2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷
2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 将抛物线y=x2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是( )
A.y=(x−1)2 B.y=(x+1)2 C.y=x2+1 D.y=x2−1
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AC＝2，cosA=34，那么AB的长是（ ）
A.52 B.83 C.103 D.237
3. 已知a→、b→和c→都是非零向量，下列结论中不能判定a→ // b→的是（ ）
A.a→∥c→，b→∥c→ B.a→=12c→，b→=2c→
C.a→=2b→ D.|a→|＝|b→|
4. 如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM:MN:NB的值是（ ）
A.3:5:4 B.3:6:5 C.1:3:2 D.1:4:2
5. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=−32x2+6x(0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）
A.1米 B.2米 C.5米 D.6米
6. 如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A.AE＝2DE B.△CFP∼△APH C.△CFP∼△APC D.CP2＝PH⋅PB
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分)
如果cotα=3，那么锐角α＝________度．
如果抛物线y＝−x2+3x−1+m经过原点，那么m＝________．
二次函数y＝2x2+5x−1的图象与y轴的交点坐标为________．
已知点A(x1, y1)、B(x2, y2)为抛物线y＝(x−2)2上的两点，如果x1
y2．（填“>”“<”或“＝”）
在比例尺为1:8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为________千米．
已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP⋅AB，如果AB＝10cm，那么BP＝________5−5） cm．
已知G是△ABC的重心，过点G作MN // BC分别交边AB，AC于点M，N，那么S△AMNS△ABC=________．
如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为________米．
如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31∘，AB的长为12
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
米，则大厅两层之间的高度为________米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31∘＝0.515，cos31∘＝0.867，tan31∘＝0.601】
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90∘，AB＝3，BC＝2，tanA=43，则CD＝________．
定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70∘，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝________度．
在Rt△ABC中，∠A＝90∘，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝________3 ．
三、解答题：(本大题共7题，满分78分）
抛物线y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如表：
x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
−4
−1
0
−1
−4
…
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M(2, 4)的位置，那么其平移的方法是________．
如图，已知在梯形ABCD中，AB // CD，AB＝12，CD＝7，点E在边AD上，DEAE=23，过点E作EF // AB交边BC于点F．
（1）求线段EF的长；
（2）设AB→=a→，AD→=b→，联结AF，请用向量a→、b→表示向量AF→．
如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90∘，sinB=35，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求CFFD的值．
某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30∘，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45∘，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD上，CE＝CD．
（1）求证：ACAB=BDAD；
（2）求证：AC2＝2AE⋅AD．
已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2−2mx+4(m≠0)与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB＝6．
（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；
（2）在y轴上取点E(0, 2)，点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S四边形OEFB＝10，求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标．
已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120∘，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30∘．
（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；
（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
参考答案与试题解析
2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线y=x2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是y=(x+1)2，
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
根据cosA=ACAB=34，求出AB即可．
【解答】
在Rt△ABC中，∵ ∠C＝90∘，AC＝2，
又∵ cosA=ACAB=34，
∴ AB=83，
3.
【答案】
D
【考点】
*平面向量
【解析】
根据平行向量的定义判断即可．
【解答】
A、由a→ // c→，b→ // c→，可以推出a→ // b→．本选项不符合题意．
B、由a→=12c→，b→=2c→，可以推出a→ // b→．本选项不符合题意．
C、由a→=2b→，可以推出a→ // b→．本选项不符合题意．
D、由|a→|＝|b→|，不可以推出a→ // b→．本选项符合题意．
4.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据平行线分线段成比例定理得出即可．
【解答】
∵ AMMN=13，MNNB=32，
∴ AM:MN:NB＝1:3:2，
5.
【答案】
B
【考点】
二次函数的应用
【解析】
根据二次函数的顶点式即可求解．
【解答】
方法一：
根据题意，得
y=−32x2+6x(0≤x≤4)，
=−32(x−2)2+6
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
方法二：
因为对称轴x=62×32=2，
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
6.
【答案】
C
【考点】
等边三角形的性质
相似三角形的性质与判定
正方形的性质
【解析】
①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
②正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
③错误．通过计算证明∠CPA≠∠CPF，即可判断．
④正确．利用相似三角形的性质即可证明．
【解答】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
∠D＝∠DAB＝90∘，
∵ △APB是等边三角形，
∴ ∠PAB＝∠PBA＝∠APB＝60∘，
∴ ∠DAE＝30∘，
∴ AE＝2DE，故①正确，
∵ AB // CD，
∴ ∠PFE＝∠ABP＝∠APH＝60∘，
∵ ∠AHP＝∠PBA+∠BAH＝60∘+45∘＝105∘，
又∵ BC＝BP，∠PBC＝30∘，
∴ ∠BPC＝∠BCP＝75∘，
∴ ∠CPF＝105∘，
∴ ∠PHA＝∠CPF，
∴ △CFP∽△APH，故②正确，
∵ ∠CPA＝60∘+75∘＝135∘≠∠CPF，
∴ △PFC与△PCA不相似，故③错误，
∵ ∠PCH＝∠PCB−∠BCH＝75∘−45∘＝30∘，
∴ ∠PCH＝∠PBC，
∵ ∠CPH＝∠BPC，
∴ △PCH∽△PBC，
∴ PCPB=PHPC，
∴ CP2＝PH⋅PB，故④正确，
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分)
【答案】
30
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．
【解答】
∵ cotα=3，
∴ 锐角α＝30∘．
【答案】
1
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
把原点坐标代入y＝−x2+3x−1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】
∵ 抛物线y＝−x2+3x−1+m经过点(0, 0)，
∴ −1+m＝0，
∴ m＝1．
【答案】
(0, −1)
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据y轴上点的坐标特征计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标．
【解答】
当x＝0时，y＝−1，
所以二次函数y＝2x2+5x−1的图象与y轴的交点坐标为(0, −1)．
【答案】
>
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据二次函数的性质得到抛物线y＝(x−2)2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1y2．
【解答】
∵ y＝(x−2)2，
∴ a＝1>0，
∴ 抛物线开口向上，
∵ 抛物线y＝(x−2)2对称轴为直线x＝2，
∵ x1y2．
【答案】
320
【考点】
比例线段
【解析】
根据比例尺=代入数据计算即可．
【解答】
设甲、乙两地的实际距离为xcm，
∵ 比例尺=，
∴ 1:8000000＝4:x，
∴ x＝32000000，
∴ 甲、乙两地的实际距离为是320km，
【答案】
(5
【考点】
黄金分割
【解析】
根据点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP⋅AB，列方程即可求解．
【解答】
∵ 点P是线段AB上的一点
∴ AP＝AB−BP＝10−BP，
∵ BP2＝AP⋅AB，AB＝10cm，
BP2＝(10−BP)×10，
解得BP＝55−5．
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
【答案】
49
【考点】
相似三角形的性质与判定
三角形的重心
【解析】
根据三角形重心和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】
解：如图，连接AG并延长交BC于点E，
，
∵ 点G是△ABC的重心，
∴ AGGE=21，
∵ MN // BC，
∴ △AMN∼△ABC，
∴ S△AMNS△ABC=(AGAE)2=49，
故答案为：49.
【答案】
2.4
【考点】
相似三角形的应用
旋转的性质
【解析】
过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG // CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG // CH，
∴ △ODG∽△OCH，
∴ DGCH=ODOC，
∵ 栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴ CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，
∴ OC＝0.5m，
∴ DG0.3=30.5，
∴ DG＝1.8m，
∵ OE＝0.6m，
∴ 栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．
【答案】
6.2
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．
【解答】
在Rt△ABC中，
∵ ∠ACB＝90∘，
∴ BC＝AB⋅sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
【答案】
65
【考点】
解直角三角形
【解析】
延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．
【解答】
延长AD和BC交于点E．
∵ 在直角△ABE中，tanA=BEAB=43，AB＝3，
∴ BE＝4，
∴ EC＝BE−BC＝4−2＝2，
∵ △ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90∘，∠E＝∠E，
∴ ∠DCE＝∠A，
∴ 直角△CDE中，tan∠DCE＝tanA=DEDC=43，
∴ 设DE＝4x，则DC＝3x，
在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，
∴ 4＝16x2+9x2，
解得：x=25，
则CD=65．
【答案】
145
【考点】
相似图形
【解析】
依据四边形的相似对角线的定义，即可得到∠ABD＝∠DBC，∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，再根据四边形内角和为360∘，即可得到∠ADC的度数．
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
【解答】
如图所示，∵ ∠ABC＝70∘，BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD＝∠DBC，
又∵ 对角线BD是它的相似对角线，
∴ △ABD∽△DBC，
∴ ∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，
∴ ∠A+∠C＝∠ADC，
又∵ ∠A+∠C+∠ADC＝360∘−70∘＝290∘，
∴ ∠ADC＝145∘，
【答案】
4或4
【考点】
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
三角形中位线定理
【解析】
当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A1EF＝90∘时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A1FE＝90∘时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．
【解答】
当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A1EF＝90∘时，如图1，
∵ △A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴ A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，
∵ 点D，E分别为AC，BC的中点，
∴ D、E是△ABC的中位线，
∴ DE // AB，
∴ ∠CDE＝∠MAN＝90∘，
∴ ∠CDE＝∠A1EF，
∴ AC // A1E，
∴ ∠ACB＝∠A1EC，
∴ ∠A1CB＝∠A1EC，
∴ A1C＝A1E＝4，
Rt△A1CB中，
∵ E是斜边BC的中点，
∴ BC＝2A1E＝8，
由勾股定理得：AB2＝BC2−AC2，
∴ AB=82−42=43；
②当∠A1FE＝90∘时，如图2，
∵ ∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90∘，
∴ ∠ABF＝90∘，
∵ △A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴ ∠ABC＝∠CBA1＝45∘，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴ AB＝AC＝4；
综上所述，AB的长为43或4；
三、解答题：(本大题共7题，满分78分）
【答案】
∵ 抛物线y＝ax2+bx+c过点(−1, 0)，(0, −1)，(1, −4)，
∴ a−b+c=0a+b+c=4c=−1 ，
解得a=−1b=−2c=−1 ，
∴ 该抛物线的表达式为y＝−x2−2x−1；
向右平移3个单位，向上平移4个单位
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数的性质
二次函数图象与几何变换
【解析】
（1）将(−1, 0)，(0, −1)，(1, −4)代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c中即可得解；
（2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
∵ 抛物线y＝ax2+bx+c过点(−1, 0)，(0, −1)，(1, −4)，
∴ a−b+c=0a+b+c=4c=−1 ，
解得a=−1b=−2c=−1 ，
∴ 该抛物线的表达式为y＝−x2−2x−1；
∵ 新顶点M(2, 4)，
∴ y＝−(x−2)2+4，
∵ y＝−x2−2x−1＝−(x+1)2，
∴ 抛物线的表达式为y＝−x2−2x−1向右平移3个单位，向上平移4个单位可得到y＝−(x−2)2+4，
故答案为：向右平移3个单位，向上平移4个单位．
【答案】
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
过D作DM // BC交EF于N，交AB于M，则BM＝FN＝CD＝7，
∴ AM＝AB−BM＝12−7＝5，
∵ DEAE=23，
∴ DEDA=ENAM=25
∴ EN＝2，
∴ EF＝EN+FN＝2+7＝9；
∵ EF＝9，AB＝12，
∴ EFAB=34，
∵ AB→=a→，
∴ EF→=34AB→=34a→，
∵ AEAD=35，AD→=b→，
∴ AE→=35b→，
∴ AF→=AE→+EF→=35b→+34a→．
【考点】
*平面向量
梯形
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）过D作DM // BC交EF于N，交AB于M，则BM＝FN＝CD＝7，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】
过D作DM // BC交EF于N，交AB于M，则BM＝FN＝CD＝7，
∴ AM＝AB−BM＝12−7＝5，
∵ DEAE=23，
∴ DEDA=ENAM=25
∴ EN＝2，
∴ EF＝EN+FN＝2+7＝9；
∵ EF＝9，AB＝12，
∴ EFAB=34，
∵ AB→=a→，
∴ EF→=34AB→=34a→，
∵ AEAD=35，AD→=b→，
∴ AE→=35b→，
∴ AF→=AE→+EF→=35b→+34a→．
【答案】
过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵ ∠ACB＝90∘，
∴ ∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB=35，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴ sin∠ACG=AGAC=35=sinB，
∴ AG=95x，CG=125x，
∴ DG＝DA+AG＝3x+95x=245x，
在Rt△DCG中，tan∠D=CGDG=12；
过点C作CF // DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≅△ABE，
∴ HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：CFDF=CHDB=5x3x+5x=58．
【考点】
解直角三角形
等腰三角形的性质
【解析】
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
（1）作高构造直角三角形，设AC＝3x，表示出CG、AG、DG，再利用直角三角形的边角关系，求出∠D正切值；
（2）过点C作CF // DB，交BF的延长线于点H，相似三角形、全等三角形，进而得出HC＝AB＝5x，将：CFDF转化为求HCDB即可．
【解答】
过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵ ∠ACB＝90∘，
∴ ∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB=35，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴ sin∠ACG=AGAC=35=sinB，
∴ AG=95x，CG=125x，
∴ DG＝DA+AG＝3x+95x=245x，
在Rt△DCG中，tan∠D=CGDG=12；
过点C作CF // DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≅△ABE，
∴ HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：CFDF=CHDB=5x3x+5x=58．
【答案】
楼MF的高56.1米
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
【解答】
设MC＝x，
∵ ∠MAC＝30∘，
∴ 在Rt△MAC中，AC=MCtan∠MAC=x33=3x．
∵ ∠MBC＝45∘，
∴ 在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，
又∵ AB＝DE＝40，
∴ AC−BC＝AB＝40，即3x−x＝40，
解得：x＝20+203≈54.6，
∴ MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），
【答案】
证明：∵ CD＝CE，
∴ ∠CED＝∠EDC，
∵ ∠AEC+∠CED＝180∘，∠ADB+∠EDC＝180∘，
∴ ∠AEC＝∠ADB，
∵ ∠DAC＝∠B
∴ △ACE∽△BAD；
∵ ∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴ △ACD∽△BCA，
∴ ACCD=CBCA，
∴ AC2＝CD⋅CB，
∵ △ACE∽△BAD，
∴ AEBD=CEAD，
∴ AE⋅AD＝BD⋅CE，
∴ 2AE⋅AD＝2BD⋅CE＝BC⋅CD，
∴ AC2＝2AE⋅AD．
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）先利用等腰三角形的性质，由CD＝CE得到∠CED＝∠EDC，则可根据等角的补角相等得到∠AEC＝∠ADB，加上∠DAC＝∠B，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ACE∽△BAD．
（2）由∠DAC＝∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，利用相似比即可得到结论．
【解答】
证明：∵ CD＝CE，
∴ ∠CED＝∠EDC，
∵ ∠AEC+∠CED＝180∘，∠ADB+∠EDC＝180∘，
∴ ∠AEC＝∠ADB，
∵ ∠DAC＝∠B
∴ △ACE∽△BAD；
∵ ∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴ △ACD∽△BCA，
∴ ACCD=CBCA，
∴ AC2＝CD⋅CB，
∵ △ACE∽△BAD，
∴ AEBD=CEAD，
∴ AE⋅AD＝BD⋅CE，
∴ 2AE⋅AD＝2BD⋅CE＝BC⋅CD，
∴ AC2＝2AE⋅AD．
【答案】
由y＝mx2−2mx+4＝m(x−1)2+4−m得到：抛物线对称轴为直线x＝1．
∵ AB＝6，
∴ A(−2, 0)，B(4, 0)．
将点A
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
的坐标代入函数解析式得到：4m+4m+4＝0，解得m=−12．
故该抛物线解析式是：y=−12x2+x+4；
如图1，联结OF，
设F(t, −12t2+t+4)，则
S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB=12×2t+12×4(−12t2+t+4)＝10．
∴ t1＝1，t2＝2．
∴ 点F的坐标是(1, 92)或(2, 4)；
由题意得，F(2, 4)，
如图2，设PF与y轴的交点为G．，
∵ tan∠EBO=OEOB=24=12，tan∠HFB=BHFH=12，
∴ tan∠EBO＝tan∠HFB．
∴ ∠EBO＝∠HFB．
又∵ ∠PFH＝∠EGF＝∠FBE，
∴ ∠PFB＝∠PBF．
∴ PF＝PB．
设P(a, 0)．
则PF＝PB，
∴ (a−4)2＝(a−2)2+42，解得a＝−1．
∴ P(−1, 0)
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）根据抛物线解析式求得对称轴方程为x＝1，结合AB＝6求得点A、B的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式；
（2）如图1，联结OF，设F(t, −12t2+t+4)，根据图形得到S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB，由三角形的面积公式列出方程，利用方程求得点F的横坐标，结合二次函数图象上点的坐标特征求得点F的纵坐标；
（3）如图2，设PF与y轴的交点为G．由tan∠EBO＝tan∠HFB=12得到：∠EBO＝∠HFB．易推知∠PFB＝∠PBF．故PF＝PB．设P(a, 0)．由两点间的距离公式求得相关线段的长度并列出方程，通过解方程求得点P的横坐标．
【解答】
由y＝mx2−2mx+4＝m(x−1)2+4−m得到：抛物线对称轴为直线x＝1．
∵ AB＝6，
∴ A(−2, 0)，B(4, 0)．
将点A的坐标代入函数解析式得到：4m+4m+4＝0，解得m=−12．
故该抛物线解析式是：y=−12x2+x+4；
如图1，联结OF，
设F(t, −12t2+t+4)，则
S四边形OEFB＝S△OEF+S△OFB=12×2t+12×4(−12t2+t+4)＝10．
∴ t1＝1，t2＝2．
∴ 点F的坐标是(1, 92)或(2, 4)；
由题意得，F(2, 4)，
如图2，设PF与y轴的交点为G．，
∵ tan∠EBO=OEOB=24=12
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
，tan∠HFB=BHFH=12，
∴ tan∠EBO＝tan∠HFB．
∴ ∠EBO＝∠HFB．
又∵ ∠PFH＝∠EGF＝∠FBE，
∴ ∠PFB＝∠PBF．
∴ PF＝PB．
设P(a, 0)．
则PF＝PB，
∴ (a−4)2＝(a−2)2+42，解得a＝−1．
∴ P(−1, 0)
【答案】
如图1中，作PH⊥BC于H．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝4，AD // BC，
∴ ∠A+∠ABC＝180∘，
∵ ∠A＝120∘，
∴ ∠PBH＝60∘，
∵ PB＝3，∠PHB＝90∘，
∴ BH＝PB⋅cos60∘=32，PH＝PB⋅sin60∘=332，
∴ CH＝BC−BH＝4−32=52，
∴ PC=PH2+CH2=(332)2+(52)2=13．
如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠ABD＝∠CBD＝30∘，
∵ ∠PCQ＝30∘，
∴ ∠PBO＝∠QCO，
∵ ∠POB＝∠QOC，
∴ △POB∽△QOC，
∴ POQO=BOCD，
∴ OPBO=QOCD，
∵ ∠POQ＝∠BOC，
∴ △POQ∽△BOC，
∴ ∠OPQ＝∠OBC＝30∘＝∠PCQ，
∴ PQ＝CQ＝y，
∴ PC=3y，
在Rt△PHB中，BH=12x，PH=32x，
∵ PC2＝PH2+CH2，
∴ 3y2＝(32x)2+(4−12x)2，
∴ y=3x2−12x+483(0≤x<8)．
①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．
此时∠CQE＝120∘，
∵ ∠PBC＝60∘，
∴ △PBC中，不存在角与∠CQE相等，
此时△QCE与△BCP不可能相似．
②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．
则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60∘＝∠CBP，
∵ ∠PCB>∠E，
∴ 只可能∠BCP＝∠QCE＝75∘，
作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝23，∠PCF＝45∘，
∴ PF＝CF＝23，
此时PB2+23，
综上所述，满足条件的PB
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
的值为2+23．
【考点】
相似三角形综合题
【解析】
（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，理由勾股定理即可解决问题．
（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30∘＝∠PCQ，推出PQ＝CQ＝y，推出PC=3y，在Rt△PHB中，BH=12x，PH=32x，根据PC2＝PH2+CH2，可得结论．
（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．分别求解即可．
【解答】
如图1中，作PH⊥BC于H．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝4，AD // BC，
∴ ∠A+∠ABC＝180∘，
∵ ∠A＝120∘，
∴ ∠PBH＝60∘，
∵ PB＝3，∠PHB＝90∘，
∴ BH＝PB⋅cos60∘=32，PH＝PB⋅sin60∘=332，
∴ CH＝BC−BH＝4−32=52，
∴ PC=PH2+CH2=(332)2+(52)2=13．
如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠ABD＝∠CBD＝30∘，
∵ ∠PCQ＝30∘，
∴ ∠PBO＝∠QCO，
∵ ∠POB＝∠QOC，
∴ △POB∽△QOC，
∴ POQO=BOCD，
∴ OPBO=QOCD，
∵ ∠POQ＝∠BOC，
∴ △POQ∽△BOC，
∴ ∠OPQ＝∠OBC＝30∘＝∠PCQ，
∴ PQ＝CQ＝y，
∴ PC=3y，
在Rt△PHB中，BH=12x，PH=32x，
∵ PC2＝PH2+CH2，
∴ 3y2＝(32x)2+(4−12x)2，
∴ y=3x2−12x+483(0≤x<8)．
①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．
此时∠CQE＝120∘，
∵ ∠PBC＝60∘，
∴ △PBC中，不存在角与∠CQE相等，
此时△QCE与△BCP不可能相似．
②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．
则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60∘＝∠CBP，
∵ ∠PCB>∠E，
∴ 只可能∠BCP＝∠QCE＝75∘，
作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝23，∠PCF＝45∘，
∴ PF＝CF＝23，
此时PB2+23，
综上所述，满足条件的PB的值为2+23．
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
