2019年哈尔滨中考数学试题（解析版）

2019年哈尔滨中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年哈尔滨中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年哈尔滨市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，合计30分． ‎ ‎{题目}1．（2019年哈尔滨T1）－9的相反数是( )‎ A．－9 B． C．9 D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，－9的相反数是9，因 此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年哈尔滨T2）下列运算正确的是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可，2a+2a＝‎ ‎4a，A错误；a2•a3＝a5，B错误；（2a2）3＝8a6，C错误，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-2]乘法公式}‎ ‎{考点:合并同类项}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{考点:平方差公式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年哈尔滨T3）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可，A．是轴对称图形， 但不是中心对称图形，故此选项错误；B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正 确；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D．是轴对称图形，不是中心 对称图形，故此选项错误，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019年哈尔滨T4）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键，这个立体图形的左视图 有2列，从左到右分别是2，1个正方形，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年哈尔滨T5）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，‎ 连接AC、BC，若∠P＝50º，则∠ACB的度数为( )‎ A．60º B．75º C．70º D．65º ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，连接 OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠ OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝× 130°＝65°，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:垂线定义}‎ ‎{考点:多边形的内角和}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6．（2019年哈尔滨T6）抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度， 所得到的抛物线为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减， 将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2（x﹣2）2+3，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-3]二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数图象的平移}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7．（2019年哈尔滨T7）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元， 则平均每次降价的百分率为（ ）‎ A．20% B．40% C．18% D．36% ‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1﹣x）2＝b对 照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键，设降价的百分率为x，根据 题意可列方程为25（1﹣x）2＝16，解方程得，（舍）∴每次降价得百分率为 20%，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{考点:直接开平方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019年哈尔滨T8）方程的解为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键，两边同 时乘以x（3x－1），∴2x＝9x﹣3，∴，将检验是方程的根，∴方程的解为 ，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{考点:解含两个分式的分式方程}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019年哈尔滨T9）点(－1,4)在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图 象上的是( )‎ A．（4，－1） B．（，1） C．（－4，－1） D．（，2）‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关 键，将点(－1,4)代入，∴k＝－4，∴，∴点（4，－1）在函数图象上，因此 本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的解析式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．（2019年哈尔滨T10）如图，□ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点 M， EN∥AB，交AD于点N， 则下列式子一定正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用 相似三角形的性质求解，∵在平行四边形ABCD中，EM∥AD，∴易证四边形AMEN为平行 四边形，∴易证△BEM∽△BAD∽△END，∴＝，A项错误；＝，B项 ‎ 错误；＝＝，C项错误；＝＝，D项正确，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，合计30分．‎ ‎{题目}11．（2019年哈尔滨T11）将6 260 000用科学记数法表示为 .‎ ‎{答案}6.26×106‎ ‎{解析}本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜ 10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小 数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数， 6260000用科学记数法可表示为6.26×106因此本题答案为6.26×106．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12．（2019年哈尔滨T12）函数中，自变量的取值范围是 .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了函数自变量的取值范围；熟练掌握函数中自变量的取值范围的求法是解题的关 键，函数中分母，∴，因此本题答案为．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-1]分式}‎ ‎{考点:分式的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．（2019年哈尔滨T13）把多项式分解因式的结果为 .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，＝＝，因此本题答案为．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．（2019年哈尔滨T14）不等式组的解集是 .‎ ‎{答案}x≥3‎ ‎{解析}本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键，解不等式 ，得：x≥3，解不等式，得：x≥，∴不等式组的解集为x≥3，因此 本题答案为x≥3．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}15．（2019年哈尔滨T15）二次函数的最大值是 .‎ ‎{答案}8‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键，：∵a＝－1＜ 0，∴y有最大值，当x＝6时，y有最大值8，因此本题答案为8．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-3]二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y=a(x+h)2的图象}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16．（2019年哈尔滨T16）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A 是对应点，点B'与点B是对应点，点B'落在边AC上，连接A'B，若∠ACB＝45°，AC＝3， BC＝2，则A'B的长为 .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键，∵将△ABC绕点C 逆时针旋转得到△A'B'C，∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，∴∠A'CB＝90°∴ A'B＝＝，因此本题答案为．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}17．（2019年哈尔滨T17）一个扇形的弧长为cm，半径为18 cm，则此扇形的圆心角 为 度．‎ ‎{答案}110‎ ‎{解析}本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键，根据l＝＝＝ 11π，解得：n＝110，因此本题答案为110．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:弧长的计算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}18．（2019年哈尔滨T18）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接 CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．‎ ‎{答案}10或60‎ ‎{解析}本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键，当△ACD 为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定 理可得结论，①如图1，当∠ADC＝90°时，‎ ‎∵∠B＝30°，‎ ‎∴∠BCD＝90°－30°＝60°；‎ ‎②如图2，当∠ACD＝90°时，‎ ‎∵∠A＝50°，∠B＝30°，‎ ‎∴∠ACB＝180°－30°－50°＝100°，‎ ‎∴∠BCD＝100°－90°＝10°，‎ 综上，则∠BCD的度数为60°或10°‎ 因此本题答案为10或60．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}‎ ‎{考点:三角形综合题}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:直角三角形两锐角互余}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}19．（2019年哈尔滨T19）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1 到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现点数相同的概率为 .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能 的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知 识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，‎ 所以列表得：‎ ‎（1，6）‎ ‎（2，6）‎ ‎（3，6）‎ ‎（4，6）‎ ‎（5，6）‎ ‎（6，6）‎ ‎（1，5）‎ ‎（2，5）‎ ‎（3，5）‎ ‎（4，5）‎ ‎（5，5）‎ ‎（6，5）‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ ‎（5，4）‎ ‎（6，4）‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎（6，3）‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎（6，2）‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎（6，1）‎ 由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，所以两枚骰子点数相同的概率为 ＝，因此本题答案为．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:两步事件放回}‎ ‎{考点:概率的意义}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}20．（2019年哈尔滨T20）如图，在四边形形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°， 点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6， 则BC的长为 .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关 键，连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO ＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得 DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长，‎ 如图，连接AC交BD于点O ‎∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，‎ ‎∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形 ‎∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4‎ ‎∵CE∥AB ‎∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°‎ ‎∴∠DAO＝∠ACE＝30°‎ ‎∴AE＝CE＝6‎ ‎∴DE＝AD﹣AE＝2‎ ‎∵∠CED＝∠ADB＝60°‎ ‎∴△EDF是等边三角形 ‎∴DE＝EF＝DF＝2‎ ‎∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2‎ ‎∴OC＝＝‎ ‎∴BC＝＝‎ 因此本题答案为．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{考点:等边三角形的判定}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 7 小题，合计60分．‎ ‎{题目}21．（2019年哈尔滨T21）先化简，再求代数式的值，其中 .‎ ‎{解析}本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，先根据分 式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得x的值，代入计算 可得．‎ ‎{答案}解：原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎∵x＝＝＝‎ ‎∵原式＝＝＝‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:二次根式的混合运算}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎{题目}22．（2019年哈尔滨T22）如图，图1和图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸 ‎ 中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.‎ ‎（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD 的面 积为8.‎ ‎{解析}本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方 法是解题的关键，（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点 即为点B；（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D．‎ ‎{答案}解： ‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:与垂直平分线有关的作图}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:等腰三角形常见基本图形}‎ ‎{题目}23．（2019年哈尔滨T23）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”‎ ‎ 为主题的读书活动.为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问 卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的 一种 (必选且只选一种).学校将收集到的调查结果适当整理后绘制成如图所示的不完整的统 计图. 请根据图中所给的信息回答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）请通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）如果海庆中学共有1500名学生， 请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名？‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；‎ ‎（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；‎ ‎（3）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．‎ ‎{答案}解： （1）18÷30%＝60（名），答：在这次调查中，共抽取了60名学生.‎ ‎（2）60－（18＋9＋12＋6）＝15,如右图 ‎（3）1500××100%＝225（人），答：估计该校最想读科技类书籍的学生约225人.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{题目}24．（2019年哈尔滨T24）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E,CF⊥BD于 点F.‎ ‎（1）如图1，求证：AE＝CF；‎ ‎（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写 出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．‎ ‎{解析}本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线 的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质， 证明三角形全等是解题的关键，（1）由AAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；（2）由 平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出BE＝AB，AE＝ AD，得出△ABE的面积＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，由全等三角形的性质得出△ CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG＝BE＝ ×AB＝AB，得出△BCE的面积＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩 形ABCD的面积．‎ ‎{答案}解：（1）∵四边形ABCD为矩形∴AB∥CD且AB＝CD∴∠ABE＝∠CDF∵AE⊥BD ∴∠AEB＝90°∵CE⊥BD∴∠CFD＝90°∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF．‎ ‎（2）△AFD，△ABE，△BEC，△FDC．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-18-2-1]矩形}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{考点:三角形的面积}‎ ‎{考点:与矩形菱形有关的综合题}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}25．（2019年哈尔滨T25）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供 棋类兴趣小组活动使用.若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国 象棋需用158元．‎ ‎（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元？‎ ‎（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多 可以购买多少副围棋？‎ ‎{解析}本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组 和不等式是解题的关键，（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：‎ ‎ ，求解即可；（2）设购买围棋每副m副，中国象棋（40－m）副，根据题意 得：16m＋10（40－m）≤550，即可求解．‎ ‎{答案}解：（1）设围棋每副x元 ，中国象棋每副y元．‎ 列方程组：，解得：．答：围棋每副16元，中国象棋每副10元．‎ ‎（2）设购买围棋每副m副，中国象棋（40－m）副．‎ 列不等式：16m＋10（40－m）≤550，解得：m≤25．答：最多购买围棋25副．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-9-2]一元一次不等式}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎{考点:解一元一次不等式}‎ ‎{考点:选择合适的方法解二元一次方程组}‎ ‎{考点:简单的列二元一次方程组应用题}‎ ‎{题目}26．（2019年哈尔滨T26）已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条 弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P.‎ ‎（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；‎ ‎（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证： MP＝AB；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点 R，连接RG，若HK:ME＝2:3，BC＝，求RG的长．‎ ‎{解析}本题考查了本题是有关圆的几何综合题，难度较大，综合性很强；主要考查了垂径定理，圆 周角与圆心角，同圆中圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形性质，全等三角形性质，勾 股定理及解直角三角形等．‎ ‎（1）利用“四边形内角和为360°”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；‎ ‎（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证AB＝MB，再根据“等角对等边”， 证明MP＝ME；‎ ‎（3）由全等三角形性质和垂径定理可将HK：ME＝2：3；可设设HK＝4m，ME＝6m，再构 造直角三角形利用BC＝，求出k的值；求得OP＝OR＝OG，得△PGR为直角三角形，应 用勾股定理求RG．‎ ‎{答案}（1）证明： ∵AB⊥OE，CH⊥MN∴∠ODB＝∠OKC＝90°‎ ‎∵∠KOD＋∠ODF＋∠DFK＋∠FKO＝360°‎ ‎∴∠KOD＋∠DFK＝180°∵∠DFK＋∠HFB＝180°‎ ‎∴∠EON＝∠HFB∵∠EON＝2∠EHN∴∠HFB＝2∠EHN．‎ ‎（2）证明：‎ 如图，连接OB，∵∠EON＝2∠EHN，∠EON＝4∠CHN∴∠EHN＝2∠CHN ‎∴∠EHC＝∠CHN，∵CH⊥MN∴∠HKP＝∠HKN＝90°∴∠PHK＋∠HPK＝90°，∠ NHK＋∠KNH＝90°∴∠HPK＝∠HNK，∵∠HPK＝∠MPE，∠HNM＝∠MEP∴∠MPE ＝∠MEP∴MP＝ME，∵OA⊥ME，OM＝OE∴∠MOA＝∠EOA，∵OE⊥AB，OA＝OB ∴∠AOE＝∠BOE∴∠MOE＝∠AOB∴ME＝AB∴MP＝AB．‎ ‎（3）解：‎ 如图3，连接AC，∵∠NOC＝2∠CHN，∠EOC＝2∠CHE∴∠NOC＝∠EOC ‎∵∠MOA＝∠EOA，∴∠AOE＋∠COE＝∠AOC＝90°∴∠AHC＝45°‎ ‎∵∠AHC＋∠ABC＝180°∴∠ABC＝135°，∵CH⊥MN∴∠OKC＝90°‎ ‎∴∠KCO＋∠KOC＝90°∴∠AOD＝∠KCO，∵∠ADO＝∠OKC＝90°，OA＝OC ‎∴△AOD≌△OCK∴OD＝CK，AD＝OK，∵HK∶ME＝2∶3∴设HK＝4m，ME＝6m ‎∴ME＝AB＝6m∵AD＝BD∴AD＝3m∴OA＝5m＝OC∴AC＝m 过点C作AB的垂线交AB的延长线于点T∵∠ABC＝135°∴∠CBT＝45°‎ ‎∵BC＝∴BT＝CT＝1，∵AC2＝AT2＋CT2∴＝＋‎ 解得m1＝（舍去）m2＝1∴OC＝5m＝5＝ON∴OK＝3m＝3∴KN＝KP＝5－3＝2‎ ‎∴OP＝1，∵∠COA＝∠OQM＝90°∴OC∥ME∴∠MEP＝∠OGP∴∠OGP＝∠OPG ‎∴OP＝OG＝1，∵∠AHC＝45°∴KR＝KH＝4，OK＝3∴OR＝1∴OR＝OG＝OP ‎∴∠ORG＝∠OGR，∴∠OGR＋∠OGP＝90°∴RG⊥GP，∵PK＝2，KH＝4，‎ ‎∵PH＝，RP＝2∴sin∠RPG＝＝sin∠HPK＝＝∴＝，‎ RG＝·RP∴RG＝．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:多边形的内角和}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:平行线的性质与判定}‎ ‎{考点:圆心角、弧、弦的关系}‎ ‎{考点:等角对等边}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{考点:正弦}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}27．（2019年哈尔滨T27）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称.‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ=AP，连接PQ，设点P的横坐标为t， △PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范 围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为 ，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴 的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝,求直线PM的解析式．‎ ‎{解析}本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、三角形全等以及三角函数是解题的关键．‎ ‎（1）由，求出A（－3，0），B（0，4），所以C(3，0)，设直线BC的解析式为 y＝kx+b，将B（0，4），C(3，0)代入，解得，，所以直线BC的解析式 y＝－x＋4；‎ ‎（2）连PQ交y轴于点K，过点P作PM⊥AC于点M，过Q作PN⊥y轴于点N，易证∆APM≌ ∆QBN，由NQ＝AM＝3＋t，得出P(t，t＋4)，Q(3＋t，－t），设设直线PQ的解析式， 求出＝＋＋4，K（0，＋＋4），最后用面积法＝＋，‎ ‎ 即可求出＝；‎ ‎（3）先求出R点坐标备用，作AH∥BC交BE延长线于H，易证∆APE≌∆AHE，∆AHF≌ ∆QBF，∆APF≌∆QMF，由tan∠RQM＝tan∠CBA＝，作RS⊥MQ于点S，作FL⊥y轴于 点L，作QJ⊥y轴于点J，设QS＝7a，则SR＝24a，SM＝23a，QR＝25a后可得到QM＝5＋t ＝7a＋23a，QR＝－t＋＝25a，解得：t＝－，a＝，故M（0，－）， P（－，）用待定系数法，易求得PM的解析式为：y＝－x－.‎ ‎{答案}解：（1）∵，∴A（－3，0），B（0，4），∵点C与点A关于y轴对称， ∴C(3，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），将B，C坐标代入得：，解 得∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.‎ ‎（2）如图，连PQ交y轴于点K，过点P作PM⊥AC于点M，过Q作PN⊥y轴于点N 易证∆APM≌∆QBN，∴NQ＝AM＝3＋t，∴P(t，t＋4)，Q(3＋t，－t）‎ ‎ 设直线PQ的解析式为y＝x＋（≠0）将P，Q坐标代入得：＝＋＋4‎ ‎ ∴K（0，＋＋4）‎ ‎ ＝＋＝(－－)＋(－－)＝.‎ ‎（3）∵点R的纵坐标为－∴R（，－）作AH∥BC交BE延长线于H，‎ 易证∆APE≌∆AHE，∆AHF≌∆QBF，H(t，－t－4)‎ F为BH中点得F（，－t）作PG⊥y轴于点G ‎∵PG＝－t，FL＝－∴F为PM中点，M（0，－4－t）易证∆APF≌∆QMF ‎∴QM＝AP＝BQ＝5＋t，tan∠RQM＝tan∠CBA＝‎ 作RS⊥MQ于点S，作FL⊥y轴于点L，作QJ⊥y轴于点J 设QS＝7a，则SR＝24a，SM＝23a，QR＝25a QM＝5＋t＝7a＋23a，QR＝－t＋＝25a 解得：t＝－，a＝，故M（0，－），P（－，）‎ 用待定系数法，易求得PM的解析式为：y＝－x－.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-28-2-2]非特殊角}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一次函数与几何图形综合}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:正切}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:三角形的面积}‎ ‎{考点:两点间的距离公式}‎