2020八年级数学上册第2章特殊三角形自我评价练习（新版）浙教版

2020八年级数学上册第2章特殊三角形自我评价练习（新版）浙教版

第2章自我评价 一、选择题(每小题3分，共30分)‎ ‎1．在下列标志中，属于轴对称图形的是(B)‎ ‎2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)‎ A． a＝1，b＝2，c＝3 B． a＝2，b＝3，c＝4‎ C． a＝2，b＝4，c＝5 D． a＝3，b＝4，c＝5‎ ‎3．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)‎ A．20° B．35°‎ C．40° D．70°‎ ‎ (第4题)‎ ‎　　 (第5题)‎ ‎5．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)‎ A． 2　　　　 B． C． 　　　　　 D． 2 13‎ ‎(第6题)‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的个数是(D)‎ ‎①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3．‎ A． 1 　B． ‎2 ‎ 　C． 3 　D． 4‎ ‎7．如图，将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为‎3 cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角尺的最大边长为(D)‎ A． ‎3 cm B． ‎‎6 cm C． cm D． cm ‎(第7题)‎ ‎　　(第7题解)‎ ‎【解】　如解图，过点C作CD⊥AD于点D，‎ 则CD＝‎3 cm．‎ 在Rt△ADC中，‎ ‎∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)．‎ ‎∵该三角尺是含45°角的三角尺，‎ ‎∴∠BAC＝90°，AB＝AC＝‎6 cm，‎ ‎∴BC＝＝＝(cm)．‎ ‎(第8题)‎ 13‎ ‎8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为(C)‎ A．22．5° B．30°‎ C．36° D．45°‎ ‎【解】　设∠B＝x．‎ ‎∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x．‎ ‎∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x．‎ ‎∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x．‎ ‎∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x．‎ 在△ABD中，∵∠B＝x，∠ADB＝∠BAD＝2x，‎ ‎∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠B＝36°．‎ ‎9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C)‎ A．20° 　B．25° 　C．30° 　D．45°‎ ‎ (第9题)‎ ‎　　(第9题解)‎ ‎【解】　如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，‎ 则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠ACB．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4．‎ ‎∴∠AME＝∠AEM＝60°．∴AM＝AE＝2．‎ ‎∴BM＝AB－AM＝2．‎ ‎∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．‎ 13‎ ‎∵EM∥BC，∴AD⊥EM．‎ ‎∴点E和点M关于AD对称．‎ 连结CM交AD于点F，连结EF，‎ 则此时EF＋CF的值最小．‎ ‎∵AC＝BC，AM＝BM，‎ ‎∴∠ECF＝∠ACB＝30°．‎ ‎10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE．其中正确的是(C)‎ A． ②　 B． ①②③‎ C． ①②④ D． ①②③④‎ 导学号：91354016‎ ‎(第10题)‎ ‎　　(第10题解)‎ ‎【解】　如解图，在EA上取点F，使EF＝BE，连结CF．‎ ‎∵CE⊥AB，EF＝BE，‎ ‎∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．‎ ‎∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠AFC．‎ ‎∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠FAC．‎ 在△ACD和△ACF中，∵ ‎∴△ACD≌△ACF(AAS)．‎ ‎∴AD＝AF，CD＝CF．∴CD＝CB，故①正确．‎ 13‎ AD＋AB＝AF＋(BE＋AE)＝AF＋EF＋AE＝AE＋AE＝2AE，故②正确．‎ 根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE，‎ 故③错误．‎ AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．‎ 综上所述，正确的是①②④．‎ 二、填空题(每小题3分，共30分)‎ ‎11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝__30°__．‎ ‎,(第11题))　　,(第12题))‎ ‎12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝‎10 cm，BC＝‎12 cm，则BC边上的高AD的长是__8__ cm．‎ ‎13．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E．若∠1＝50°，则∠2的度数为__40°__．‎ ‎,(第13题))　　,(第14题))‎ ‎14．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且它们相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，BC＝10，则△OEF的周长为__10__．‎ ‎【解】　∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，‎ ‎∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO．‎ ‎∵OE∥AB，OF∥AC，‎ ‎∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，‎ ‎∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠COF，‎ ‎∴BE＝OE，OF＝FC，‎ ‎∴△OEF的周长＝OE＋EF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10．‎ ‎(第15题)‎ ‎15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__52°__．‎ 13‎ ‎【解】　∵AC＝AD＝DB，‎ ‎∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C．‎ 设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝．‎ ‎∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°－．‎ ‎∵∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°，‎ ‎∴2α＋102°－＝180°，‎ 解得α＝52°，即∠ADC＝52°．‎ ‎16．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，垂足为D，且OD＝3，则△ABC的面积是____．‎ ‎, (第16题))　　, (第16题解))‎ ‎【解】　如解图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，连结OA．‎ 由角平分线的性质知OD＝OE＝OF，‎ ‎∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝(AB＋BC＋AC)·OD＝×21×3＝．‎ ‎17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是____．‎ ‎,(第17题))　　,(第17题解))‎ ‎【解】　过点A作AD⊥BC于点D，如解图．‎ ‎∵AB＝AC＝5，BC＝6，‎ ‎∴BD＝BC＝3，∴AD＝＝4．‎ 易得当BP⊥AC时，BP有最小值．‎ 13‎ 此时AD·BC＝BP·AC，‎ 得4×6＝5BP，∴BP＝．‎ ‎18．如图是两把完全一样的含30°角的三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两把三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是__5__．‎ ‎(第18题)‎ ‎　　(第18题解)‎ ‎【解】　如解图，连结C′C．‎ ‎∵M是AC，A′C′的中点，AC＝A′C′＝10，‎ ‎∴CM＝A′M＝C′M＝AC＝5，‎ ‎∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠CMC′＝60°．‎ ‎∴△MCC′为等边三角形．∴C′C＝CM＝5．‎ ‎(第19题)‎ ‎19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝____．‎ ‎【解】　易得第一个正方形的面积为1，‎ 第一个等腰直角三角形的面积为，‎ 13‎ 第二个正方形的面积为，‎ 第二个等腰直角三角形的面积为×，‎ ‎……‎ ‎∴第n个正方形的面积为×1＝，‎ 第n个等腰直角三角形的面积为×＝，‎ ‎∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝＋＝．‎ ‎(第20题)‎ ‎20．如图，正方形ABDE，正方形CDFI，正方形EFGH的面积分别为25，9，16，△AEH，△BDC，△GFI的面积分别为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝__18__．导学号：91354017‎ ‎【解】　过点A作AK⊥HE，交HE的延长线于点K．‎ 易得DE2＝25，DE2＝9，EF2＝16，‎ ‎∴DE2＝DF2＋EF2，‎ ‎∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°．‎ 易得∠AEK＋∠DEK＝∠DEK＋∠DEF＝90°，‎ ‎∴∠AEK＝∠DEF．‎ 又∵AE＝DE，∠K＝∠DFE＝90°，‎ ‎∴△AEK≌△DEF(AAS)，‎ ‎∴AK＝DF．‎ 又∵EH＝EF，‎ ‎∴S△AHE＝EH·AK＝EF·DF＝S△DEF．‎ 同理，S△BDC＝S△GFI＝S△DEF，‎ ‎∴S1＋S2＋S3＝3S△DEF．‎ 13‎ 易得DF＝3，EF＝4，‎ ‎∴S△DEF＝×3×4＝6，‎ ‎∴S1＋S2＋S3＝3×6＝18．‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎21．(6分)如图，AD＝BC，AC＝BD．求证：△EAB是等腰三角形．‎ ‎(第21题)‎ ‎【解】　在△ADB和△BCA中，‎ ‎∵ ‎∴△ADB≌△BCA(SSS)，‎ ‎∴∠DBA＝∠CAB，‎ ‎∴△EAB是等腰三角形．‎ ‎(第22题)‎ ‎22．(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？请说明理由．‎ ‎【解】　△DEF是等边三角形．理由如下：‎ ‎∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，‎ ‎∴∠AFD＝30°，‎ ‎∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°．‎ 同理，∠FDE＝∠DEF＝60°．‎ ‎∴△DEF是等边三角形．‎ 13‎ ‎(第23题)‎ ‎23．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由．‎ ‎【解】　EF⊥BC．理由如下：‎ 过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G．‎ ‎∵AB＝AC，AD⊥BC，‎ ‎∴∠BAC＝2∠CAD．‎ 又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，‎ ‎∴∠BAC＝2∠E，‎ ‎∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF．‎ 又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即EF⊥BC．‎ ‎24．(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF．‎ ‎(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．‎ ‎(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．‎ ‎(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长(直接写出结果)．‎ ‎(第24题)‎ ‎【解】　(1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，‎ ‎∴DF＝BF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF．‎ 13‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．‎ ‎∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF．‎ ‎∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，‎ ‎∴∠DFE＝2∠DBF．‎ 同理，∠CFE＝2∠CBF，‎ ‎∴∠DFE＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF⊥CF．‎ ‎(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：‎ 如解图①，延长DF交BC于点G．‎ ‎∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，‎ ‎∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．‎ ‎∵F为BE的中点，∴EF＝BF，‎ ‎∴△DEF≌△GBF(AAS)，‎ ‎∴DE＝GB，DF＝GF．‎ ‎∵AD＝DE，∴AD＝GB．‎ ‎∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC．‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．‎ ‎∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．‎ ‎(第24题解)‎ ‎(3)如解图②，延长DF交BA于点H．‎ ‎∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°．‎ 由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴AE∥BC，‎ ‎∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．‎ 13‎ ‎∵F是BE的中点，∴EF＝BF．‎ 又∵∠DFE＝∠HFB，‎ ‎∴△DEF≌△HBF(ASA)，∴ED＝BH．‎ ‎∵BC＝AC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝4．‎ ‎∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3．‎ ‎∵∠BAD＝90°，∴DH＝，‎ ‎∴DF＝，∴CF＝．‎ ‎25．(10分)问题探究：‎ ‎(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．‎ 深入探究：‎ ‎(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．‎ ‎(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．‎ ‎(第25题)‎ 导学号：91354018‎ ‎【解】　 (1)BD＝CE．理由如下：‎ ‎∵∠BAE＝∠CAD，‎ ‎∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，‎ 即∠EAC＝∠BAD．‎ 在△EAC和△BAD中，∵ ‎∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝CE．‎ ‎(2)如解图①，在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连结EC．‎ ‎∵∠ACD＝∠ADC＝45°，‎ ‎∴AC＝AD，∠CAD＝90°，‎ 13‎ ‎∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，‎ 即∠EAC＝∠BAD．‎ 在△EAC和△BAD中，∵ ‎∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．‎ ‎∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝．‎ 易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠CBE＝45°＋45°＝90°，‎ ‎∴EC＝＝＝，‎ ‎∴BD＝EC＝．‎ ‎(第25题解)‎ ‎(3)如解图②，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB，交BC的延长线于点E．‎ ‎∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°．‎ 又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，‎ ‎∴AE＝AB＝7，∴BE＝＝．‎ ‎∵∠ACD＝∠ADC＝45°，‎ ‎∴∠DAC＝90°＝∠BAE，‎ ‎∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，‎ 即∠EAC＝∠BAD．‎ 在△EAC和△BAD中，∵ ‎∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．‎ 又∵BC＝3，∴BD＝EC＝BE－BC＝－3．‎ 13‎