八年级数学上册第五章二元一次方程组5-5里程碑上的数同步练习 北师大版

八年级数学上册第五章二元一次方程组5-5里程碑上的数同步练习 北师大版

1 《5.5 里程碑上的数》 一．选择题 1．若甲数的 比乙数的 4 倍多 1，设甲数为 x，乙数为 y，列出的二元一次方程应是（ ） A． x﹣4y=1 B．4y﹣ =1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣ y=1 2．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的 3 倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为 （ ） A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2 3．一个两位数，数字之和为 11，若原数加 45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原 数十位数字为 x，个位数字为 y，根据题意列出方程组为（ ） A． B． C． D．以上各式均不对 4．（2016 春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果让 乙先跑 2 秒，那么甲跑 4 秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑 x 米，y 米，下列方程组正确的是 （ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．一个数除以 a 的商是 5，余数是 1，则这个数为 ． 6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为 5，这样的两位数有 个． 7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行 500km，逆风飞行，每小时飞行 460km，假设飞机本身的速度是 xkm/h，风速是 ykm/h，依题意列出二元一次方程组 ． 三、解答题 2 8．有一个两位数，个位数比十位数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和 是 143．求这个两位数． 9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上 坡每小时行 3km，下坡每小时行 5km，他到姥姥家需要行 66 分钟，从姥姥家回来时需要行 78 分钟才 能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？ 10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和为 888；而小亮在另一个 加数后面多写了一个 0，得到和为 861，求原来两个加数分别是多少？ 11．某山区有 23 名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用 a 元，资助一名小 学生需要学习费用 b 元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中 学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 （1）求 a、b 的值； （2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小 学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边 300 米，若甲、乙两人同时向东走 30 分钟后， 甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2 分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？ 13．某铁路桥长 1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 1min， 整列火车完全在桥上的时间共 40s．求火车的速度和长度． 14．两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流航行了 14 小时，逆流航行了 20 小时，求这艘轮 船在静水中的速度和水的流速？ 三、能力提升 3 15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果甲让乙先跑 2 秒，那 么甲跑 4 秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑 x、y 米，列出的方程组为 ． 16．一个两位数，减去它的各位数之和的 3 倍，结果是 23，这个两位数除以它的各位数数之和，商 是 5，余数是 1．这两位数是多少？ 17．甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行．如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小 时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多 少千米？ 18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以 50 千米/小时的速度行驶，会迟到 24 分钟； 如果以 75 千米/小时的速度行驶，可提前 24 分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？ 19．甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时相向而行，经过 3 小时后相距 3 千米，再经过 2 小时，甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，求甲、乙两人的速度． 20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔 2 分两人相遇一次，同向而行，每 隔 6 分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？ 21．第一工程队承包甲工程，晴天需要 12 天完成，雨天工作效率下降 40%，第二工程队承包乙工程， 晴天需要 15 天完成，雨天工作效率下降 10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各 工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？ 四、聚沙成塔 22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得 3 分，平局时两队各记 1 分， 败队记 0 分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还 要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？ 4 《5.5 里程碑上的数》 参考答案与试题解析 一．选择题 1．若甲数的 比乙数的 4 倍多 1，设甲数为 x，乙数为 y，列出的二元一次方程应是（ ） A． x﹣4y=1 B．4y﹣ =1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣ y=1 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程． 【分析】由题意可得等量关系：甲数× ﹣乙数×4 倍=1． 【解答】解：根据甲数的 比乙数的 4 倍多 1，则 x﹣4y=1． 故选 A． 【点评】此题较容易，注意代数式的正确书写． 2．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的 3 倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为 （ ） A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】行程问题． 【分析】本题依据的等量关系是：逆流速度+水流速度=顺水速度﹣水流速度． 【解答】解：设船的逆水速度为 a，水流速度为 x，则顺水速度为 3a，那么： a+x=3a﹣x 解得：x=a 静水速度=顺水速度﹣水流速度， 所以静水速度为：3a﹣a=2a 所以船的静水速度与水流速度之比为 2：1． 故选 B． 【点评】本题中虽然有多个未知数，但其间都有一定的联系，做题的时候应把握其间的联系，善于 利用转化思想，把多个未知数转化成两个或一个，进而求解． 5 3．一个两位数，数字之和为 11，若原数加 45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原 数十位数字为 x，个位数字为 y，根据题意列出方程组为（ ） A． B． C． D．以上各式均不对 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】关键描述语是：数字之和为 11；原数加 45，等于此两位数字交换位置． 等量关系：个位数字+十位数字=11；十位数字×10+个位数字+45=个位数字×10+十位数字． 根据这两个等量关系，可列方程组． 【解答】解：设原数十位数字为 x，个位数字为 y． 根据题意列出方程组为 ． 故选 C． 【点评】本题需注意两位数的表示方法为：十位数字×10+个位数字． 4．（2016 春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果让 乙先跑 2 秒，那么甲跑 4 秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑 x 米，y 米，下列方程组正确的是 （ ） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】本题的等量关系：（1）乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；（2）如果让乙先跑 2 秒，那么 甲跑 4 秒就追上乙，可以列出方程组． 【解答】解：设甲、乙每秒分别跑 x 米，y 米， 由题意知： ． 故选：C． 6 【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系， 列出方程组． 二、填空题 5．一个数除以 a 的商是 5，余数是 1，则这个数为 ． 【考点】列代数式． 【分析】本题的等量关系为：被除数=商×除数+余数． 【解答】解：∵被除数=商×除数+余数， ∴这个数为 5a+1． 【点评】求这个数实际是求被除数，被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键． 6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为 5，这样的两位数有 个． 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设十位数字为 x，个位数字为 y，由十位数字与个位数字之和为 5 建立方程求出其解即可． 【解答】解：设十位数字为 x，个位数字为 y，由题意，得 ， 由①，得 y=5﹣x， ∴5﹣x≥0， ∴x≤5． ∴0＜x≤5． ∵x 为整数， ∴x=1，2，3，4，5． ∴ ． ∴这样的两位数为：14，23，32，41，50． ∴这样的两位数共有 5 个． 故答案为：5． 7 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次不定方程的解法的运用，不等 式的解法的运用，解答时运用不定方程的解法求解是关键． 7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行 500km，逆风飞行，每小时飞行 460km，假设飞机本身的速度是 xkm/h，风速是 ykm/h，依题意列出二元一次方程组 ． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】首先注意公式：顺风速度=本身的速度+风速，逆风的速度=本身的速度﹣风速． 然后根据此题中的等量关系：①顺风飞行，每小时飞行 500km；②逆风飞行，每小时飞行 460km．列 方程组即可． 【解答】解：根据顺风飞行，每小时飞行 500km，得方程 x+y=500； 根据逆风飞行，每小时飞行 460km，得方程 x﹣y=460． 可列方程组 ． 【点评】本题为顺风逆风问题，掌握好顺风逆风速度的求法，就可列出方程． 三、解答题 8．有一个两位数，个位数比十位数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和 是 143．求这个两位数． 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设这个两位数个位数字为 x，十位数字为 y，根据个位数比十位数大 5，如果把这两个数的 位置对换，那么所得的新数与原数的和是 143，列方程组求解． 【解答】解：设这个两位数个位数字为 x，十位数字为 y， 由题意得， ， 解得： ． 则这个两位数为 49． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适 的等量关系，列方程组求解． 8 9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上 坡每小时行 3km，下坡每小时行 5km，他到姥姥家需要行 66 分钟，从姥姥家回来时需要行 78 分钟才 能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】行程问题． 【分析】可设小华到姥姥家上坡路有 xkm，下坡路有 ykm，则小华从姥姥家回来，需要走上坡路 ykm， 下坡路 xkm． 已知上下坡的速度根据小华来回的用时不同可列出两个关于 xy 的两个方程，求解即可． 【解答】解：设小华到姥姥家上坡路有 xkm，下坡路有 ykm，那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路 ykm，下坡路 xkm， 根据题意得： 由①得：10x+6y=33③ 由②得：10y+6x=39④ ③×10 得：100x+60y=330⑤ ④×6 得：36x+60y=234⑥ ⑤﹣⑥得：x=1.5， 将 x=1.5 代入③得：15+6y=33，∴y=3； ∴ ， 所以，小华到姥姥家有 1.5km 上坡路，3km 下坡路，共有 4.5km． 答：姥姥家离小华家 4.5km． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件， 找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 9 10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和为 888；而小亮在另一个 加数后面多写了一个 0，得到和为 861，求原来两个加数分别是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设原来的一个加数为 x，另一个加数为 y，根据两个加数的和分别为 888 和 861 建立二元一 次方程组，求出其解即可． 【解答】解：设原来的一个家数为 x，另一个加数为 y，由题意，得 ， 解得： ． 答：原来的两个加数分别是 81，78． 【点评】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时根 据数字问题的数量关系建立方程组是关键． 11．某山区有 23 名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用 a 元，资助一名小 学生需要学习费用 b 元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中 学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 （1）求 a、b 的值； （2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小 学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】（1）资助一名中学生需要学习费用 a 元，资助一名小学生需要学习费用 b 元，根据表格中 提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出 a 和 b 的值． （2）根据九年级的捐款数和 a，b 的值可求出结果． 【解答】解：（1）资助一名中学生需要学习费用 a 元，资助一名小学生需要学习费用 b 元， ， 10 解得： ． 所以 a 的值是 800，b 的值是 600． （2）九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是 4，7． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数做为等量关系列方程组求解．第 2 问 根据总人数是 23 和总捐款数可求出解． 12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边 300 米，若甲、乙两人同时向东走 30 分钟后， 甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2 分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设甲、乙两人的速度各是 xm/min，ym/min，根据甲、乙两人同时向东走 30 分钟后，甲正 好追上乙；甲、乙两人同时相向而行，2 分钟相遇，列方程组求解． 【解答】解：设甲、乙两人的速度各是 xm/min，ym/min， 由题意得， ， 解得： ． 答：甲、乙两人的速度各是 80m/min，70m/min． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适 的等量关系，列方程组求解． 13．某铁路桥长 1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 1min， 整列火车完全在桥上的时间共 40s．求火车的速度和长度． 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设火车的速度为 x 米/秒，桥的长度为 y 米，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建 立方程组求出其解即可． 【解答】解：设火车的速度为 x 米/秒，桥的长度为 y 米，由题意，得 ， 解得： ． 答：火车的速度为 20 米/秒，桥的长度为 200 米． 11 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根 据程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组是关键． 14．两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流航行了 14 小时，逆流航行了 20 小时，求这艘轮 船在静水中的速度和水的流速？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设这艘轮船在静水中的速度为 x 千米/小时，水的流速为 y 千米/小时，根据顺流航行了 14 小时，逆流航行了 20 小时，列方程组求解． 【解答】解：设这艘轮船在静水中的速度为 x 千米/小时，水的流速为 y 千米/小时， 由题意得， ， 解得： ． 答：这艘轮船在静水中的速度为 17 千米/小时，水的流速为 3 千米/小时． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适 的等量关系，列方程组求解． 三、能力提升 15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果甲让乙先跑 2 秒，那 么甲跑 4 秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑 x、y 米，列出的方程组为 ． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】设甲、乙两人每秒分别跑 x、y 米，根据甲让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；甲让乙先 跑 2 秒，甲跑 4 秒就追上乙，列方程即可． 【解答】解：设甲、乙两人每秒分别跑 x、y 米， 由题意得， ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数， 找出合适的等量关系，列方程组． 12 16．一个两位数，减去它的各位数之和的 3 倍，结果是 23，这个两位数除以它的各位数数之和，商 是 5，余数是 1．这两位数是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】应用题． 【分析】这个两位数的十位数字为 x，个位上的数字为 y，则个两位数表示为 10x+y，然后根据两位 数减去它的各位数之和的 3 倍得 23 可列方程 10x+y﹣3（x+y）=23，由于这个两位数除以它的各位 数数之和，商是 5，余数是 1，根据整数的除法得到 10x+y=5（x+y）+1，然后组成方程组，再解方 程组即可． 【解答】解：设这个两位数的十位数字为 x，个位上的数字为 y， 根据题意得 ， 解得 ， 所以这个两位数为 56． 答：这个两位数为 56． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 17．甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行．如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小 时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多 少千米？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】计算题． 13 【分析】设甲，乙速度分别为 x，y 千米/时，根据甲乙两人从相距 36 千米的两地相向而行．如果甲 比乙先走 2 小时，那么在乙出发后 2.5 小时相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么在甲出发后 3 小时 相遇可列方程求解． 【解答】解：设甲，乙速度分别为 x，y 千米/时，依题意得： ， 解得： 甲的速度是 6 千米/每小时，乙的速度是 3.6 千米/每小时． 【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程做为等量关系列方程求解． 18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以 50 千米/小时的速度行驶，会迟到 24 分钟； 如果以 75 千米/小时的速度行驶，可提前 24 分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设规定的时间为 x 小时，甲乙两地的距离为 y 千米，根据以 50 千米/小时的速度行驶，会 迟到 24 分钟；以 75 千米/小时的速度行驶，可提前 24 分钟到达乙地，列方程组求解． 【解答】解：设规定的时间为 x 小时，甲乙两地的距离为 y 千米，由题意得 ， 解得： ． 答：甲乙两地的距离为 120 千米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适 的等量关系，列方程组求解． 19．甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时相向而行，经过 3 小时后相距 3 千米，再经过 2 小时，甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，求甲、乙两人的速度． 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设甲的速度为 xkm/h，乙的速度为 ykm/h，那么可以分两种情况： 14 ①当甲和乙还没有相遇相距 3 千米时，根据经过 3 小时后相距 3 千米，再经过 2 小时，甲到 B 地所 剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍可以列出方程组 解决问题； ②当甲和乙相遇了相距 3 千米时，根据经过 3 小时后相距 3 千米，再经过 2 小时，甲到 B 地所剩路 程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍可以列出方程组 解决问题． 【解答】解：设甲的速度为 xkm/h，乙的速度为 ykm/h，则有两种情况： （1）当甲和乙还没有相遇相距 3 千米时， 依题意得 ， 解得 ； （2）当甲和乙相遇了相距 3 千米时， 依题意得 ， 解得 ． 答：甲乙两人的速度分别为 4km/h、5km/h 或 km/h， km/h． 【点评】此题是一个行程问题，主要考查了相遇问题中的数量关系，但解题要注意分相遇和没有相 遇两种情况解题． 20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔 2 分两人相遇一次，同向而行，每 隔 6 分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】应用题． 【分析】相向而行是相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=1； 同向而行是追及问题，题中说甲比乙跑得快，所以是甲路程﹣乙路程=1 【解答】解：设甲每分跑 x 圈，乙每分跑 y 圈， 15 则 解得 答：甲每分跑 圈，乙每分跑 圈． 【点评】相遇问题和追及问题的等量关系的不变的：甲路程+乙路程=甲乙相距路程，甲路程﹣乙路 程=甲乙相距路程，本题中甲乙相距路程是以圈为单位的，是一圈． 21．第一工程队承包甲工程，晴天需要 12 天完成，雨天工作效率下降 40%，第二工程队承包乙工程， 晴天需要 15 天完成，雨天工作效率下降 10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各 工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】根据题意找出两个等量关系：①第一工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程 量；②第二工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量．设工程总量为 1，则第一工程 队晴天工作效率为 ，雨天工作效率为 ；第一工程队晴天工作效率为 ，雨天工作效率 为 ，根据等量关系列出方程组求解即可． 【解答】解：设两工程队各工作了 x 天，在施工期间有 y 天有雨， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 答：设两工程队各工作了 16 天，在施工期间有 10 天有雨． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于弄清题意，找出两个合适的等量关系，列 出方程组求解． 四、聚沙成塔 16 22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得 3 分，平局时两队各记 1 分， 败队记 0 分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还 要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？ 【考点】一元一次不等式的应用． 【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得 4 个队的总积分，进而分类讨论 小组得 6 分或 7 分能否出线即可． 【解答】解：4 个队单循环比赛共比赛 4×3÷2=6 场，每场比赛后两队得分之和或为 2 分（即打平）， 或为 3 分（有胜负），所以 6 场后各队的得分之和不超过 18 分， ①若一个队得 7 分，剩下的 3 个队得分之和不超过 11 分，不可能有两个队得分之和大于或等于 7 分， 所以这个队必定出线， ②如果一个队得 6 分，则有可能还有两个队均得 6 分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故一个队至少要积 7 分才能保证出线． 【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的 突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．