八年级下数学课件《多边形的内角和与外角和》课件_冀教版

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第二十二章 四边形 22.7 多边形的内角和 与外角和 1 u多边形 u多边形的内角和 u多边形的外角和 u多边形内角和与外角和的关系 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 小明有一个设想： 2018年世界杯在俄罗斯举行，要是能设计一个内 角和是2018°的多边形花坛该多有意义啊！小明的这 个想法能实现吗？ 1 多边形 如图，观察这些图形，它们都是平而上由线段首 尾顺次相接所组成的. 知1－导 平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相 接组成的图形，叫做多边形 . 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的 对角线.多边形有几条边就叫做几边形.三边形就是我 们通常所说的三角形. 下图所示的五边形，我们把它记作五边形ABCDE. 用类似的方法可以记其他多边形. 多边形的边、顶点、内角、外角 的意义和三角形相同. 知1－导 知1－讲 例1 下列说法中，正确的有(　　) (1)三角形是边数最少的多边形； (2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形； (3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角； (4)多边形分为凹多边形和凸多边形． A．1个　 　　B．2个　　　 C．3个　 　　D．4个 B 知1－讲 (2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同 一条直线上”的线段；其二，是“平面图形”； 其三，“线段首尾顺次相接”； (3)n边形有n个内角和2n个外角，即外角的个数是 内角个数的2倍． (1)(4)说法正确. 导引： (1)理解多边形的定义，要 从多边形的几个条件入手. (2)一个n边形，它的顶点数、内角的个数都是n个， 只有外 角有2n个． 知1－讲 知1－练 下列图形中，不是多边形的是(　　) 从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线， 它们将六边形分成n个三角形，则m、n的值分别 为(　　)　 A．4、3 B．3、3 C．3、4 D．4、4 1 C 2 C 知1－练 从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个 顶点和与它不相邻的各顶点，若把这个多边形分 割成6个三角形，则n的值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 3 C 2 多边形的内角和 知2－导 在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角， 把它们拼在起(四个角的顶点里合).你发现了什么？ 其他同学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括 成 一个命题吗？你能证明这个命题吗？ 知2－导 四边形有以下的定理： 四边形的内角和等于360°. 已知：四边形ABCD. 求证： ∠A+∠B+∠C+∠D=360°. 证明 如图，连接BD. ∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°， ∠C+∠CBD+∠CDB=180°. ∴∠A+∠ABD+∠ADB+ ∠C+∠CBD+∠CDB =180°+180°=360°， 即∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°. 边数 图形 从某顶点出发 的对角线条数 划分成的三 角形个数 多边形的 内角和 3 0 1 1×180° 4 1 2 2×180° 5 6 … … … … … n 知2－导 对于n边形，从某一个顶点出发的(n-3)条对角线 把n边形划分成 (n-2)个三角形，所以n边形的内角和 就等于这(n-2)个三角形的所有内角之和.于是就有下 面的定理： n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3). 知2－导 例2 一个六边形如图1.已知AB∥DE，BC∥EF， CD∥AF.求∠A+∠C+∠E的值. 因为两条平行线被一条直线所 截.有许多等角关系，所以我们 不妨连结AD试试看，如图2.不 难发现，∠1=∠3，∠2=∠4.由 此可得本题解法. 分析： 图1 图2 知2－讲 如图2，连结AD. ∵AB∥DE，CD∥AF(已知)， ∴∠1=∠3，∠2=∠4. ∴∠1+∠2=∠3+∠4.即∠FAB=∠CDE. 同理，∠B=∠E，∠C=∠F. ∵∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =(6-2)×180°=720°. ∴∠FAB+∠C+∠E= ×720°=360°. 解： 图2 知2－讲 知2－讲 把多边形的内角和的问题转化为四边形内角和、 三角形内角和问题是常用的解题思路. 1 在540°，720°，960°中，哪个角度不可能是多 边形的内角和？ 2 在四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°， 那么∠B的度数是多少？ 知2－练 （来自教材） 解： 960°不可能是多边形的内角和． 解： ∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D) ＝360°－280°＝80°. 3 一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等 于n°.求n的值. 4 过某个多边形一个顶点的对角线有10条.求这个多 边形的内角和. 知2－练 （来自教材） 解：由题意可知90°×3＋2n°＝(5－2)×180°. 解得n＝135. 解：设这个多边形的边数为n，则n－3＝10， ∴n＝13.∴内角和为(13－2)×180°＝1 980°. 知2－练 （来自教材） 5 四边形的四个内角可以都是锐角吗，可以都是钝 角吗？为什么？ 解：不可以．四边形的内角和是360°，如果四边 形的四个内角都是锐角，那么它的内角和小于 360°；如果都是钝角，那么它的内角和大于 360°. 知2－讲 例3 [中考·重庆]若一个多边形的内角和是900°，则 这个多边形是(　　) A．五边形　　　B．六边形 C．七边形 D．八边形 设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)× 180°＝900°，解得：n＝7. 导引： C 知2－讲 已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边 形内角和公式：(n－2)×180°＝内角和列方程，解 方程求出n的值，即得多边形的边数． 1 一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形的 边数是多少？ 知2－练 （来自教材） 解：设这个多边形的边数为n. 则(n－2)×180°＝1 080°. 解得n＝8. ∴这个多边形的边数为8. 解： ∠D＝ ×360°＝144°. 2 在四边形ABCD中，已知∠A:∠B:∠C:∠D= 1:2:3:4.求∠D的度数. 4 1 2 3 4   知2－练 【中考·北京】内角和为540°的多边形是(　　)3 C 知2－练 【中考·宜昌】如图，将一张四边形纸片沿直线 剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等， 下列四种剪法中，符合要求的是(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 4 B 知2－练 【中考·益阳】将一矩形纸片沿一条直线剪成两 个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不 可能是(　　) A．360° B．540° C．720° D．900° 5 D 知2－练 将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将(　　) A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360° 一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1 510°，则这个多边形对角线的条数是(　　) A．27 B．35 C．44 D．54 6 C 7 C 知2－练 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形 的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是(　 　) A．10　　　 B．11　　　 C．12　　 D．以上都有可能 8 D 3 多边形的外角和 知3－导 由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以n 边形的外角和(每一个顶点只取一个外角)为 n×180°-(n-2)×180°= 360°. 任何多边形的外角和为360°. 知3－讲 定理：多边形的外角和等于360°. 要点精析 (1)多边形的外角和与多边形的边数无关，它始终 为360°； (2)若n边形的每个内角相等，则每一个外角的度数 为 (n≥3)． 360 n  知3－讲 例4 已知一个多边形的每个外角都等于40°，则这个 多边形是(　　) A．五边形　　　　　B．九边形　　　　　 C．七边形　　　　　D．八边形 根据多边形外角和等于360°，直接可求出多边 形的边数. 导引： B 知3－讲 用多边形外角和定理求多边形内(外)角的度数或 求多边形的边数的方法：一般可利用方程思想通过 列方程解决，本例根据边数× 多边形每个外角的度 数＝360°，即可求出． 1 如图所示的模板，规定：AB，CD的延长线应相 交成80°的角.因交点不在板上，不便测量，工人 师傅测得∠BAE=122°，∠OCF=155°.此时AB， CD的延长线相交所成的角是否符合规定?为什么? 知3－练 （来自教材） 不符合规定．理由：因为五边形 AEFCG的内角和为(5－2)×180° ＝540°.所以∠AGC＝540°－(∠E ＋∠F＋∠BAE＋∠DCF)＝540° －457°＝83°≠80°.所以不符合规定． 解： 知3－练 五边形的外角和等于(　　) A．180° B．360° C．540° D．720° 【中考·十堰】如图所示，小华从点A出发，沿 直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米， 又向左转24°……照这样走下去，他第一次回 到出发地点A时，一共走的路程是(　　) A．140米 B．150米 C．160米 D．240米 2 B 3 B 知3－练 【中考·宜昌】设四边形的内角和等于a，五边形 的外角和等于b，则a与b的关系是(　　) A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．b＝a＋180° 4 B 4 多边形内角和与外角和的关系 知4－讲 例5 [中考·资阳]一个多边形的内角和是外角和的3倍， 则这个多边形的边数是________． 设这个多边形的边数为n， ∵多边形的外角和为360°， ∴(n－2)×180°＝3×360°. 解得：n＝8. 导引： 8 知4－讲 因为多边形的外角和是定值，所以有些多边形 的问题经常转化为外角的问题来解决. 多边形的内角 和、外角和在应用时注意区分，不要混了. 1 内角和等于外角和的2倍的多边形是几边形？ 2 一个n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7. 求n的值. 知4－练 （来自教材） 解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)·180°＝ 2×360°.解得n＝6.所以这个多边形是六边形． 解：由题意可知 ， 所以n＝9. 360 2= ( 2) 180 7n    3 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平 分∠ABC，DF平分∠ADC. BE与DF有怎样的位置 关系？为什么？ 知4－练 （来自教材） 知4－练 （来自教材） 解：BE∥DF.理由：∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ADC＋∠ABC＝360°－(∠A＋∠C)＝180°. ∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC， ∴∠ABE＝ ∠ABC，∠ADF＝ ∠ADC. ∴∠ABE＋∠ADF＝ ∠ABC＋ ∠ADC ＝ ×180°＝90°. 又易知∠ABE＋∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠ADF.∴BE∥DF. 1 2 1 2 1 2 1 21 2 知4－练 【中考·南通】已知一个多边形的内角和等于它 的外角和，则这个多边形的边数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【中考·临沂】一个多边形的内角和是外角和的2 倍，这个多边形是(　　) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 4 B 5 C 知4－练 【中考·莱芜】一个多边形的内角和比其外角 和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条 数是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 6 C 定义：平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形。 n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3). n边形一个顶点出发可引(n-3)条对角线. 则n个顶点的n边形共有 条对角线. 多边形的外角和等于360°. 1 ( 3) 2 n n- 已知多边形的一个外角与除该外角对应的内角外的其 余各内角的和为600°，求该外角的度数． 2 易错小结 解：设多边形的边数为n，这个外角的度数为x°， 则与这个外角相邻的内角为(180－x)°. 由题意，得(n－2)×180＋x－(180－x)＝600， 解得x＝570－90n. ∵0

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