2020年江苏省扬州市中考数学试卷

2020年江苏省扬州市中考数学试卷

2020 年江苏省扬州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3 分）实数 3 的相反数是 ( ) A． 3 B． 1 3 C．3 D． 3 2．（3 分）下列各式中，计算结果为 6m 的是 ( ) A． 2 3m m B． 3 3m m C． 12 2m m D． 2 3( )m 3．（3 分）在平面直角坐标系中，点 2( 2P x  ， 3) 所在的象限是 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（3 分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被 运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与 扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 5．（3 分）某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如图尚不完整的调 查问卷： 准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查 问卷问题的备选项目，选取合理的是 ( ) A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 6．（3 分）如图，小明从点 A 出发沿直线前进 10 米到达点 B ，向左转 45后又沿直线前进 10 米到达点 C ，再向左转 45后沿直线前进 10 米到达点 D照这样走下去，小明第一次回 到出发点 A 时所走的路程为 ( ) A．100 米 B．80 米 C．60 米 D．40 米 7．（3 分）如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A 、 B 、C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C 、 D ，则 sin ADC 的值为 ( ) A． 2 13 13 B． 3 13 13 C． 2 3 D． 3 2 8．（3 分）小明同学利用计算机软件绘制函数 2 (( ) axy ax b   、 b 为常数）的图象如图所示， 由学习函数的经验，可以推断常数 a、 b 的值满足 ( ) A． 0a  ， 0b  B． 0a  ， 0b  C． 0a  ， 0b  D． 0a  ， 0b  二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3 分）2020 年 6 月 23 日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计， 国内已有超过 6500000 辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据 6500000 用科学记数法表示 为 ． 10．（3 分）分解因式： 3 22a a a   ． 11．（3 分）代数式 2 3 x  在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ． 12．（3 分）方程 2( 1) 9x   的根是 ． 13．（3 分）圆锥的底面半径为 3，侧面积为12 ，则这个圆锥的母线长为 ． 14．（3 分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如 图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高 几何？”题意是：一根竹子原高 1 丈 (1 丈 10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根 3 尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高． 15．（3 分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健 康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 2cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色 部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率 稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2cm ． 16．（3 分）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 3b cm ， 则螺帽边长 a  cm ． 17．（3 分）如图，在 ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB 、 BC 于点 D 、 E ． ②分别以点 D 、 E 为圆心，大于 1 2 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F ． ③作射线 BF 交 AC 于点 G ． 如果 8AB  ， 12BC  ， ABG 的面积为 18，则 CBG 的面积为 ． 18．（3 分）如图，在 ABCD 中， 60B  ， 10AB  ， 8BC  ，点 E 为边 AB 上的一个动 点，连接 ED 并延长至点 F ，使得 1 4DF DE ，以 EC 、EF 为邻边构造 EFGC ，连接 EG ， 则 EG 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8 分）计算或化简： （1） 112sin60 ( ) 122    ． （2） 2 2 1 1x x x x x    ． 20．（8 分）解不等式组 5 0, 3 1 2 1,2 x x x    „ … 并写出它的最大负整数解． 21．（8 分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学 们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘 制成如图两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为  ； （2）补全条形统计图； （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有 2000 名学生， 试估计该校需要培训的学生人数． 22．（8 分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了 A 、 B 、C 三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小明从 A 测温通道通过的概率是 ； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率． 23．（10 分）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元 / 件） 数量（件 ) 总金额（元 ) 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高 50% ． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 24．（10 分）如图， ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，过点 O 作 EF AC ，分别交 AB 、 DC 于点 E 、 F ，连接 AF 、 CE ． （1）若 3 2OE  ，求 EF 的长； （2）判断四边形 AECF 的形状，并说明理由． 25．（10 分）如图， ABC 内接于 O ， 60B  ，点 E 在直径CD 的延长线上，且 AE AC ． （1）试判断 AE 与 O 的位置关系，并说明理由； （2）若 6AC  ，求阴影部分的面积． 26．（10 分）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值， 如以下问题： 已知实数 x 、 y 满足 3 5x y  ①， 2 3 7x y  ②，求 4x y 和 7 5x y 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答 案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可 以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①  ②可得 4 2x y   ，由①  ② 2 可得 7 5 19x y  ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组 2 7, 2 8, x y x y      则 x y  ， x y  ； （2）某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多 少元？ （3）对于实数 x 、 y ，定义新运算： *x y ax by c   ，其中 a 、 b 、 c 是常数，等式右边 是通常的加法和乘法运算．已知 3*5 15 ， 4*7 28 ，那么1*1  ． 27．（12 分）如图 1，已知点 O 在四边形 ABCD 的边 AB 上，且 2OA OB OC OD    ，OC 平分 BOD ，与 BD 交于点 G ， AC 分别与 BD 、 OD 交于点 E 、 F ． （1）求证： / /OC AD ； （2）如图 2，若 DE DF ，求 AE AF 的值； （3）当四边形 ABCD 的周长取最大值时，求 DE DF 的值． 28．（12 分）如图，已知点 (1,2)A 、 (5B ， )( 0)n n  ，点 P 为线段 AB 上的一个动点，反比 例函数 ( 0)ky xx   的图象经过点 P ．小明说：“点 P 从点 A 运动至点 B 的过程中， k 值逐 渐增大，当点 P 在点 A 位置时 k 值最小，在点 B 位置时 k 值最大．” （1）当 1n  时． ①求线段 AB 所在直线的函数表达式． ②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并 求出正确的 k 的最小值和最大值． （2）若小明的说法完全正确，求 n 的取值范围． 2020 年江苏省扬州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3 分）实数 3 的相反数是 ( ) A． 3 B． 1 3 C．3 D． 3 【解答】解：实数 3 的相反数是： 3 ． 故选： A ． 2．（3 分）下列各式中，计算结果为 6m 的是 ( ) A． 2 3m m B． 3 3m m C． 12 2m m D． 2 3( )m 【解答】解： A 、 2 3 5m m m ，故此选项不合题意； B 、 3 3 32m m m  ，故此选项不合题意； C 、 12 2 10m m m  ，故此选项不合题意； D 、 2 3 6( )m m ，故此选项符合题意． 故选： D ． 3．（3 分）在平面直角坐标系中，点 2( 2P x  ， 3) 所在的象限是 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解： 2 2 0x   ， 点 2( 2P x  ， 3) 所在的象限是第四象限． 故选： D ． 4．（3 分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被 运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与 扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A 、是轴对称图形，故本选项不合题意； B 、是轴对称图形，故本选项不合题意； C 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D 、是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选： C ． 5．（3 分）某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如图尚不完整的调 查问卷： 准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查 问卷问题的备选项目，选取合理的是 ( ) A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【解答】解：根据体育项目的隶属包含关系，选择“篮球”“足球”“游泳”比较合理， 故选： C ． 6．（3 分）如图，小明从点 A 出发沿直线前进 10 米到达点 B ，向左转 45后又沿直线前进 10 米到达点 C ，再向左转 45后沿直线前进 10 米到达点 D照这样走下去，小明第一次回 到出发点 A 时所走的路程为 ( ) A．100 米 B．80 米 C．60 米 D．40 米 【解答】解：小明每次都是沿直线前进 10 米后向左转 45 度， 他走过的图形是正多边形， 边数 360 45 8n      ， 他第一次回到出发点 A 时，一共走了8 10 80( )m  ． 故选： B ． 7．（3 分）如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A 、 B 、C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C 、 D ，则 sin ADC 的值为 ( ) A． 2 13 13 B． 3 13 13 C． 2 3 D． 3 2 【解答】解：如图，连接 BC ． ADC 和 ABC 所对的弧长都是 AC ， 根据圆周角定理知， ADC ABC   ． 在 Rt ACB 中，根据锐角三角函数的定义知， sin ACABC AB   ， 2AC  ， 3BC  ， 2 2 13AB AC BC    ， 2 2 13sin 1313 ABC    ， 2 13sin 13ADC   ． 故选： A ． 8．（3 分）小明同学利用计算机软件绘制函数 2 (( ) axy ax b   、 b 为常数）的图象如图所示， 由学习函数的经验，可以推断常数 a、 b 的值满足 ( ) A． 0a  ， 0b  B． 0a  ， 0b  C． 0a  ， 0b  D． 0a  ， 0b  【解答】解：由图象可知，当 0x  时， 0y  ， 0a  ； 图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移， 0b  ， 0b  ； 故选： C ． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3 分）2020 年 6 月 23 日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计， 国内已有超过 6500000 辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据 6500000 用科学记数法表示 为 66.5 10 ． 【解答】解：6500000 用科学记数法表示应为： 66.5 10 ， 故答案为： 66.5 10 ． 10．（3 分）分解因式： 3 22a a a   2( 1)a a  ． 【解答】解： 3 22a a a  2( 2 1)a a a   2( 1)a a  ． 故答案为： 2( 1)a a  ． 11．（3 分）代数式 2 3 x  在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 2x … ． 【解答】解：代数式 2 3 x  在实数范围内有意义， 则 2 0x  … ， 解得： 2x … ． 故答案为： 2x … ． 12．（3 分）方程 2( 1) 9x   的根是 1 2x  ， 2 4x   ． 【解答】解： 2( 1) 9x   ， 1 3x    ， 1 2x  ， 2 4x   ． 故答案为： 1 2x  ， 2 4x   ． 13．（3 分）圆锥的底面半径为 3，侧面积为12 ，则这个圆锥的母线长为 4 ． 【解答】解： S rl 侧 ， 3 12l   ， 4l  ． 答：这个圆锥的母线长为 4． 故答案为：4． 14．（3 分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如 图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高 几何？”题意是：一根竹子原高 1 丈 (1 丈 10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根 3 尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 4.55 尺高． 【解答】解：设折断处离地面 x 尺， 根据题意可得： 2 2 23 (10 )x x   ， 解得： 4.55x  ． 答：折断处离地面 4.55 尺． 故答案为：4.55． 15．（3 分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健 康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 2cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色 部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率 稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 2cm ． 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右， 点落入黑色部分的概率为 0.6， 边长为 2cm的正方形的面积为 24cm ， 设黑色部分的面积为 S ， 则 0.64 S  ， 解得 22.4( )S cm ． 答：估计黑色部分的总面积约为 22.4cm ． 故答案为：2.4． 16．（3 分）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 3b cm ， 则螺帽边长 a  3 cm ． 【解答】解：如图，连接 AC ，过点 B 作 BD AC 于 D ， 由正六边形，得 120ABC  ， AB BC a  ， 30BCD BAC     ． 由 3AC  ，得 1.5CD  ． 3cos 2 CDBCD BC    ，即 1.5 3 2a  ， 解得 3a  ， 故答案为： 3 ． 17．（3 分）如图，在 ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB 、 BC 于点 D 、 E ． ②分别以点 D 、 E 为圆心，大于 1 2 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F ． ③作射线 BF 交 AC 于点 G ． 如果 8AB  ， 12BC  ， ABG 的面积为 18，则 CBG 的面积为 27 ． 【解答】解：如图，过点 G 作 GM AB 于点 M ， GN AC 于点 N ， 根据作图过程可知： BG 是 ABC 的平分线， GM GN  ， ABG 的面积为 18，  1 182 AB GM   ， 4 18GM  ， 9 2GM  ， CBG 的面积为： 1 1 912 272 2 2BC GN      ． 故答案为：27． 18．（3 分）如图，在 ABCD 中， 60B  ， 10AB  ， 8BC  ，点 E 为边 AB 上的一个动 点，连接 ED 并延长至点 F ，使得 1 4DF DE ，以 EC 、EF 为邻边构造 EFGC ，连接 EG ， 则 EG 的最小值为 9 3 ． 【解答】解：作 CH AB 于点 H ， 在 ABCD 中， 60B  ， 8BC  ， 4 3CH  ， 四边形 ECGF 是平行四边形， / /EF CG ， EOD GOC ∽ ，  EO DO ED GO OC GC   ， 1 4DF DE ，  4 5 DE EF  ，  4 5 ED GC  ，  4 5 EO GO  ， 当 EO 取得最小值时， EG 即可取得最小值， 当 EO CD 时， EO 取得最小值， CH EO  ， 4 3EO  ， 5 3GO  ， EG 的最小值是 9 3 ， 故答案为： 9 3 ． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8 分）计算或化简： （1） 112sin60 ( ) 122    ． （2） 2 2 1 1x x x x x    ． 【解答】解：（1）原式 32 2 2 32     3 2 2 3   2 3  ； （2）原式 1 ( 1) ( 1)( 1) x x x x x x     1 ． 20．（8 分）解不等式组 5 0, 3 1 2 1,2 x x x    „ … 并写出它的最大负整数解． 【解答】解：解不等式 5 0x  „ ，得 5x „ ， 解不等式 3 1 2 12 x x … ，得： 3x „ ， 则不等式组的解集为 5x „ ， 所以不等式组的最大负整数解为 5 ． 21．（8 分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学 们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘 制成如图两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 500 ，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为  ； （2）补全条形统计图； （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有 2000 名学生， 试估计该校需要培训的学生人数． 【解答】解：（1）本次调查的样本容量是150 30% 500  ， 扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为： 360 30% 108   ， 故答案为：500，108； （2） B 等级的人数为：500 40% 200  ， 补全的条形统计图如右图所示； （3） 502000 200500   （人 ) ， 答：该校需要培训的学生人有 200 人． 22．（8 分）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了 A 、 B 、C 三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小明从 A 测温通道通过的概率是 1 3 ； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率． 【解答】解：（1）小明从 A 测温通道通过的概率是 1 3 ， 故答案为： 1 3 ； （2）列表格如下： A B C A A ， A B ， A C ， A B A ， B B ， B C ， B C A ， C B ， C C ， C 由表可知，共有 9 种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有 3 种可能， 所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为 3 1 9 3  ． 23．（10 分）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元 / 件） 数量（件 ) 总金额（元 ) 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高 50% ． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 【解答】解：设乙商品的进价为 x 元 / 件，则甲商品的进价为 (1 50%)x 元 / 件， 依题意，得： 7200 3200 40(1 50%)x x   ， 解得： 40x  ， 经检验， 40x  是原方程的解，且符合题意， (1 50%) 60x   ， 3200 80x  ， 7200 120(1 50%)x  ． 答：甲商品的进价为 60 元 / 件，乙商品的进价为 40 元 / 件，购进甲商品 120 件，购进乙商 品 80 件． 24．（10 分）如图， ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，过点 O 作 EF AC ，分别交 AB 、 DC 于点 E 、 F ，连接 AF 、 CE ． （1）若 3 2OE  ，求 EF 的长； （2）判断四边形 AECF 的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， / /AB CD ， AO CO ， FCO EAO   ， 又 AOE COF   ， ( )AOE COF ASA   ， 3 2OE OF   ， 2 3EF OE   ； （2）四边形 AECF 是菱形， 理由： AOE COF   ， AE CF  ， 又 / /AE CF ， 四边形 AECF 是平行四边形， 又 EF AC ， 四边形 AECF 是菱形． 25．（10 分）如图， ABC 内接于 O ， 60B  ，点 E 在直径CD 的延长线上，且 AE AC ． （1）试判断 AE 与 O 的位置关系，并说明理由； （2）若 6AC  ，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接 OA 、 AD ，如图， CD 为 O 的直径， 90DAC   ， 又 60ADC B     ， 30ACD  ， 又 AE AC ， OA OD ， ADO 为等边三角形， 30E  ， 60ADO DAO     ， 30PAD   ， 90EAD DAO    ， OA E  ， AE 为 O 的切线； （2）解：作 OF AC 于 F ， 由（1）可知 AEO 为直角三角形，且 30E   ， 2 3OA  ， 6AE  ， 阴影部分的面积为 21 60 (2 3)6 2 3 6 3 22 360       ． 故阴影部分的面积为 6 3 2 ． 26．（10 分）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值， 如以下问题： 已知实数 x 、 y 满足 3 5x y  ①， 2 3 7x y  ②，求 4x y 和 7 5x y 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答 案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可 以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①  ②可得 4 2x y   ，由①  ② 2 可得 7 5 19x y  ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组 2 7, 2 8, x y x y      则 x y  1 ， x y  ； （2）某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多 少元？ （3）对于实数 x 、 y ，定义新运算： *x y ax by c   ，其中 a 、 b 、 c 是常数，等式右边 是通常的加法和乘法运算．已知 3*5 15 ， 4*7 28 ，那么1*1  ． 【解答】解：（1） 2 7 2 8 x y x y      ① ② ． 由①  ②可得： 1x y   ， 由 1(3 ①  ② ) 可得： 5x y  ． 故答案为： 1 ；5． （2）设铅笔的单价为 m 元，橡皮的单价为 n 元，日记本的单价为 p 元， 依题意，得： 20 3 2 32 39 5 3 58 m n p m n p        ① ② ， 由 2  ①  ②可得 6m n p   ， 5 5 5 5 6 30m n p      ． 答：购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需 30 元． （3）依题意，得： 3 5 15 4 7 28 a b c a b c        ① ② ， 由 3① 2  ②可得： 11a b c    ， 即1*1 11  ． 故答案为： 11 ． 27．（12 分）如图 1，已知点 O 在四边形 ABCD 的边 AB 上，且 2OA OB OC OD    ，OC 平分 BOD ，与 BD 交于点 G ， AC 分别与 BD 、 OD 交于点 E 、 F ． （1）求证： / /OC AD ； （2）如图 2，若 DE DF ，求 AE AF 的值； （3）当四边形 ABCD 的周长取最大值时，求 DE DF 的值． 【解答】（1）证明： AO OD ， OAD ADO   ， OC 平分 BOD ， DOC COB   ， 又 DOC COB OAD ADO        ， ADO DOC   ， / /CO AD ； （2）解：如图 1，过点 E 作 / /EM FD 交 AD 的延长线于点 M ， 设 DAC   ， / /CO AD ， ACO DAC     ， AO OC ， OAC OCA     ， OA OD ， 2ODA OAD     ， DE EF ， 3DFE DEF     ， AO OB OD  ， 90ADB   ， 90DAE AED    ， 即 4 90  ， 2 45ADF     ， 45FDE  ， 45M ADF     ， 2 2EM DE DF   ， / /DF EM ， AME ADF ∽ ，  2AE EM AF DF   ； （3）解：如图 2， OD OB ， BOC DOC   ， ( )BOC DOC SAS   ， BC CD  ， 设 BC CD x  ， CG m ，则 2OG m  ， 2 2 2 2OB OG BC CG   ， 2 2 24 (2 )m x m     ， 解得： 21 4m x ， 212 4OG x   ， OD OB ， DOG BOG   ， G 为 BD 的中点， 又 O 为 AB 的中点， 212 4 2AD OG x    ，  四 边 形 ABCD 的 周 长 为 2 2 21 1 12 2 4 4 2 8 ( 2) 102 2 2BC AD AB x x x x x              ， 1 02   ， 2x  时，四边形 ABCD 的周长有最大值为 10． 2BC  ， BCO 为等边三角形， 60BOC   ， / /OC AD ， 60DAC COB     ， 60ADF DOC     ， 30DAE   ， 90AFD   ，  3 3 DE DA  ， 1 2DF DA ，  2 3 3 DE DF  ． 28．（12 分）如图，已知点 (1,2)A 、 (5B ， )( 0)n n  ，点 P 为线段 AB 上的一个动点，反比 例函数 ( 0)ky xx   的图象经过点 P ．小明说：“点 P 从点 A 运动至点 B 的过程中， k 值逐 渐增大，当点 P 在点 A 位置时 k 值最小，在点 B 位置时 k 值最大．” （1）当 1n  时． ①求线段 AB 所在直线的函数表达式． ②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并 求出正确的 k 的最小值和最大值． （2）若小明的说法完全正确，求 n 的取值范围． 【解答】解：（1）①当 1n  时， (5,1)B ， 设线段 AB 所在直线的函数表达式为 y kx b  ， 把 (1,2)A 和 (5,1)B 代入得： 2 5 1 k b k b      ， 解得： 1 4 9 4 k b      ， 则线段 AB 所在直线的函数表达式为 1 9 4 4y x   ； ②当 1n  时，完全同意小明的说法，理由为： 若反比例函数经过点 A ，把 (1,2)A 代入反比例解析式得： 2k  ； 若反比例函数经过点 B ，把 (5,1)B 代入反比例解析式得： 5k  ， 2 5k „ „ ， 则点 P 从点 A 运动至点 B 的过程中， k 值逐渐增大，当点 P 在点 A 位置时 k 值最小，最小 值为 2，在点 B 位置时 k 值最大，最大值为 5； （2）若小明的说法完全正确，则有 5 2n  ， 解得： 2 5n  ．