ‎(2)因为a∶b=3∶1，设a=3k，b=k(k＞0)，则x1=3k，x2=-k，所以 所以m=2．‎ 所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3．‎ ‎(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)．设直线BM的解析式为 y=px+q，‎ 所以直线BM的解析式是y=2x+2．设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)．所以 设P点坐标是(x，y)，因为S△ABP=8S△BCM．所以 所以｜y｜=4，由此得y=±4．‎ 当y=4时，P点与M点重合，即P(1，4)；‎ 所以满足条件的P点存在．‎ 注意：这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难．第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求△BCM的面积时要用分割法，因为△BCM是任意三角形，它的面积不好求，而△BCN和△CMN的面积都好求，底都为CN=1，高都是1．S△BCM=S△BCN+S△CMN这样就化难为易了．方程-x2+2x+3=±4有解则P点存在，如果方程无解则P点不存在，探索性题的思路都是这样的．‎ 例6 某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．‎ ‎(1)试求y与x之间的关系式；‎ ‎(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？‎ 解：(1)依题意设y=kx+b，则有 所以 y=-30x+960(16≤x≤32)．‎ ‎(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)‎ ‎                   =30(-x+32)(x-16)‎ ‎                   =30(-x2+48x-512)‎ ‎                   =-30(x-24)2+1920．‎ 所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．‎ 答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．‎ 注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．‎ 典型例题七 例 已知二次函数的图像与x轴相交于点，顶点B的纵坐标是－3.‎ ‎（1）求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）若一次函数的图像与x的轴相交于，且经过此二次函数的图像的顶点B，当时，‎ ‎（ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（ⅱ）求（O为坐标原点）面积的最小值与最大值.‎ 分析：（1）由已知条件可知，抛物线的顶点坐标是（3，－3），所以可设出抛物线的顶点式，再把已知点的坐标代入解析式，即可求得。（2）因为当取最小值时，也取最小值；当取最大值时，也取最大值。所以把的最大值和最小值代入直线的解析式，即可求出的取值范围。‎ 解：（1）∵二次函数的图像经过原点O（0，0）与点A（6，0），∴它的对称轴是.‎ ‎∴它的顶点B的坐标是（3，－3）.‎ 设此二次函数为，把（6，0）代入解析式得，∴，故所求二次函数的解析式为 .‎ ‎（2）（ⅰ）令得直线的解析式为，把（3，－3）代入得，故直线的解析式为.‎ 令，得.‎ 令得直线的解析式为，把（3，－3）代入得，故直线 的解析式为，令，则得.‎ 故的取值范围是.‎ ‎（ⅱ）∵的OD边上的高（即B点的纵坐标的绝对值）为定值3，故OD最小，则面积最小，OD最大，则面积最大.‎ ‎∵OD最小为1，最大为2，‎ 故的面积最小是，最大为3.‎ 典型例题 八 例 求函数解析式的题目 ‎(1) 已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式.‎ 解：设二次函数的解析式为………①‎ 将（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）分别代入①，得 ‎ 解得 所以二次函数的解析式为 ‎(2) 已知抛物线的顶点为，与轴交点为，求此抛物线的解析式.‎ 解：因为抛物线的顶点为，‎ 设其解析式为……①‎ 将代入①得，，‎ 所求抛物线的解析式为 即 ‎(3) 已知抛物线与轴交于，，并经过点，求抛物线的解析式.‎ 解：因为点，是抛物线与轴的交点，‎ 所以设抛物线的解析式为………①‎ 将代入①，得，‎ 所求抛物线解析式为 即 说明：此三题考查用待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据已知条件选择正确解析式的三种形式，将给我们做题带来很大的方便.(1)中给出抛物线上任意三点，所以选择一般式；(2)中给出顶点，所以选择顶点式；(3) 中给出与轴的两个交点，所以选择两根式.‎ 典型例题九 例 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：‎ ‎ （1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；‎ ‎ （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；‎ ‎（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？‎ 解 ：（1）当销售单价为每千克55元时，月销售量为：（千克），所以月销售利润为：（元）.‎ ‎（2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为千克，而每千克的销售利润是：元，所以月销售利润为：‎ ‎∴y与x的函数解析式为 ‎.‎ ‎（3）要使月销售利润达到8000元，即，则有 ‎，‎ 即，‎ 解得 当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：（千克），‎ 月销售成本为：（元）；‎ 当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：（千克）‎ 月销售成本为：（元）；‎ 由于，而月销售成本不能超过10000元，‎ 所以销售单价应定为每千克80元.‎ 说明：本题是一道用二次函数知识解决的应用题．这样的问题是中考的热点，一般题目较长，所以要仔细审题，弄清题目中的数量关系，根据需要列出方程或函数关系式．‎ 典型例题十 例 函数与在同一坐标系中的图像可能是如图中的（ ）‎ 解法一：直接法 ‎，∴a的取值只有两种可能：或.‎ 当时，有的图像在第一、三象限；的图像开口向上，顶点在x轴的上方，四个选择支无一适合.所以，没有符合条件的图像.‎ 当时，有的图像在第二、四象限；的图像开口向下，顶点在x轴的下方，符合条件的图像有D.故应选D.‎ 解法二：排除法 ‎，函数的图像顶点在y轴上，故排除A；‎ 对于B，由反比例函数的图像可知：，但由的图像得，产生矛盾，故B排除；‎ 对于C，由反比例函数的图像可知：，但由的图像与y轴交于负半轴得，产生矛盾，故C排除.故答案应选D.‎ 典型例题 十一 例 已知函数.‎ ‎（1）求函数图像的顶点坐标和对称轴；‎ ‎（2）求函数图像与坐标轴的交点坐标；‎ ‎（3）作出函数的图像.‎ 解：（1）.‎ ‎∴函数图像的顶点坐标是（1，2），对称轴为.‎ ‎（2）令，得；令，由，得.即函数图像与y轴交于点，与x轴交于（－1，0），（3，0）.‎ ‎（3），抛物线开口向下，再依顶点坐标，对称轴及两坐标的交点坐标作函数图像如图所示.‎ 说明：（1）对的顶点坐标也可直接用教材中例题所给出的顶点坐标公式，这里是直接配方而得.‎ ‎（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴及两轴的交点等主要环节.‎ 典型例题十二 例 已知二次函数的图像如图所示.（1）试确定的符号；（2）求的值；（3）求的面积；（4）若，求之间的关系.‎ 分析：（1）观察图象，由二次函数的图象和性质或令取，就可以确定几个式子的符号．（2）关键要能清楚与之间的关系．‎ 解：（1）∵抛物线开口向下，‎ ‎∴.‎ 又∵抛物线的顶点在y轴的右侧，‎ ‎∴，而， ∴.‎ 又抛物线与y轴的交点在x轴上方，‎ ‎∴.‎ ‎∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴ .‎ 又， ∴.‎ ‎， ∴.‎ 当时，，∴.‎ 当时，，∴.‎ ‎（2）设A、B两点的坐标分别为.‎ ‎∴，‎ ‎、是方程的两个不同的实数根，‎ ‎∴. ∴.‎ ‎（3），而.‎ ‎，∴.‎ ‎∴.‎ ‎（4），∴即.‎ 又是方程的一个根，由知是它的另一个根，由方程根的定义，知.‎ 说明：本题是一道综合性较强的题目，把二次函数的问题转化成二次方程的问题，然后利用韦达定理来解决．‎ 典型例题十三 例 抛物线与轴交于A、B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且，则的值等于（ ）.‎ ‎（A）（B）（C）2 （D） 3.‎ 分析 要解决本题，可运用化归的数学思想，将题中的抛物线向左平移2个单位，新的抛物线与轴交于（0，k）点.可设新抛物线的解析式为.这样就把问题转化为：“抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于Q点，若 ‎，则= ，”从而把问题“化繁为简”.根据射影定理与韦达定理可得=.‎ 典型例题十四 例 如图所示，直线AB是一次函数的图像，直线AC是一次函数的图像（）.（1）用表示A点坐标；（2）若的面积为12，且A点在抛物线上，求直线AB与AC的函数解析式.‎ 分析：（1）要求A点的坐标，可求方程组的解；（2）要求直线AB与AC的解析式，就是要确定的值.因A点在抛物线上，把A点的坐标代入抛物线解析式得到一个关于的方程，再由的面积为12，又得到一个关于的方程，解由这两个方程组成的方程组即可.‎ 解：（1）解方程组得 ‎∴A点的坐标为.‎ ‎（2）∵A点在抛物线上，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 令，则由得，由得.‎ ‎∴B、C两点的坐标分别是，且参照图像可知.作轴于D.‎ ‎，‎ ‎∴，即.‎ 即.‎ 解方程组 得 ‎ ‎∴直线AB和直线AC的解析式分别是：和.‎ 典型例题十五 例 已知抛物线.‎ ‎（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；‎ ‎（2）如图，若直线分别与抛物线交于两个不同点A、B，与直线相交于点P，试证；‎ ‎（3）在（2）中，是否存在值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出值；如果不存在，请说明理由.‎ 答案：（1）略；‎ ‎（2）由 得.‎ 设、.‎ 则+=2（+1），.‎ 由 得，‎ 即点的横坐标.‎ 作轴于，轴于，轴于.‎ 于是 ‎==.‎ ‎（3）不存在 因为、在直线上，由题意，得 所以 解得，（与k>0矛盾，舍去）‎ 当时，方程化为.此方程没有实数根.‎ 故适合条件的值不存在.‎ 典型例题十六 例 求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．‎ 分析：因为抛物线的对称轴与y轴平行，所以抛物线解析式的形式可设为y=ax2+bx+c，要确定这个解析式必须求出三个系数a、b、c的值．已知A、B、C三点在抛物线上，因此它们的坐标必须适合上面的函数式，即有 ‎　　‎ ‎　　这是关于a、b、c的三元一次方程组，可以求出a、b、c的值来．‎ 解：设所求抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，因为抛物线经过A、B、C三点，所以有 ‎　　‎ 所以，所求抛物线的解析式为y=x2-2x-1．‎ 典型例题十七 例 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切．‎ ‎(1)求二次函数的解析式；‎ ‎(2)当x在什么范围时，y随x的增大而增大；‎ ‎(3)当x在什么范围时，y随x的增大而减小．‎ 分析：因为抛物线与x轴相切即与x轴只有一个交点，所以判别式b2-4ac=0．又由于抛物线过(-1，1)和(2，1)点，所以可设解析式的形式为y=ax2＋bx＋c，列出方程组 ‎　　‎ 解方程组求出a、b、c．‎ 方法二：由于抛物线经过的两点（-1，1）和（2，1）的纵坐标都是1，又根据抛物线的对称性知道对称轴，画出草图：‎ 可得顶点坐标系，可以设解析式为将x=-1，y=1代入上式得出a值．(可由教师板演，学生在练习本上写出解题过程)．‎ 解：（1）∵ 顶点坐标，‎ ‎ ∴ 将代入此式 ‎1=，得 所求解析式为。‎ ‎（2），图象开口向上 当时，随的增大而增大。‎ ‎（3）当时，随的增大而减小。‎ 典型例题十八 例 已知二次函数y=x2-(2m+4)x+m2-4(x为自变量)的图象与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB满足3(OB-AO)=2AO·OB．直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值为4．‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式；‎ ‎(2)确定直线y=kx+k的解析式．‎ 分析： 本题是代数的综合题，第一问是求二次函数的基本思路，二次函数解析式中含有一个字母m(也可看作待定系数)，根据题目给出的条件知x1＜0，x2＞0，再由3(OB-AO)=2AO·OB用AO=-x1，OB=x2代入，用韦达定理可求出m的值．而第二问求y=kx+k的解析式反而比第一问难一些．首先要求直线与抛物线的两个交点(其中一个是定点(-1，0)，另一个交点坐标与k有关)，不少人不会解这个方程组．由tg∠POB=4，‎ 否则就会丢解．‎ 解：(1)因为抛物线与x轴有两个交点，所以关于x的方程 x2-(2m+4)x+m2-4=0‎ 有两个不相等的实数根．所以 Δ=[-(2m+4)]2-4(m2-4)＞0，即m＞-2．‎ 设A(x1，0)，B(x2，0)．因为抛物线与y轴的交点在原点的下方，所以 m2-4＜0即x1·x2=m2-4＜0．‎ 因为点A在点B的左边，所以x1＜0，x2＞0．因为 ‎3(OB-AO)=2AO·OB，‎ 所以 ‎3[x2-(-x1)]=2(-x1)·x2，‎ 化简得 ‎3(x2+x1)=-2x2·x1．‎ 因为x1，x2为关于x的方程x2-(2m+4)x+m2-4=0的两个实数根，所以 x1+x2=2m+4， x1·x2=m2-4．‎ 所以 ‎3(2m+4)=-2(m2-4)．‎ 整理，得 m2+3m+2=0．‎ 解得m1=-2，m2=-1．因为m＞-2，所以m=-2舍去．又因为m=-1符合题意，所以二次函数的解析式为 y=x2-2x-3．‎ ‎(2)由y=x2-2x-3得A(-1，0)，B(3，0)．因为直线y=kx+k与抛物线相交，所以由 因为∠POB为锐角，所以P点在y轴右侧．所以P点坐标为(k+3，k2+4k)，且k+3＞0．‎ k3=-2，k4=-6．‎ 经检验，k3=-2，k4=-6是这个方程的解．但k4+3＜0，所以k4=-6舍去．所以 y=-2x-2．‎ 所以所求直线的解析式为 典型例题十九 例 已知二次函数y=-3x2．‎ ‎(1)怎样平移这个图象才能使它过点(0，0)，(1，3)，写出平移后新的解析式；‎ ‎(2)证明新图象与x轴必有两个交点；‎ ‎(3)使新图象位于x轴上方时x的取值范围．‎ 解：(1)设所求解析式为y=ax2+bx+c．因为新抛物线由y=-3x2平移且过点(0，0)，(1，3)，所以 所以平移后新的解析式为y=-3x2+6x，即 y=-3(x-1)2+3．‎ 将抛物线y=-3x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到y=-3x2+6x的图象．‎ ‎(2)由Δ=62-4×(-3)×0=36＞0，所以抛物线y=-3x2+6x与x轴必有两个交点．‎ ‎(3)要使y=-3x2+6x的图象位于x轴的上方，必有-3x2+6x＞0，即x2-2x＜0，解不等式得0＜x＜2．‎ 说明：求一个二次函数解析式需要三个独立的条件，一般采用待定系数法．对于平移要搞清它的实质，在平移过程中哪些量变了，哪些量不变？实际上经过平移，二次函数解析式变了，顶点坐标、对称轴方程改变了，但抛物线的开口方向和大小均不变，也就是说二次项系数a不变，其他一次项系数和常数项都可能改变．如果保持原抛物线y=a(x-m)2+n的顶点不变，开口方向相反，则得到的新抛物线应为：y=-a(x-m)2+n 典型例题二十 例 设抛物线y=x2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，所得抛物线的顶点坐标为(-2，0)，求原抛物线的解析式．‎ 解：由题意知两次平移后所得抛物线的解析式应为：‎ y=(x+5)2+b(x+5)+c-1‎ ‎                      =x2+(b+10)x+(5b+c+24)．‎ ‎0=(-2)2+(b+10)×(-2)+(5b+c+24)．‎ 解之得b=-6，c=10．原抛物线的解析式为 y=x2-6x+10．‎ 说明：关于二次函数图象的平移是很重要的：一是上、下平移，如将y=ax2+bx+c的图象上移h个单位，则新图象的解析式为y=ax2+bx+c+h(如下移则改为-h)．二是左右平移，如将y=ax2+bx+c的图象向左移k个单位，则新图象解析式应改写为：y=a(x+k)2+b(x+k)+c，如果是向右平移k个单位，则改写为y=a(x-k)2+b(x-k)+c．‎ 典型例题二十一 例 （辽宁省试题，2002）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势。试用你所学的函数知识解决下列问题：‎ ‎（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；‎ ‎（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？‎ 年份（x）‎ ‎2000‎ ‎2001‎ ‎2002‎ ‎…‎ 入学儿童人数（y）‎ ‎2520‎ ‎2330‎ ‎2140‎ ‎…‎ 分析：由表中的数据判断，函数关系可以是一次函数，也可以是二次函数，所以有两种解法。第一种解法比第二种解法简单。‎ 解：（1）‎ 解法一：‎ ‎ 设 由于直线过（2000，2520），（2001，2330）两点，‎ 故有 解得 ‎∴‎ 又因为过点（2002，2140），所以较好地描述了这一变化趋势 故所求函数关系式为 解法二：‎ 设 由于过（2000，2520），（2001，2330），（2002，2140）三点，‎ 故有 ‎∴‎ 因为∴过（2000，2520），（2001，2330），（2002，2140）三点，‎ 所以较好地描述了这一变化趋势 故所求函数关系式为 ‎（2）设x年时，入学人数为1000人 由题意得：人，‎ 解得：‎ 答：从2008年起入学儿童的人数不超过1000人。‎ 典型例题二十二 例 (辽宁省试题,2002) 看图，解答下列问题。‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；‎ ‎（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象。‎ 分析：已知三点求抛物线的解析式，用待定系数法求解，先设出抛物线的解析式（一般式），‎ 然后把三点坐标代入解析式，列出一个关于三个未知数的方程组，求解即可。‎ 解：‎ ‎（1）由图可知 设所求抛物线的解析式为 依题意，得 解得 ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎∴顶点坐标为，对称轴为 ‎（3）图象略，画出正确图象。‎ 说明：求二次函数解析式的问题，通常用待定系数法求解。首先要根据题目已知条件，选择抛物线解析式的适当形式，然后列出方程组求解。‎ 典型例题二十三 例 (吉林省试题,2002) 如图，一根杠高2．2米，两立柱之间的距离为1．6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．‎ ‎（1）一身高0．7米的小孩站在离立柱0．4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；‎ ‎（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0．4米的木板，除掉系木板用去绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：）．‎ 分析：此题与其他题目不同的是没有直角坐标系，所以需要学生自己建立适当的直角坐标系，再根据已知条件求出抛物线的解析式．‎ 解：（1）如图，建立直角坐标系． ‎ 设 二次函数解析式为．‎ ‎ ‎ ‎ 绳子最低点到地面的距离为0．2米．‎ ‎（2）分别作于G，于H．‎ ‎ ‎ 在中，AE=2，‎ ‎ ‎ ‎（米）．‎ ‎ 木板到地面的距离约为0．3 米．‎ ‎ 说明：本题主要考查二次函数的性质．易错点是学生不知如何建立直角坐标系．‎ 典型例题二十四 例 （安徽省试题，2002）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间 满足函数关系：‎ ‎ （）‎ 值越大，表示接受能力越强．‎ ‎ （1）在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力 逐步降低？‎ ‎ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？‎ ‎（3）第几分时，学生的接受能力最强？‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ 所以，当时，学生的接受能力逐步增强。‎ 当时，学生的接受能力逐步下降。 ‎ ‎ （2）当时，. ‎ ‎ 第10分时，学生的接受能力为59。 ‎ ‎ （3）时，取得最大值. ‎ 所以，在第13分时，学生的接受能力最强。 ‎ 说明:此题是一道关于二次函数的中考试题,题目不难,但较新颖.我的目的不只是会解它,更重要的是做了这道题,对老师们有点启发,科学地安排自己的讲课内容.‎ 典型例题二十五 例 （上海试题，2002）已知：二次函数，其中为实数．‎ ‎ （1）求证：不论取何实数，这个二次函数的图象与轴必有两个交点；‎ ‎ （2）设这个二次函数的图象与轴交于点、，且、的倒数和为，求这个二次函数的解析式．‎ ‎ 分析：因为二次函数的图象与轴必有两个交点，等价于和这个二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即方程的判别式大于零.(2) 根据已知条件,由韦达定理,列出关于的方程,即可求得.‎ ‎（1）证明：和这个二次函数对应的一元二次方程是. ‎ ‎∵ 方程必有两个不相等的实数根。‎ ‎∴ 不论取何值，这个二次函数的图象与轴必有两个交点。……（1分）‎ ‎ （2）解：由题意，可知、是方程的两个实数根，‎ ‎∴，.‎ ‎∵，即，∴‎ 解得或.‎ 经检验：，都是方程（*）的解. ‎ ‎∴所求二次函数的解析式是或 说明：本题考查二次函数的知识.常常把二次函数的问题转化成一元二次方程的问题来求解.‎ 典型例题二十六 例 如图所示，已知抛物线与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴交于点C，且.‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积.‎ 分析：（1）C点是抛物线与y轴的交点，把代入抛物线方程，得，所以只要把的值求出来，就求得了C点坐标，然后利用韦达定理和直角三角形的射影定理，即可求得。‎ 解：（1）根据题意设点，点，且.‎ 是方程的两根，‎ ‎∴.‎ 在中，，∴.‎ ‎（2）在和中，‎ ‎∴抛物线解析式为：.‎ ‎（3）∵，∴顶点P的坐标为（1，2）.‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 延长PC交x轴于点D，过C、P的直线为，‎ ‎∴点D的坐标为（－1，0）.‎ 说明：求抛物线的解析式时，首先要确定求哪几个未知量。比如这道题要我们求抛物线的解析式，观察发现只要求出、的值即可，而在第一小题已求出，只要求出即可。然后根据已知条件，想法求出。‎ 典型例题二十七 例 已知抛物线与x轴两交点的横坐标是－1，3，与y轴交点的纵坐标是，确定抛物线的解析式.‎ 分析：要确定抛物线的解析式，只要求出的值.根据已知条件列出关于的三元一次方程组,求出即可.‎ 解法一 由题意，得 解之，得 因此，所求的抛物线的解析式为.‎ 解法二：由题意，设二次函数的解析式为.‎ ‎∵图像过点.‎ 因此，所求抛物线的解析式是，即.‎ 说明：确定二次函数的解析式，只要求出的值即可.可以选择不同形式求解.‎ 典型例题二十八 例 如图所示，已知抛物与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，求抛物线的解析式和它的顶点坐标.‎ 分析：根据题目已知条件可求出、两点的坐标，所以可以选择顶点式，求出抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质，求出顶点坐标。‎ 解：在中，.‎ 在中，.‎ ‎∵A、B、C三点在抛物线上，‎ ‎∴设抛物线的解析式为.‎ ‎∵C点在抛物线上，‎ ‎∴抛物线的解析式为：.‎ ‎，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标 说明：求抛物线的解析式时，要根据题目选择抛物线适当的形式求解。‎ 典型例题二十九 例 如图,在同一直角坐标系内,如果轴与一次函数的图象以及分别过(1,0)、（4，0）两点，平行于轴的两条直线所围成的图形ABCD的面积为7.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（P点不重合于C点），过P点作直线交EF于Q、交抛物线（2）于点M.当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围；‎ ‎（4）问是否存在这样的t值，使得？若存在，求出此t值；若不存在，说明理由.‎ 分析：存在型说理题是探索性问题的主要形势，它要求学生紧扣题设条件，把握特征，拨开迷雾，对“是否存在”做出准确判断和正确的理解作为解决这类问题的理论依据.解这类考题一般遵循“三部曲”，即假设“存在”，——演绎推理——得出结论（合理或矛盾两种形式）.‎ 解：（1）如图，设、.则有 ‎，.‎ ‎.‎ 又>0,,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,.(此处、为非必求成分)‎ ‎（2）由F(0,4)、C(1,0)、D(4,0),得 ‎.‎ ‎(3) ,‎ ‎∴OP=4—t.‎ ‎,‎ ‎=‎ 即 ‎（4）‎ PM=| |‎ ‎=.‎ ‎ .‎ 依题意，得 ‎.‎ 整理，得.‎ 解得.‎ 由，知.‎ 因此，当时，‎ ‎.‎ 典型例题三十 例 已知二次函数的图象经过点A(-3,6)，并与轴交于B、C两点（点B在C的左边），P为它的顶点.‎ ‎（1）试确定的值；‎ ‎（2）设点D为线段OC上的一点，且满足，求直线AD的解析式；‎ ‎（3）在轴的正半轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由.（2002年海南省、天津市中考题）‎ 分析：存在型说理题是探索性问题的主要形势，它要求学生紧扣题设条件，把握特征，拨开迷雾，对“是否存在”做出准确判断和正确的理解作为解决这类问题的理论依据.解这类考题一般遵循“三部曲”，即假设“存在”，——演绎推理——得出结论（合理或矛盾两种形式）.为此：‎ ‎（1）‎ ‎（2）直线的解析式为 ‎ ‎ ‎（3）假设满足条件的点存在，则应分如下三种情况讨论：① 当△是以 为顶角的等腰三角形时，有 如图，设，其中 作轴于.‎ ‎ 在中，‎ ‎ ；‎ ‎ 在中，.‎ ‎ .‎ ‎ 解得或（舍去）.‎ ‎ 故点的坐标是（0，）；‎ ‎ ② 当是以为顶角的等腰三角形时，有.如图，设，其中.‎ ‎ 在中，；‎ 在中，.‎ ‎.‎ 解得 .‎ 故点的坐标为（0，1）.‎ ‎ ③ 当是以为顶点的等腰三角形时，有，如图，设，其中，.‎ 在中，.‎ ‎.‎ ‎.‎ 此方程无解，所以点不存在.‎ 综上述，满足条件的点有两个，分别是和.‎ 典型例题三十一 例 （北京市朝阳区，2002）已知：以直线为对称轴的抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），且经过点和. 点在抛物线的顶点的右侧的半支上（包括顶点），在轴上有一点使是等腰三角形，. ‎ ‎（1）若是直角，求点的坐标；‎ ‎（2）当点移动时，过点作轴的垂线，交直线于点，设的面积为，求关于的函数解析式和自变量的取值范围，并画出它的图象.‎ 解 ：（1）设抛物线的解析式为. ‎ ‎∵抛物线过点，，‎ ‎∴. 解得 ‎∴. ‎ ‎∴顶点的坐标为. ‎ ‎∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），‎ 令，‎ 则. ‎ 解得，. ‎ ‎∴点的坐标为，点的坐标为. ‎ ‎∵点在抛物线的顶点的右侧的半支上（包括顶点），是直角. ‎ ‎∴且. ‎ 在中，，，‎ ‎①当时，点在第四象限内，过点作轴于点，则点的坐标为（如图1），且. ‎ ‎，‎ ‎. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴。 ‎ 解得，或（舍）. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴点的坐标为. ‎ ‎②当时，点在第一象限内，过点作轴于点，则点的坐标为，（如图1），且. ，，‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴. 解得（舍负）‎ ‎∴. ‎ ‎∴点的坐标为. ‎ 综合①②，点的坐标为，或. ‎ ‎（2）设过点，的直线 解析式为，‎ ‎∴ 解得. ‎ ‎∴直线的解析式为. ‎ ‎∵，作轴于（如图2），‎ 得. ‎ ‎∵点在轴上，‎ ‎∴点的坐标为 ‎ . ‎ ‎∵轴于点，交直线于点，‎ ‎∴点的坐标为. ‎ ‎∴‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎∴自变量的取值范围是且. ‎ ‎ 图象如图3. ‎ 解法二：‎ ‎ （1）接触法一中，. ∵，点，作轴于点，则.（如图1），‎ ‎∴点的坐标为. ‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ 又，‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ 又 点在抛物线上，‎ ‎∴‎ 解得 ‎ ‎ ‎ ‎∵点在抛物线的顶点的右侧的半支上（包括顶点），是直角，‎ ‎∴且. ‎ ‎∴点的坐标为，或. ‎ ‎ （2）同解法一. ‎ 典型例题三十二 例 (北京市海淀区,2002) 已知：二次函数的图象与y轴交于点C，且x轴的正半轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．若A、B两点的横坐标为整数，‎ ‎（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；‎ ‎（2）若点D的坐标是（0，6），点P（t，0）是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合，设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长，再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）．‎ 解：（1）依题意可设 令，则是的两根.‎ 于是 是不等的正整数，‎ 为正整数，且是一个整数的平方.‎ 设（m是整数）.‎ 即 注意到是同奇、同偶的两数且20是偶数.‎ 解得 ‎∴这个二次函数的解析式为 可求得它的顶点坐标为（4，－4）.‎ ‎（2）‎ ‎∴此二次函数的图象与y轴的交点C的坐标为（0，12），与x轴交点A（2，0）、B（6，0）.‎ 又 ‎（3）方法一：‎ ‎∴可设所画三角形为边上的高为h.‎ 图略.‎ 方法二：略 典型例题三十三 例 (北京市宣武区,2002) 已知：抛物线的顶点在坐标轴上.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）当时，该抛物线与直线交于A、B两点，且A点在B点左侧，求点A和点B的坐标；‎ ‎（3）P为（2）中线段AB上的点（A、B两端点除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q.线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由.‎ 解：（1），‎ ‎∴ 此抛物线的顶点坐标为.‎ ‎∵ 抛物线的顶点在坐标轴上，‎ ‎∴ 当顶点在x轴上时，，‎ 解得 ；‎ 当顶点在y轴上时，，‎ 解得 .‎ ‎∴ a的值为4，－8，－2.‎ ‎（2）当时，，‎ 抛物线解析式为.‎ 由消去y，得 ‎，‎ 解得.‎ ‎∴ ‎ ‎∵ A点在B点左侧，‎ ‎∴ A点坐标为（0，9），B点坐标为（7，16）.‎ ‎（3）如图所示.‎ ‎∵ 点P在线段AB上，PQ垂直于x轴，‎ ‎∴ .‎ 由题意，得 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 点、均在线段AB上，且不与A、B两点重合.‎ ‎∴ 线段AB上存在点P，使PQ的长等于6.‎ 说明：存在型说理题是探索性问题的主要形势，它要求学生紧扣题设条件，把握特征，拨开迷雾，对“是否存在”做出准确判断和正确的理解作为解决这类问题的理论依据.解这类考题一般遵循“三部曲”，即假设“存在”，——演绎推理——‎ 得出结论（合理或矛盾两种形式）. ‎ 选择题 ‎1．抛物线的顶点在（）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．如果函数的图像经过原点和第二、三、四象限，则，，满足（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）‎ A． 开口向下、对称轴为、顶点坐标（2，9）‎ B．开口向下、对称轴为，顶点坐标（2，9）‎ C．开口向上，对称轴为，顶点坐标（－2，9）‎ D．开口向上，对称轴为，顶点坐标（－2，－9）‎ ‎4．抛物线不经过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．抛物线的顶点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列四个函数：①；②；③；④，其中，在自变量的允许范围内，随增大而增大的函数的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．函数写成的形式是（ ）‎ A． B．‎ C．D．‎ ‎8．函数y＝x2＋bx＋c与y＝bx＋c在同一坐标系中的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ ‎9．已知函数的图像如图所示，则函数的图像可能是( )‎ ‎ ‎ ‎10．函数的图象可能是（ ）‎ ‎11．函数和在同一坐标系中的图象大致为（ ）‎ ‎12．抛物线与x轴的交点的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．由m值决定 ‎13.要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须（ ）‎ A．向上平移1个单位；       B．向下平移1个单位；‎ C．向左平移1个单位；       D．向右平移1个单位．‎ ‎14．二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式是，则b与c的值分别是（ ）‎ A． ‎－4，1 B．2，－2 C．－6，6 D．－8，14‎ ‎15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则下列6个代数式ab、ac、a＋b＋c、a－b＋c、2a＋b、2a－b中，其值为正的式子的个数为（ ）‎ ‎ Ａ.2个 Ｂ.3个 ‎ ‎ Ｃ.4个 Ｄ.4个以上 ‎ ‎16．y=3x-3与y=x2-x+1交点的个数是            （ ）‎ A．0；                      B．1；‎ C．2；                      D．不确定．‎ ‎17．抛物线y=ax2+bx+c（a<0）的顶点在x轴上方的条件是（ ）‎ A．b2-4ac＞0；               B．b2-4ac＜0；‎ C．b2-4ac≥0；               D．b2-4ac≤0．‎ ‎18．二次函数的图像过（），（），（）三点，则此函数的解析式为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎19．若二次函数的图像经过原点，则值必为（）‎ A．-1或3 B．-1 C．3 D．无法确定 ‎20．抛物线的顶点是直线与的交点，则，，的取值分别为（）‎ A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎21．二次函数的图像如下图,所示，那么，，的符号是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎22．已知函数的图像如下图所示，那么此函数的解析式为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎23．对称轴平行于轴的抛物线的顶点（），且抛物线经过点（），那么这条抛物线的解析式是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎24．如果抛物线的顶点坐标是（），与轴的交点是（），则它的解析式是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎25．二次函数的值永远为负值的条件是（）‎ A．， ‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎26．如果二次函数的顶点在轴上，那么的值是（）‎ A．0 B．6 C．9 D．-9‎ ‎27．一次函数与二次函数的图像（）‎ A．有1个交点 B．有2个交点 C．没有交点 D．不能确定 ‎28．一学生推铅球，铅球行进的高度与水平距离的函数关系式为，则铅球落地时的水平距离是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎29．若二次函数的图像与轴无交点，则其图像可为下图中的（）‎ ‎ ‎ ‎30．已知二次函数的图像如下图所示，对称轴为，下列结论中正确的是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎31．若，，则函数的图像是下图中的（）‎ ‎32．已知二次函数，则它的图像可能是下图中的（）‎ ‎33．函数和，在同一坐标系中的图像，只可能是下图中的（）‎ ‎34．如果将二次函数的图像向左又向上都平移动个单位，则得到新的二次函数是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎35．当在可以取值范围内取不同的值时，代数式的最小值是（）‎ A．0 B．5 C． D．9‎ ‎36．在函数的图像中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图像共有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎37．已知二次函数的图像和轴有交点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．且 C． D．且 ‎38．二次函数的图像如图所示，则点在直角坐标系中的（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎39．二次函数的图像如图所示，则在下列各不等式中，成立的个数是（ ）‎ ‎①；②；③；④.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎40．二次函数取最小值时，自变量的值是（ ）‎ A．2 B．－2 C．1 D．－1‎ ‎41．要从函数的图像得到函数的图像，则抛物线必须（ ）‎ A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 ‎42．二次函数的图像如图所示，则的大小关系是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．的大小关系不能确定 ‎43．过原点的抛物线是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎44．如果以轴为对称轴的抛物线的图像如图所示，那么代数式与零的关系是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．不能确定 ‎45．在同一坐标系中（如图），函数与的图像大致为（ ）‎ ‎46．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：‎ ‎①；②；③；④.其中正确结论的个数为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎47．已知反比例函数在当时，随的增大而减小，则函数（为一切实数）的图像所经过的象限是（ ）‎ A．第三、四象限 B．第一、二象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限 ‎48．已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 参考答案： 1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8.C 9. B 10.B 11. C 12. C 13. B 14. C 15.A 16.B 17. A.18．A 19．C 20．A 21．C 22．A 23．C 24．B 25．D 26.C 27.A 28．C 29．B 30．D 31．B 32．A 33．C 34．B 35．B 36．B 37．B 38．C 39．B 40．D 41．A 42．A 43．D 44．B 45．D 46．A 47．B 48．B.‎ 填空题 ‎1．抛物线 的开口方向是_________；顶点坐标是_______；对称轴直线是_______.‎ ‎2．抛物线与轴的交点坐标是________.‎ ‎3．函数的最小值是________.‎ ‎4．抛物线的顶点坐标是________.‎ ‎5．抛物线的对称轴是直线 ‎6．抛物线的开口方向是________.‎ ‎7．抛物线的对称轴是________.‎ ‎8．把二次函数，通过配方化为的形式，为________.‎ ‎9．二次函数的图像经过原点，则=_________.‎ ‎10．抛物线过（），（），（）三点，则此抛物线的解析式为_______.‎ ‎11．已知一抛物线的对称轴是直线，该抛物线与轴相交于点，，若点坐标为（），则点坐标为______.‎ ‎12．二次函数的图像的顶点坐标是______，在对称轴的右侧，随的增大而______.‎ ‎13．若二次函数的图像的顶点在轴上，则的值等于_____.‎ ‎14．用配方法将函数写成的形式为______.‎ ‎15．若函数的图像与轴不相交，则的取值范围是_______.‎ ‎16．抛物线可由特殊的抛物线_______向_____ 平移______个单位，再向_______平移________个单位而得到.‎ ‎17．若点在抛物线上，则点关于轴对称的点的坐标是______.‎ ‎18．二次函数，若（即，异号），则______，其图像与轴必有______交点.‎ ‎19．二次函数的图像在轴上截得的两交点之间的距离为______.‎ ‎20．若二次函数（），当取，时，函数值相等，则当取 时，函数值为_____.‎ ‎21．函数的图像只有当______时与轴有一个交点，只有当______时与轴有两个交点.‎ ‎22．若抛物线的顶点为，与轴的交点为，，则的面积为_______.‎ ‎23．如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度与水平距离的函数图像.现观察图像，铅球推出的距离是 ‎24．二次函数的图像经过原点，则此抛物线的顶点坐标是________.‎ ‎25．将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是________.‎ ‎26．如图所示，已知函数的图像如图所示，关于系数有下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中正确的不等式的序号是________.‎ ‎27．若二次函数的图像如图所示，则直线不经过_____象限.‎ 答案:‎ ‎1．向上，（）， 2．（3，0） 3． 4．（－1，0） 5．2 6．向下 7．轴 8． 9．2 10． 11．（）‎ ‎12．（），减小 13．25或9 14．‎ ‎15． 16．，右，2，上，3 17．（） 18．，两个 19．4 20． 21． 或，且 22．.23．10 24．（－4，－4）25．（2，3） 26．①③⑤ 27．第四.‎ 解答题 ‎1．已知二次函数.‎ ‎（1）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出图像.‎ ‎（2）设抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，求的面积.‎ ‎2．如图所示，已知二次函数的图像过（－1，0）和（0，－1）两点，试确定的取值范围.‎ ‎3．依据下列各题的条件，求二次函数的解析式，‎ ‎（1）抛物线经过三点（），（），（）；‎ ‎（2）抛物线顶点为（），并且经过（）；‎ ‎（3）抛物线与轴有两个交点（），（）并且与轴交点的纵坐标为。‎ ‎4．已知一次函数和二次函数的图像相交于点和，求这两个函数的解析式。‎ ‎5．已知二次函数的图像开口向上，与轴交于，两点，与交于点，如果，，求二次函数的解析式。‎ ‎6. 已知二次函数的图象经过和两点，且它的顶点在直线上，求函数解析式.‎ ‎7.抛物线的顶点是，与x轴两个交点间的距离是6，求此二次函数的解析式.‎ ‎8. 已知：一次函数的图象和二次函数的图象交于点和.‎ ‎①求一次函数解析式；‎ ‎②若二次函数开口向上，与y轴交于点C，且的面积为12，求二次函数的解析式.‎ ‎9.如图所示，在一块底边为30厘米，高为20厘米的三角形铁片上剪下一块最大面积的内接矩形，并使它的一边在底边上．求这矩形的长和宽各是多少？‎ ‎10.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)‎ ‎(1)、求这个二次函数的解析式； ‎ ‎（2）、该男同学把铅球推出去多远 (精确到0.01米，) ‎ ‎11．如下图，已知抛物线与轴交于，两点，交轴负半轴于点，，且，求外接圆的面积。‎ ‎12．已知抛物线的对称轴在轴右侧，且抛物线与轴交于，与轴交点为，，顶点为，的面积为8，求函数的解析式，并写出函数图像的对称轴方程。‎ ‎13．已知，，分别是的，，的对边（），二次函数图像的顶点在轴上，且，是关于的方程的两个根，‎ ‎（1）判断的形状，并说明理由；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若这个三角形的外接圆面积为，求的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长。‎ ‎14．已知二次函数.‎ ‎（1）结合函数的图象，确定当取什么值时，>0, =0, <0；‎ ‎（2）根据（1）的结论，确定函数关于的解析式；‎ ‎（3）若一次函数（）的图象与函数 的图象交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件.‎ ‎15．在直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，其中点在点的左边，若，。‎ ‎（1）求点的坐标及这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）试设计两种方案：作一条与轴不重合，与的两边相交的直线，使截得的三角形与相似，并且面积是面积的，求所截得的三角形三个顶点的坐标（说明：不要求证明。）‎ ‎16．已知：如下图，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限作一正，⊙为外接圆，与轴交于点。‎ ‎ ‎ ‎（1）求点坐标；‎ ‎（2）求过，，三点的二次函数表达式，并求其所表示的抛物线的顶点坐标。‎ ‎17．如图13-45，有一边长为的正方形和等腰，，，点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰以的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰重合部分的面积为，解答下列问题：‎ ‎（1）当秒时，求的值；‎ ‎（2）当秒时，求的值；‎ ‎（3）当时，求与的函数关系式，并求出的最大值。‎ ‎18．某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数（件）是价格 ‎（元/件）的一次函数。‎ ‎（1）试求与之间的关系式；‎ ‎（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）。‎ 答案与提示 ‎1．（1）顶点坐标为（2，－1），对称轴为；（2）平方单位2．‎ ‎3．（1）；（2）或；（3）或 ‎4．，[提示：把，两点坐标分别代入，得 解得所以，把，两点坐标分别代入，得 解得，.所以.]‎ ‎5．或 ‎[提示：设，， ‎ 因为，又因为。‎ 所以，所以，则。‎ 即点坐标为（）或（）。‎ ‎（ⅰ）若，，因为，其中，，，所以。‎ 解得，所以，‎ 因为二次函数图像过，，，‎ 所以 解得 所以为所求二次函数的解析式。‎ ‎（ⅱ）若，，同理可得，所以。‎ 因为二次函数图像过，，，‎ 所以不妨设，‎ 因为在函数图像上，所以，‎ 解得.所以.即，‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）所求二次函数解析式为 或.]‎ ‎6．或 ‎7．（提示：分析题意，可知抛物线与x轴交于（－5，0）和（1，0）两点）‎ ‎8．① ②‎ ‎9．15，10 ‎ ‎10．(1) 设二次函数的解析式为 ‎， 顶点坐标为 (6，5)‎ A(0，2)在抛物线上 ‎ ‎ ‎(2) 当时，=0‎ ‎(不合题意，舍去)‎ ‎≈13.75(米)‎ 答：该同学把铅球抛出13.75米.‎ ‎11．[提示：设，，由已知，，，‎ 又，其中.当时，，‎ 因为，，所以.‎ 而，，所以.‎ 因为，，.‎ 因为，所以.‎ 又因为，‎ ‎，，‎ 所以，，所以.‎ 所以.‎ 所以外接圆面积为]‎ ‎12．，对称轴为.‎ ‎13．（1）直角三角形；（2）20；（3）或 ‎[提示：（1）化简，整理得，.‎ 根据题意，得，‎ 或 所以，所以是直角三角形.‎ ‎（2）根据题意，得 由（1）得，所以，‎ 因为.‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以，解得，.‎ 因为，所以不合题意，舍去，‎ 所以。‎ ‎（3）因为，，所以，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 解得，。‎ 因为，所以，，‎ 所以，。‎ 设正方形的边长为，‎ ‎①当正方形如图1时，‎ 因为，得，‎ 所以。‎ ‎②当正方形如图2时，作高交于点，则。‎ 因为∽，得，‎ 所以，。‎ 答： 的内接正方形的边长为或.]‎ ‎14．（1）略（2）=‎ ‎（3）或 ‎15．（1），；（2）方案1：（），（），（）；方案2：（），（），（）；方案3：（）（）（）[提示：（1）根据题意：设，]，其中，，则，是方程的两个根。所以，所以。因为，抛物线与轴有两个交点，所以，其中。所以。因为，于点，所以∽，所以.‎ 所以，所以。‎ 解这个方程，得，，‎ 当时，，不符合题意。‎ 当时，，符合题意。所以点的坐标是（），当时，二次函数为 ①．，，‎ 所以，所以。因为点在轴负半轴上。‎ 所以点的坐标是（）.把代入①，得 ‎。解这个方程，得。‎ 所求的二次函数的解析式为。‎ ‎（2）方案1（图3）‎ ‎ ‎ 分别取，的中点，，连结，则为所求，此时，，。 ‎ ‎ 方案2：在上截取，使，在上截取，使，连结。则为所求，此时，，。‎ ‎ 方案3：（图4）：在上截取，使，在上截取，使，连结。则为所求，此时，，]‎ ‎16．（1）（）（2），（）‎ ‎[提示：（1）中，令 得；‎ 令，得。所以，。‎ 且，，又为正三角形，所以。‎ 所以，所以轴。所以点坐标（）。‎ ‎（2）因为轴，‎ 所以轴，轴，点坐标（）。‎ 由上述知⊙切轴于点，所以，‎ ‎，所以点坐标（）。‎ 设二次函数，有 所以所求二次函数为，其顶点坐标（）。]‎ ‎17．（1）；（2）；（3），‎ ‎[提示：如图5‎ 作，为垂足。‎ ‎ ‎ 因为，所以。所以。‎ ‎（1）当时，，设与交于点。‎ 因为，所以∽，所以。‎ 因为，所以。‎ ‎ （2）当时，，设与交于。如图6，‎ 由∽，可求出，‎ ‎。‎ ‎（3）当时，，。‎ 设交于点。如图7‎ 由∽，可得：‎ ‎。‎ 由∽，可得：‎ ‎。‎ 因为，‎ 即。‎ 当时，最大，最大值为。]‎ ‎18．（1）；（2）24，1920‎ ‎ [提示：（ 1）依题意设，则有 解得，，所以。‎ ‎（2）每月获得利润 ‎ ‎ 所以当时，有最大值，最大值为1920，所以当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元。]‎ ‎1、已知二次函数的图象经过和两点，且它的顶点在直线 上，求函数解析式.‎ ‎2、抛物线的顶点是，与x轴两个交点间的距离是6，求此二次函数的解析式.‎ ‎3、已知：一次函数的图象和二次函数的图象交于点和.‎ ‎①求一次函数解析式；‎ ‎②若二次函数开口向上，与y轴交于点C，且的面积为12，求二次函数的解析式.‎ ‎4、如图所示，在一块底边为30厘米，高为20厘米的三角形铁片上剪下一块最大面积的内接矩形，并使它的一边在底边上．求这矩形的长和宽各是多少？‎ ‎5、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)‎ ‎(1)、求这个二次函数的解析式； ‎ ‎（2）、该男同学把铅球推出去多远 (精确到0.01米，) ‎ 参考答案 ‎1、或 ‎2、（提示：分析题意，可知抛物线与x轴交于（－5，0）和（1，0）两点）‎ ‎3、① ②‎ ‎4、15，10 ‎ ‎5、(1) 设二次函数的解析式为 ‎， 顶点坐标为 (6，5)‎ A(0，2)在抛物线上 ‎ ‎ ‎(2) 当时，=0‎ ‎(不合题意，舍去)‎ ‎≈13.75(米)‎ 答：该同学把铅球抛出13.75米.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1、函数的图象可能是（ ）‎ ‎2、函数和在同一坐标系中的图象大致为（ ）‎ ‎3、抛物线与x轴的交点的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．由m值决定 ‎4、已知二次函数的顶点是（2，－1），且与y轴的交点到原点的距离是2，则这个二次函数的解析式是 .‎ ‎5、二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式是，则b与c的值分别是（ ）‎ A． ‎－4，1 B．2，－2 C．－6，6 D．－8，14‎ 参考答案： 1、B ‎2、C ‎3、C ‎4、或 ‎5、C 北京市东城区试题（相关）‎ 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：‎ 甲：对称轴是直线；‎ 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；‎ 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.‎ 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： .‎ 答案：或或或 二次函数中的三角形问题 赵庚新 三角形的有关知识是初中平面几何听重点问题，而二次函数则是初中代数中的重点内容，这两块内容的综合是初中数学最突出的综合内容，因此这类问题就成为中考命题中最受关注的热点问题，解这类问题有什么规律可循？本文将从三角形面积，三角形全等，三角形相似等几个方面举例说明。‎ 一、三角形面积 例1：如图，已知在同一坐标系中，直线与y轴交于点P，抛物线与x轴交于两点。C是抛物线的顶点。‎ ‎（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）；‎ ‎（2）若点A在点B的左侧，且。‎ ‎①当k取何值时，直线通过点B；‎ ‎②是否存在实数k，使？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。（浙江省温州市2000年中考题）‎ 解：（1）。‎ ‎（2）①解得当时，直线过B；‎ ‎②过C作于D，则，把代入直线，得，∴，。∴，∴。‎ 若，即，∴，即 解得，∴取，∴当时，‎ 此时所求的抛物线的解析式为：‎ 从以上解答中可以看出三角形面积相等作为已知条件的作用是利用三角形的面积公式，再利用同底等高的性质推出线段相等，仅此而已。‎ 例2：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若，直线经过点A，与y轴交于点D，且，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若A点在B点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）如图，假设在第一象限内，抛物线上存在点P，使直线PA平分的面积，则直线PA必过DC的中点M。‎ ‎，∴。令，则，解得。在B的左侧，∴A坐标是（2，0）。设直线PA的解析式为 则解得。‎ ‎∴直线AM的解析式为。方程组的解为。‎ ‎∴点P的坐标为（2，0）（即A点）或。这两点均不在第一象限。∴第一象限内，抛物线上不存在点P，使PA平分的面积。‎ 本题第（3）小题是存在型问题，是结论开放题，应先假设存在，然后在假设的前提下，通过计算说明在第一象限内不存在符合要求的点（求出的点不在第一象限），有一定的难度，主要是这种题型学生不熟悉。‎ 二、三角形相似 例3：如图，已知为直角坐标系内两点，点C在x轴上，且，以A点为圆心，OA为半径作⊙A。直线CD切⊙O于D点，连结OD。‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求经过O、B、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使∽？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。（大连市2000年中考题）‎ 解：（1）；‎ ‎（2）所求抛物线的解析式为。‎ ‎（3）设⊙A与x轴的另一交点为。连结DF，是⊙A的切线，∴。又，∴∽。把代入，得。∴在抛物线上。则点F即为所求点P。‎ ‎∴抛物线上存在点，使∽。‎ 本题第三小题也是存在性问题，按道理应先假设，但在假设前应先分析，因为所假设的点必须事先找到，这样才能目标明确。这是本题的难点所在。‎ 例4：已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，‎ ‎（1）求出A、C两点的坐标；‎ ‎（2）在x轴上找出点B，使∽，若抛物线过A、B、C三点，求出此抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C、A运动，连结PQ，使，是否存在m的值，使以A、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。（浙江省台州市2000年中考题）‎ 解：（1）。‎ ‎（2）过C点作，交x轴于点B，显然，点B为所求，设∽，∴。‎ ‎∴，∴，设，把C点坐标（0，－12）代入上式，得。‎ ‎∴。‎ ‎（3）分两种情况讨论：①；②。（解略）。结论是：存在或时，使得以A、P、Q为顶点的三角形与相似。‎ 从以上两题可以看出与三角形相似有关的二次函数综合题一般都是三角形相似作为求二次函数的条件来解。‎ 三、三角形的形状 例5：抛物线的顶点为，并经过点。‎ ‎（1）求此抛物线的解析式（系数和常数项用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）若由点A、原点O与抛物线上一点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求m的值。（1999年江西省南昌市中考题）‎ 解：（1）抛物线的顶点为，∴对称轴是直线，即，即有，……①，又抛物线过得 ‎……②，‎ ‎……③‎ 解由①、②、③组成的方程组，得。‎ 所求的解析式为。‎ ‎（2）分两种情况讨论：‎ ‎①PA是等腰直角三角形的斜边。此时，又，∴点P的坐标为（0，－3），将代入上述二次函数的解析式，得；‎ ‎②OA是等腰直角三角形AOP的斜边。‎ 此时，，则可求得点P的坐标为，将代入中，得。∴m的值为－4或。‎ 说明：本题的难点在于（2）小题中的分两种情况讨论，一般容易疏忽，造成漏解，使解题不完整。‎ 例6：已知抛物线，其中a、b、c分别是的的对边。（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设直线与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M。若抛物线的对称轴为有的面积之比为5：1，求证：是等边三角形；（3）当时，设抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标，若不存在，请说明理由。（1999年湖北省荆门市中考题）‎ 解：（1）可证得是的三边，∴。∴，故抛物线与x轴必有两个交点。‎ ‎（2），∴‎ 由 得，。‎ 设，∴ ①‎ ‎ ②，‎ 由，得，∴，或（应舍去）。‎ ‎∴ ③‎ 由①③得。，∴即 ‎，解得或（舍去），∴，∴为等边三角形。‎ ‎（3）当时，即。∴或（舍去） ∴，此时的抛物线为，它的对称轴是。令，得。∴与x轴两交点的坐标为。设过两点的圆与y轴的切点坐标为，由切线定理得，∴。∴圆心坐标为（2，－1）或（2，1）。‎ 说明：本题的（2）小题有一定的难度，首先要利用抛物线对称轴方程得出，而得出则要通过利用函数图象交点的性质、利用抛物线与、利用抛物线与x轴交点的横坐标的特点、利用已韦达定理、利用已知的三角形面积比等等知识才能求出。（3）小题中问的是是否存在符合题中条件的圆，若存在则只要求出它的圆心的坐标就行，因此不需要求出P、Q两点的坐标，可直接利用切割线定理：求得，而用去求出t就太麻烦了。‎