重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）12

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12.2 三角 全等 形的判定 第十二章 全等三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 4 课时 “斜边、直角边” 八年级数学上（RJ） 情境引入 学习目标 1 ． 探索并理解直角三角形全等的判定方法“ HL ” ．（难点） 2 ． 会用 直角三角形全等的判定方法 “ HL ” 判定两个直角三角形全等．（重点） SSS SAS ASA AAS 旧知回顾 : 我们学过的判定三角形全等的方法 导入新课 如图 ， Rt△ ABC 中 ，∠ C =90° ， 直角边是 _____ 、 _____ ， 斜边是 ______. C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法 , 对直角三角形是否适用？ A B C A′ B′ C′ 1. 两个直角三角形中， 斜边 和 一个锐角 对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2. 两个直角三角形中，有 一条直角边 和 一锐角 对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中， 两直角边 对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 口答 ： 动脑想一想 如图，已知 AC=DF ， BC=EF ， ∠ B= ∠ E ，△ ABC ≌ △ DEF 吗？ 我们知道，证明三角形全等不存 在 SSA 定理 . A B C D E F 问题： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠ B= ∠ E=90° ， 且 AC=DF ， BC=EF ，现在能 判定△ ABC ≌ △ DEF 吗？ A B C D E F 直角三角形全等的判定（ “ 斜边、直角边 ” 定理） 一 讲授新课 任意画出一个 Rt△ ABC , 使 ∠ C =90° . 再画一个 Rt△ A ′ B ′ C ′ ， 使 ∠ C ′=90 °, B ′ C ′= BC , A ′ B ′= AB , 把画好的 Rt△ A ′ B ′ C ′ 剪下来，放到 Rt△ ABC 上，它们能重合吗？ A B C 作图探究 画图方法视频 画图思路 （ 1 ）先画∠ M C′ N=90° A B C M C′ N 画图思路 （ 2 ）在射线 C′M 上截取 B′C′=BC M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 （ 3 ）以点 B′ 为圆心， AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′ M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 （ 4 ）连接 A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考： 通过上面的探究，你能得出什么结论？ 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成 “斜边、直角边”或“ HL ” ） . 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在 Rt△ ABC 和 Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “ SSA ”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角 . AB=A′B′ , BC=B′C′ , 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“ ×” ，全等的注明理由： （ 1 ）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （ 2 ）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （ 3 ）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （ 4 ）两直角边对应相等； （ ） （ 5 ）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL × SAS AAS AAS 判一判 典例精析 例 1 如图， AC ⊥ BC ， BD ⊥ AD ， AC ﹦ BD ， 求证： BC ﹦ AD . 证明： ∵ AC ⊥ BC ， BD ⊥ AD ， ∴∠ C 与 ∠ D 都是直角 . AB = BA , AC = BD . 在 Rt△ ABC 和 Rt△ BAD 中， ∴ Rt△ ABC ≌ Rt△ BAD (HL). ∴ BC ﹦ AD . A B D C 应用 “ HL” 的前提条件是在直角三角形中 . 这是应用“ HL ” 判定方法的书写格式 . 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 . 变式 1 ： 如图， ∠ ACB =∠ ADB =90 ， 要证明△ ABC ≌ △BAD ，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由 . （ 1 ） （ ） （ 2 ） （ ） （ 3 ） （ ） （ 4 ） （ ） A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 如图， AC 、 BD 相交于点 P,AC⊥BC ， BD⊥AD ，垂足分 别为 C 、 D,AD=BC. 求证： AC=BD. 变式 2 HL AC=BD Rt△ ABD ≌ Rt△ BAC 如图： AB⊥AD ， CD⊥BC ， AB=CD, 判断 AD 和 BC 的位置 关系 . 变式 3 HL ∠ ADB= ∠ CBD Rt△ ABD ≌ Rt△ CDB AD ∥ BC 例 2 如图， 已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC ≌ Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD ≌ Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 方法总结： 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例 3 ： 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B 和 ∠F 的大小有什么关系？ 解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中 , BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF ( 全等三角形对应角相等 ). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. D A 当堂练习 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 2. 如图，在 △ABC 中， AD⊥BC 于点 D ， CE⊥AB 于点 E ， AD 、 CE 交于点 H ，已知 EH ＝ EB ＝ 3 ， AE ＝ 4 ， 则 CH 的长为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4. 如图，在 △ ABC 中，已知 BD ⊥ AC ， CE ⊥ AB ， BD = CE . 求证：△ EBC ≌ △ DCB . A B C E D 证明： ∵ BD ⊥ AC ， CE ⊥ AB ， ∴∠ BEC = ∠ BDC =90 ° . 在 Rt△ EBC 和 Rt△ DCB 中， CE=BD , BC=CB . ∴ Rt△ EBC ≌ Rt△ DCB (HL). 3. 如图，△ ABC 中， AB=AC ， AD 是高，则△ ADB 与△ ADC （填 “ 全等”或“不全等”），根据 （用简写法） . 全等 HL A F C E D B 5. 如图， AB=CD, BF ⊥A C,DE ⊥ AC,AE=CF. 求证： BF=DE . 证明 : ∵ BF ⊥ AC , DE ⊥ AC , ∴∠ BFA = ∠ DEC =90 °. ∵ AE=CF ， ∴ AE+EF=CF+EF . 即 AF=CE . 在 Rt△ ABF 和 Rt△ CDE 中 ， AB=CD , AF=CE . ∴ Rt△ ABF ≌ Rt△ CDE (HL). ∴ BF=DE . 如图， AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF . 求证： BD 平分 EF . A F C E D B G 变式训练 1 AB=CD , AF=CE . Rt△ ABF ≌ Rt△ CDE (HL). BF=DE Rt△ GBF ≌ Rt△ GDE (AAS). ∠ BFG = ∠ DEG ∠ BGF = ∠ DGE FG=EG BD 平分 EF 如图， AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF . 想想： BD 平分 EF 吗 ? 变式训练 2 C AB=CD , AF=CE . Rt△ ABF ≌ Rt△ CDE (HL). BF=DE Rt△ GBF ≌ Rt△ GDE (AAS). ∠ BFG = ∠ DEG ∠ BGF = ∠ DGE FG=EG BD 平分 EF 6 . 如图，有一直角三角形 ABC ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 10cm ， BC ＝ 5cm ，一条线段 PQ ＝ AB ， P 、 Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ ABC 才能和 △ APQ 全等？ 【分析】 本题要分情况讨论： (1)Rt△ APQ ≌Rt△ CBA ，此时 AP ＝ BC ＝ 5cm ，可据此求出 P 点的位置． (2)Rt△ QAP ≌Rt△ BCA ，此时 AP ＝ AC ， P 、 C 重合． 解： (1) 当 P 运动到 AP ＝ BC 时， ∵∠ C ＝ ∠ QAP ＝ 90°. 在 Rt△ ABC 与 Rt△ QPA 中， ∵PQ ＝ AB ， AP ＝ BC ， ∴Rt△ ABC ≌ Rt△ QPA (HL) ， ∴ AP ＝ BC ＝ 5cm ； 能力拓展 (2) 当 P 运动到与 C 点重合时， AP ＝ AC . 在 Rt△ ABC 与 Rt△ QPA 中， ∵PQ ＝ AB ， AP ＝ AC ， ∴Rt△ QAP ≌ Rt△ BCA (HL) ， ∴ AP ＝ AC ＝ 10cm ， ∴ 当 AP ＝ 5cm 或 10cm 时， △ ABC 才能和 △ APQ 全等． 【方法总结】 判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 课堂小结 “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 . 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）