初中数学中考复习课件章节考点专题突破：考点突破专题2开放探究型问题

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专题跟踪突破二　开放探究型问题 一、选择题 ( 每小题 6 分 ， 共 30 分 ) 1 ． ( 2013 · 贵阳 ) 如图 ， M 是 Rt △ ABC 的斜边 BC 上异于 B ， C 的一定点 ， 过 M 点作直线截 △ ABC ， 使截得的三角形与 △ ABC 相似 ， 这样的直线共有 ( ) A ． 1 条 B ． 2 条 C ． 3 条 D ． 4 条 C 2 ． ( 2014 · 荆门 ) 如图 ， 在 4 × 4 的正方形网格中 ， 每个小正方形的顶点称为格点 ， 左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形 ( 简称格点正方形 ) ．若再作一个格点正方形 ， 并涂上阴影 ， 使这两个格点正方形无重叠面积 ， 且组成的图形是轴对称图形 ， 又是中心对称图形 ， 则这个格点正方形的作法共有 ( ) A ． 2 种 B ． 3 种 C ． 4 种 D ． 5 种 C 3 ． ( 2013 · 龙岩 ) 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， A(0 ， 2) ， B(0 ， 6) ， 动点 C 在直线 y ＝ x 上．若以 A ， B ， C 三点为顶点的三角形是等腰三角形 ， 则点 C 的个数有 ( ) A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 B 4 ． ( 2014 · 玉林 ) 蜂巢的构造非常美丽、科学 ， 如图是由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络 ， 正六边形的顶点称为格点 ， △ ABC 的顶点都在格点上．设定 AB 边如图所示 ， 则 △ ABC 是直角三角形的个数有 ( ) A ． 4 个 B ． 6 个 C ． 8 个 D ． 10 个 C 5 ． ( 2014 · 资阳 ) 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c(a ≠ 0) 的图象如图 ， 给出下列四个结论： ① 4ac － b 2 ＜ 0 ； ② 4a ＋ c ＜ 2b ； ③ 3b ＋ 2c ＜ 0 ； ④ m(am ＋ b) ＋ b ＜ a(m ≠ － 1) ， 其中正确的个数是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 B 二、填空题 ( 每小题 6 分 ， 共 30 分 ) 6 ． ( 2014 · 温州 ) 请举反例说明命题 “ 对于任意实数 x ， x 2 ＋ 5x ＋ 5 的值总是整数 ” 是假命题 ， 你举的反例是 x ＝ ____ ． ( 写出一个 x 的值即可 ) 7 ． ( 2014 · 吉林 ) 如图 ， OB 是 ⊙ O 的半径 ， 弦 AB ＝ OB ， 直径 CD ⊥ AB ， 若点 P 是线段 OD 上的动点 ， 连接 PA ， 则 ∠ PAB 的度数可以是 __ ． ( 写出一个即可 ) 65 度 (60 度 ≤∠ A ≤ 75 度 ， 答案不唯一 ) 8 ． ( 2014 · 娄底 ) 如图 ， 要使平行四边形 ABCD 是矩形 ， 则应添加的条件是 __ ． ( 添加一个条件即可 ) ∠ ABC ＝ 90° 或 AC ＝ BD( 答案不唯一 ) 9 ． ( 2014 · 赤峰 ) 直线 l 过点 M( － 2 ， 0) ， 该直线的解析式可以写为 ． ( 只写出一个即可 ) y ＝ x ＋ 2( 答案不唯一 ) 10 ． ( 2013 · 昭通 ) 如图 ， AB 是 ⊙ O 的直径 ， 弦 BC ＝ 4 cm ， F 是弦 BC 的中点 ， ∠ ABC ＝ 60°. 若动点 E 以 1 cm / s 的速度从 A 点出发在 AB 上沿着 A → B → A 运动 ， 设运动时间为 t( s )(0 ≤ t ＜ 16) ， 连接 EF ， 当 △ BEF 是直角三角形时 ， t 的值为 ． ( 填出一个正确的即可 ) 4 或 7 或 9 或 12 三、解答题 ( 共 40 分 ) 11 ． (8 分 ) ( 2013 · 云南 ) 如图 ， 点 B 在 AE 上 ， 点 D 在 AC 上 ， AB ＝ AD. 请你添加一个适当的条件 ， 使 △ ABC ≌△ ADE.( 只能添加一个 ) (1) 你添加的条件是； ∵AB ＝ AD ， ∠ A ＝∠ A ， ∴若利用“ AAS ” ， 可以添加∠ C ＝∠ E ， 若利用“ ASA ” ， 可以添加∠ ABC ＝∠ ADE ， 或∠ EBC ＝∠ CDE ， 若利用“ SAS ” ， 可以添加 AC ＝ AE ， 或 BE ＝ DC ， 综上所述 ， 可以添加的条件为∠ C ＝∠ E( 或∠ ABC ＝∠ ADE 或∠ EBC ＝∠ CDE 或 AC ＝ AE 或 BE ＝ DC) (2) 添加条件后 ， 请说明 △ ABC ≌△ ADE 的理由． 12 ． (8 分 ) ( 2012 · 吉林 ) 在如图所示的三个函数图象中 ， 有两个函数图象能近似地刻画如下 a ， b 两个情境： 情境 a ：小芳离开家不久 ， 发现把作业本忘在家里 ， 于是返回了家里找到了作业本再去学校； 情境 b ：小芳从家出发 ， 走了一段路程后 ， 为了赶时间 ， 以更快的速度前进． (1) 情境 a ， b 所对应的函数图象分别是 ____ ， ____ ； ( 填写序号 ) (2) 请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境． 情境是小芳离开家到公园 ， 休息了一会儿 ， 又走回了家 ③ ① 13 ． (12 分 ) ( 2013 · 遵义 ) 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 4 cm ， BC ＝ 3 cm . 动点 M ， N 从点 C 同时出发 ， 均以每秒 1 cm 的速度分别沿 CA ， CB 向终点 A ， B 移动 ， 同时动点 P 从点 B 出发 ， 以每秒 2 cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动 ， 连接 PM ， PN ， 设移动时间为 t( 单位：秒 ， 0 ＜ t ＜ 2.5) ． (1) 当 t 为何值时 ， 以 A ， P ， M 为顶点的三角形与 △ ABC 相似？ (2) 是否存在某一时刻 t ， 使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？若存在 ， 求 S 的最小值；若不存在 ， 请说明理由． 14 ． (12 分 ) ( 2014 · 东营 ) 【 探究发现 】 如图 ① ， △ ABC 是等边三角形 ， ∠ AEF ＝ 60° ， EF 交等边三角形外角平分线 CF 所在的直线于点 F ， 当点 E 是 BC 的中点时 ， 有 AE ＝ EF 成立； 【 数学思考 】 某数学兴趣小组在探究 AE ， EF 的关系时 ， 运用 “ 从特殊到一般 ” 的数学思想 ， 通过验证得出如下结论： 当点 E 是直线 BC 上 (B ， C 除外 ) 任意一点时 ( 其他条件不变 ) ， 结论 AE ＝ EF 仍然成立． 假如你是该兴趣小组中的一员 ， 请你从 “ 点 E 是线段 BC 上的任意一点 ” ； “ 点 E 是线段 BC 延长线上的任意一点 ” ； “ 点 E 是线段 BC 反向延长线上的任意一点 ” 三种情况中 ， 任选一种情况 ， 在图 ② 中画出图形 ， 并证明 AE ＝ EF. 【 拓展应用 】 当点 E 在线段 BC 的延长线上时 ， 若 CE ＝ BC ， 在图 ③ 中画出图形 ， 并运用上述结论求出 S △ ABC ∶ S △ AEF 的值． 解：证明：如图 ② ， “ 点 E 是线段 BC 上任意一点 ” 时 ， 在 AB 上截取 AG ， 使 AG ＝ EC ， 连接 EG ， ∵△ ABC 是等边三角形 ， ∴ AB ＝ BC ， ∠ B ＝ ∠ ACB ＝ 60 ° . ∵ AG ＝ EC ， ∴ BG ＝ BE ， ∴△ BEG 是等边三角形 ， ∠ BGE ＝ 60 ° ， ∴∠ AGE ＝ 120 ° . ∵ FC 是外角的平分线 ， ∠ ECF ＝ 120 ° ＝ ∠ AGE. ∵∠ AEC 是 △ ABE 的外角 ， ∴∠ AEC ＝ ∠ B ＋ ∠ GAE ＝ 60 ° ＋ ∠ GAE. ∵∠ AEC ＝ ∠ AEF ＋ ∠ FEC ＝ 60 ° ＋ ∠ FEC ， ∴∠ GAE ＝ ∠ FEC. 在 △ AGE 和 △ ECF 中 î ï í ï ì ∠ GAE ＝ ∠ CEF ， AG ＝ EC ， ∠ AGE ＝ ∠ ECF ， ∴△ AGE ≌△ ECF ( ASA ) ， ∴ AE ＝ EF 拓展应用： 如图 ③ ：作 CH ⊥ AE 于 H 点 ， ∴∠ AHC ＝ 90 ° . 由数学思考得 AE ＝ EF ， 又 ∵∠ AEF ＝ 60 ° ， ∴△ AEF 是等边三角形 ， ∴△ ABC ∽△ AEF. ∵ CE ＝ BC ＝ AC ， △ ABC 是等边三角形 ， ∴∠ CAH ＝ 30 ° ， AH ＝ EH. ∴ CH ＝ 1 2 AC ， AH ＝ 3 2 AC ， AE ＝ 3 AC ， ∴ AC AE ＝ 3 3 . ∴ S △ ABC S △ AEF ＝ ( AC AE ) 2 ＝ ( 3 3 ) 2 ＝ 1 3