2020-2021学年初二数学上册单元真题训练：整式的乘除

2020-2021学年初二数学上册单元真题训练：整式的乘除

图 1 图 2 2020-2021 学年初二数学上册单元真题训练：整式的乘除 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.以下每小题都给出了 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、下列运算中，正确的是（ D ） A、 1243 aaa =• B、 ( ) 532 aa = C、 ( ) 333 62 baab = D、 22 1 1 =     − 2、下列运算正确的是（ B ） A、 632 aaa =• B、 ( ) 44 aa =− C、 ( ) 422 22 aa = D、 ( ) 532 aa = 3、已知 23 2793 =•− xx ，则 x 的值是（ B ） A、2 B、3 C、4 D、5 4、若 53 =a ， 23 =b ，则 ba 323 − 等于（ A ） A、 8 25 B、 25 8 C、17 D、 3 5 5、某同学在计算 23 x− 乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是 12 +− xx ，由此 可以推断该多项式是（ A ） A、 14 2 +− xx B、 12 +− xx C、 12 2 +−− xx D、无法确定 6、将大小不同的两个正方形按图 1，图 2 的方式摆放。若图 1 中阴影部分的面积是 20，图 2 中阴影部分的面积是 14，则大正方形的边长是（ B ） A、6 B、7 C、8 D、9 7、若 ( )( ) 63 2 −+=−+ mxxnxx ，则（ A ） A、 21 == nm ， B、 21 −== nm ， C、 21 −=−= nm ， D、 21 =−= nm ， 8、已知 3=+ ba ， 2=ab ，则 22 ba + 的值等于（ C ） A、11 B、9 C、5 D、13 9、下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（ B ） A、( )( )nmnm +− B、( )( )yxyx +−− C、( )( )xyyx 22 −+ D、( )( )cbacba +−−+ 10、下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ C ） A、 ( )( ) xxxxx 422442 +−+=+− B、( )( ) 3213 2 −+=−+ xxxx E 第 11 题图 B C D A 13 第 12 题图 9 3 C、 ( )662 −=− xxxx D、 baab 326 •= 11、如图，大正方形与小正方形的面积之差是 60，则阴影部分的面积是（ A ） A、30 B、20 C、60 D、40 12、如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等。如 果 13、9、3 对面的数分别为 a、b、c，则 bcacabcba −−−++ 222 的值等于（ B ） A、48 B、76 C、96 D、152 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 13、若 02 =−+ ba ，则代数式 bba 422 +− 的值等于 ； 【答案】4 【分析】先计算 ba + 的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将 ba + 的值代 入化简计算，再代入计算即可求解。 【解答】解：∵ ∴ 2=+ ba ∴ ( )( ) ( ) 42222422424422 =+=+=+−=+−=+−+=+− bababbabbabbababba 故答案为 4 【点评】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键。 14、已知 23 =m ， 53 =n ，则 nm+23 的值是 ； 【答案】20 【分析】首先根据 ，求出 m23 的值是多少；然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求 出 32m+n 的值是多少即可。 【解答】解：∵ ， ∴ ( ) 4233 222 === mm ∴ 2054333 22 ==•=+ nmnm 故答案为：20 【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌 握，解答此题的关键是要明确：① ( ) mnnm aa = （m，n 是正整数）；②( ) nnn baab = （n 是正整数）。 15、 ( ) ( ) 2020202018 22 =−+− aa ，则 =− 2019a ； 【答案】±3 【分析】将（ 2018−a ）、（ a−2020 ）分别转化为含有（ 2019−a ）的形式，然后利用完全 平方公式解答。 【解答】解：∵ ( ) ( ) ( )  ( ) 22222 120191201920202018 −−++−=−+− aaaa ( ) 220192 2 +−= a 20= ∴ ( ) 92019 2 =−a ∴ 32 0 1 9 =−a 故答案是：±3 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并能够灵活应用是解决此题的关键。 16、已知： ( ) 122 =+ yx ， ( ) 42 =− yx ，则 22 3 yxyx ++ 的值为 . 【答案】14 【分析】利用完全平方公式得到 122 22 =++ yxyx ， 42 22 =+− yxyx ，再把两个等式相加 和相减可得到 822 =+ yx ， 2=xy ，然后利用整体代入的方法计算。 【解答】解：∵ ， ∴ 122 22 =++ yxyx ①， 42 22 =+− yxyx ② ①+②得 1622 22 =+ yx ∴ 822 =+ yx ①﹣②得 84 =xy ∴ 2=xy ∴ 142383 22 =+=++ yxyx 故答案为 14 【点评】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类命题的关键。 三、解答题（本大题 6 个小题，共 56 分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分 8 分）分解因式： （1）( ) 222 yyx −+ ； （2） ( ) ( )22 141 mmm −−− 【答案】（1）( )( )yxyx ++ 3 ；（ 2）( )( )221 −− mm 【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用完全平 方公式分解即可。 【解答】解：（1）原式 ( )( ) ( )( )yxyxyyxyyx ++=−+++= 322 （2）原式 ( ) ( ) ( ) ( )  ( )( ) ( )( )22222 21441141141 −−=+−−=−−−=−−−= mmmmmmmmmmm 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键。 18、（本小题满分 10 分）化简求值： （1）先化简，再求值： ( ) ( )( )  xyxyxyx 22 −+++ ，其中 1=x ， 1−=y 【答案】0 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求 出即可。 【解答】解原式   ( ) yxxxyxxyxyxyx +=+=−+++= 22222 22222 当 1=x ， 1−=y 时，原式 0= 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题 的关键。 （2）已知 03102 2 =−− aa ，求代数式 ( ) ( )( )1313125 −+−− aaaa 的值。 【答案】 2 5 【分析】原式利用单项式乘以多项式以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已 知等式变形代入计算即可求出值。 【解答】解：由 得： 3102 2 =− aa 即 2 352 =− aa ∴原式 ( ) 2 512 3151951019510 22222 =+=+−=+−−=−−−= aaaaaaaa 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键。 19、（本小题满分 10 分） 阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即 换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行 因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”。 下面是小涵同学用换元法对多项式 ( )( ) 251393 22 +++−+ xxxx 进行因式分解的过程。 解：设 yxx =+ 32 原式 ( )( ) 2519 ++−= yy （第一步） 1682 +−= yy （第二步） ( ) 24−= y （第三步） ( )22 43 −+= xx （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ； A、提取公因式法 B、平方差公式法 C、完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ； （3）请你用换元法对多项式 ( )( ) 4169369 22 +−−+− xxxx 进行因式分解。 【答案】（1）C；（ 2）( ) ( )22 41 +− xx ；（ 3） ( )413 −x 【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到 不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式。 【解答】解：（1）由 1682 +− yy 可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法 故选：C； b a 图 ① b a 图 ② （2） ( )( ) 251393 22 +++−+ xxxx 解：设 yxx =+ 32 原式 ( )( ) 2519 ++−= yy 1682 +−= yy ( ) 24−= y ( )22 43 −+= xx ( ) ( )22 41 +−= xx 故答案为： ( ) ( )22 41 +− xx ； （3） ( )( ) 4169369 22 +−−+− xxxx 设 yxx =− 69 2 原式 ( )( ) ( ) ( ) ( )42222 13169112413 −=+−=+=++=+−+= xxxyyyyy 【点评】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法 分解因式是解题的关键。 20、（本小题满分 8 分） 如图①是由边长为 a 的大正方形纸片剪去一个边长为 b 的小正方形后余下的图形。我们把纸 片剪开后，拼成一个长方形（如图②）。 （1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 ； ① ( )baaaba +=+2 ② ( )222 2 bababa −=+− ③ ( )( )bababa −+=− 22 （2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知 1294 22 =− yx ， 432 =+ yx ，求 yx 32 − 的值； ②计算      −     −     −     −     − 22222 100 11 5 11 4 11 3 11 2 11  【分析】（1）根据图①的面积等于图②的面积列出等式便可；（2）①运用前面得到的平方差 公式进行解答便可；②运用平方差公式解答便可。 【解答】解：（1）图①的面积可表示为 22 ba − ，图②的面积可表示为( )( )baba −+ ， ∵图①的面积＝图②的面积 ∴上述操作能验证的等式是： ( )( )bababa −+=− 22 故答案为③； （2）①∵ 1294 22 =− yx ∴ ( )( ) 123232 =−+ yxyx ∵ 432 =+ yx ∴ 341232 ==− yx ②      −     −     −     −     − 22222 100 11 5 11 4 11 3 11 2 11       +     −     +     −     +     −     +     −     +     −= 100 11100 115 115 114 114 113 113 112 112 11  100 101 2 1 = 2 0 0 1 0 1= 【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景图，因式分解的应用，关键是熟练地应用平 方差公式解题。 21、（本小题满分 8 分） 已知关于 x、y 的方程组    −=− −=+ 12 52 kyx kyx （1）求代数式 yx +2 的值； （2）若 3x ， 2−y ，求 k 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若满足 1=yx ，则符合条件的 k 的值为 . 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求出答案；（2）根据不等式的解法即可求出答 案。（3）令 1=x 或﹣1，求出相应的 k 值和 y 的值，代入原式判断即可求出答案。 【解答】解：（1）∵ ∴①+②得： 633 −= kx ∴ 2−= kx 将 2−= kx 代入②得： 1−−= ky ∴ 312 −=−−−=+ kkyx ∴ 8 122 3 == −+ yx （2）由（1）可知：    −−− − 21 32 k k 解得： 51  k （3）由于 ， ， 当 时，此时 3=k ， 4−=y ，满足 当 1−=x 时，此时 1=k ， 2−=y ，满足 图 1 b a b a b a b b b c a b c a b c a b 图 2 所以 3=k 或 1 故答案为：3 或 1 【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及一元 一次不等式组的解法，本题属于中等题型。 22、（本小题满分 12 分） 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式。 （1）对于等式 ( )( ) 22 232 babababa ++=++ ，可以由图 1 进行解释：这个大长方形的长 为 ，宽为 ，用长乘以宽可求得其面积、同时，大长方形的面积也等于 3 个长方形 和 3 个正方形的面积之和。 （2）如图 2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？ 方法 1： ； 方法 2： ； 数学等式： ； （3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知 8=++ cba ， 26222 =++ cba ， 求 acbcab ++ 的值。 【分析】（1）根据图形直接得出长为（ ba 2+ ），宽为（ ba + ）；（ 2）整体上是一个边长为 （ cba ++ ）的正方形，各个部分的面积和为 acbcabcba 222222 +++++ ，可得等式；（3）将 ( ) acbcabcbacba 2222222 +++++=++ ，变形为( ) acbcabcbacba 2222222 ++=−−−++ ， 再整体代入求值即可。 【解答】解：（1）由图形直观得出，长为：（ ），宽为（ ）， 故答案为：（ ），（ ）； （2）从总体看是边长为（ ）的正方形，其面积为 ( ) 2cba ++ 各个部分的面积和为 因此有： 故答案为：( )2cba ++ ， ， （3）由 得 ( ) acbcabcbacba 2222222 ++=−−−++ ∵ 8=++ cba ， 26222 =++ cba ∴ 382664222 =−=++ acbcab ∴ 19=++ acbcab 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则， 掌握公式特征和适当变形是正确应用的前提。