人教版七年级上数学教学课件:直线、射线、线段 (2)

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人教版七年级上数学教学课件:直线、射线、线段 (2)

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 4.2 直线、射线、线段 第四章 几何图形初步 第 2 课时 线段长短的比较与运算 学习目标 1. 会用尺规画一条线段等于已知线段,会比较两 条线段的长短 . ( 重点 ) 2. 理解线段等分点的意义 . 3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的 长度 . ( 重点、难点 ) 4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化 . 5. 了解两点间距离的意义,理解“两点之间,线段 最短”的线段性质,并学会运用 . ( 难点 ) 导入新课 情境引入 观察这三组图形,你能比较出每组图形中线段 a 和 b 的长短吗? 三组图形中,线段 a 与 b 的长度均相等 很多时候,眼见未必为实 . 准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法 . (1) (2) (3) a b a a b b 讲授新课 线段长短的比较 一 合作探究 做手工时,在没有刻度尺的条件下,若想从较长的木棍上截下一段, 使截下的木棒等于另一根短木棒的长,我们常采用以上办法 . 画在黑板上的线段是无法移动的,在只有圆规和无刻度的直尺的情况下,请大家想想办法,如何 再画一条与它相等的线段? 思考: 小提示: 在可打开角度的最大范围内,圆规可截取任意长度,相当于可以移动的 “ 小木棍 ”. 作一条线段等于已知线段 已知:线段 a ,作一条线段 AB ,使 AB = a . 第一步:用直尺画射线 AF ; 第二步:用圆规在射线 AF 上截取 AB = a . ∴ 线段 AB 为所求 . a A F a B 在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是 尺规作图 .    你们平时是如何比较两个同学的身高的?你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗? 讨论: 160cm 170cm 比较两个同学高矮的方法: —— 叠合法 . ②让两个同学站在同一平地上,脚底平齐,观看 两人的头顶,直接比出高矮 . ①用卷尺分别度量出两个同学的身高,将所得的 数值进行比较 . —— 度量法 . D C B 试比较线段 AB , CD 的长短 . ( 1 ) 度量法; ( 2 ) 叠合法 将其中一条线段 “ 移 ” 到另一条线段上,使其一端点与另一线段的一端点重合,然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较 . ( A ) C D A B 尺规作图 C D 1. 若点 A 与点 C 重合,点 B 落 在 C , D 之间,那么 AB CD . ( A ) B < 叠合法 结论: C D A B B ( A ) 2. 若点 A 与点 C 重合,点 B 与 点 D ,那么 AB = CD . 3. 若点 A 与点 C 重合,点 B 落 在 CD 的延长线上,那么 AB CD . 重合 > B A B A C D ( A ) ( B ) 线段的和、差、倍、分 二 在直线上画出线段 AB = a   ,再在 AB 的延长线上画线段 BC = b ,线段 AC 就是 与 的 和 ,记作 AC = . 如果在 AB 上画线段 BD = b ,那么线段 AD 就是 与 的 差 ,记作 AD = . A B C D a + b a - b a b b 画一画 a b a + b a b a - b 1. 如图,点 B , C 在线段 AD 上则 A B + BC =____ ; AD - CD =___ ; BC = ___ - ___= ___ - ___. A B C D AC AC AC AB BD CD 做一做 2. 如图,已知线段 a , b ,画一条线段 AB ,使 AB =2 a - b . a b A B 2 a - b 2 a b 在一张纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点处于线段的什么位置? A B M A B M 如图,点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM ,点 M 叫做线段 AB 的 中点 . 类似地,还有线段的三等分点、四等分点等 . 线段的三等分点 线段的四等分点 A a a M B M 是线段 AB 的中点 几何语言:∵ M 是线段 AB 的中点 ∴ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ) 反之也成立: ∵ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 AB ) ∴ M 是线段 AB 的中点 点 M , N 是线段 AB 的三等分点: AM = MN = NB = ___ AB ( 或 AB = _ _ _ AM = _ _ _ MN = _ _ _ NB ) 3 3 3 N M B A 例 1 若 AB = 6cm ,点 C 是线段 AB 的中点,点 D 是线段 CB 的中点,求:线段 AD 的长是多少 ? 解:∵ C 是线段 AB 的中点, ∵ D 是线段 CB 的中点, 典例精析 ∴ AC = CB = AB = × 6= 3 (cm). ∴ CD = CB = × 3=1.5 (cm). ∴ AD = AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm). A C B D 例 2 如图,B、C是线段AD上两点,且AB:BC:CD= 3:2:5,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=24,求线段AB、BC、CD的长. F E C B D A 解析:根据已知条件 AB:BC:CD=3:2:5,不妨设 AB=3 x ,BC =2 x ,CD=5 x , 然后运用线段的和差倍分,用含 x 的代数式表示 EF 的长,从而得到一个关于 x 的一元一次方程,解方程,得到 x 的值,即可得到所求各线段的长 . F E C B D A 解:设AB=3 x ,BC=2 x ,CD=5 x , 因为E、F分别是AB、CD的中点, 所以 所以 EF=BE+BC+CF= 因为 EF=24 ,所以 6 x =24, 解得 x =4. 所以AB=3 x =12 ,BC=2 x =8 ,CD=5 x =20. 方法总结: 求线段的长度时,当题目中涉及到 线段长度的比例或倍分关系 时,通常可以设未知数,运用 方程思想 求解 . 变式训练: 如图,已知线段AB和CD的公共部分BD= AB = CD,线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm,求AB,CD的长. F E B D C A 解析:根据已知条件,不妨设 BD= x cm ,则 AB= 3 x cm,CD=4 x cm, 易得 AC=6 x cm . 在由线段中点的定义及线段的和差关系,用含 x 的代数式表示 EF 的长,从而得到一个一元一次方程,求解即可 . 解:设 BD= x cm, 则AB=3 x cm ,C D = 4 x cm , AC = 6 x cm , 因为E、F分别是AB、CD的中点, 所以 所以 EF=AC - AE - CF= 所以AB=3 x cm=12cm ,C D = 4 x cm=16cm. F E B D C A 因为 EF=10 ,所以 x =10, 解得 x =4. 例 3 A,B,C三点在同一直线上,线段AB=5cm,BC=4cm,那么A,C两点的距离是(  ) A.1cm B.9cm C.1cm或9cm D.以上答案都不对 解析:分以下两种情况进行讨论: 当 点 C在AB之间上,故AC=AB - BC=1cm;  当 点 C在AB的延长线上时,AC=AB+BC=9cm. C 方法总结: 无图时求线段的长,应注意 分类讨论, 一般分以下两种情况:  点在某一线段上;  点在该线段的延长线 . 变式训练: 已知A,B,C三点共线,线段AB=25cm,BC=16cm,点E,F分别是线段AB,BC的中点,则线段EF的长为(  ) A.21cm或4cm B.20.5cm C.4.5cm D.20.5cm或4.5cm D 1. 如图,点 C 是线段 AB 的中点,若 AB = 8 cm , 则 AC = cm. 4 C 练一练 A C B 2. 如图,下列说法,不能判断点 C 是线段 AB 的 中点的是 ( ) A. AC = CB B. AB = 2 AC C. AC + CB = AB D. CB = AB A C B 3. 如图,线段 AB =4 cm , BC = 6 cm ,若点 D 为 线段 AB 的中点,点 E 为线段 BC 的中点,求 线段 DE 的长 . A D B E C 答案: DE 的长为 5 cm. 如图:从 A 地到 B 地有四条道路,除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路?如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线 . 有关线段的基本事实 三 • • A B 议一议 经过比较,我们可以得到一个关于线段的基本事实: 两点的所有连线中,线段最短 . 连接两点间的 线段 的 长度, 叫做 这两点的距离 . • • A B 你能举出这条性质在生活中的应用吗? 简单说成: 两点之间,线段最短 . 两点之间线段最短 1. 如图,这是 A , B 两地之间的公路,在公路工程 改造计划时,为使 A , B 两地行程最短,应如何 设计线路?请在图中画出,并说明理由 . 想一想 . B A . 2. 把原来弯曲的河道改直, A , B 两地间的河道长 度有什么变化? A B A , B 两地间的河道长度变短 . 1. 如图, AB + BC AC , AC + BC AB , AB + AC BC ( 填“ > ”“ < ” 或“ = ” ). 其中蕴含的数学道理是 . > 两点之间线段最短 练一练 > > A B C 2. 在一条笔直的公路两侧,分别有 A , B 两个村庄, 如图,现在要在公路 l 上建一个汽车站 C ,使汽 车站到 A , B 两村庄的距离之和最小,请在图中 画出汽车站的位置 . C A B l 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度 2. 如图, AC = DB ,则图中另外两条相等的线段为 _____________. 当堂练习 C A C D B AD = BC 3. 已知线段 AB = 6 cm ,延长 AB 到 C ,使 BC = 2 AB ,若 D 为 AB 的中点,则线段 DC 的长为 ________. C A D B 15 cm 4. 点A,B,C在同一条数轴上,其中点A,B表示的数分别是 - 3,1,若BC=5,则AC= _________ . 11或1 5. 如图: AB = 4 cm , BC = 3 cm ,如果点 O 是线段 AC 的中点.求线段 OB 的长度. A B C O 解:∵ AC = AB + BC = 4+3=7 (cm) , 点 O 为线段 AC 的中点, ∴ OC = AC = × 7 = 3.5 (cm) , ∴ OB = OC - BC = 3.5 - 3 = 0.5 (cm) . 6. 已知,如图,B,C两点把线段AD分成2:5:3三部分,M为AD的中点,BM=6,求CM和AD的长. D A C B M AD=10 x =20 . 解:设AB=2 x ,BC=5 x ,CD=3 x , 所以 AD=AB+BC+CD=10 x . 因为M是AD的中点, 所以AM=MD=5 x , 所以BM=AM - AB=3 x . 因为BM=6, 即3 x =6,所以 x =2 . 故CM=MD - CD=2 x =4, 课堂小结 线段长短的比较与运算 线段长短的比较 基本事实 线段的和差 度量法 叠合法 中点 两点间的距离 思想方法 方程思想 分类思想 基本作图
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