人教版七年级数学上册第四章4.2直线、射线、 线段

人教版七年级数学上册第四章4.2直线、射线、 线段

第四章 几何图形初步 4.2直线、射线、 线段 第2课时 1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两 条线段的长短. (重点) 2. 理解线段等分点的意义. 3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的 长度. (重点、难点) 4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化. 5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段 最短”的线段性质，并学会运用. (难点) 学习目标 导入新课 情境引入 观察这三组图形，你能比较出每 组图形中线段 a 和 b 的长短吗？ 三组图形中，线 段a与b的长度均 相等 很多时候，眼见未必为实. 准确 比较线段的长短还需要更加严谨 的办法. (1) (2) (3) a b a a b b 讲授新课 合作探究 做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较 长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短 木棒的长，我们常采用以上办法. 线段长短的比较 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆 规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如 何再画一条与它相等的线段？ 思考： 小提示：在可打开 角度的最大范围内， 圆规可截取任意长 度，相当于可以移 动的“小木棍”. 作一条线段等于已知线段 已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a. 第一步：用直尺画射线 AF； 第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a. ∴ 线段 AB 为所求. a A Fa B 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和 圆规作图，这就是尺规作图. 　　 你们平时是如何比较两个同学的身高 的？你能从比身高的方法中得到启示来比较 两条线段的长短吗？ 讨论： 160cm 170cm 比较两个同学高矮的方法： ——叠合法. ②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮. ①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较. ——度量法. DC B 试比较线段AB，CD的长短. (1) 度量法； (2) 叠合法 将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一 端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段 另外两个端点的位置作比较. (A) C DA B 尺规作图 C D 1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在C，D之间，那么 AB CD. (A) B ＜ 叠合法结论： C D A B B(A) 2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D ，那么 AB = CD. 3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 CD 的延长线上，那么 AB CD. 重合 ＞ BA BA C D (A) (B) 在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线 上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记 作 AC= . 如果在 AB 上画线段 BD=b，那么线 段 AD 就是 与 的差，记作AD= . A B CD a+b a-b a b b 画一画 a b a+b a b a-b 线段的和、差、倍、分 1. 如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___. A B C D AC AC AC AB BD CD 做一做 2. 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a－b. a b A B2a－b 2a b 在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使 线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线 段的什么位置？ A BM A BM 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地， 还有线段的三等分点、四等分点等. 线段的三等分点 线段的四等分点 A a a M B M 是线段 AB 的中点 几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点 ∴ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ) 1 2 反之也成立：∵ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 AB ) ∴ M 是线段 AB 的中点 1 2 点 M , N 是线段 AB 的三等分点： 1 3AM = MN = NB = ___ AB (或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)3 3 3 NM BA 例1 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少? 解：∵ C 是线段 AB 的中点， ∵ D 是线段 CB 的中点， 典例精析 ∴ AC = CB = AB = ×6= 3 (cm). 1 2 1 2 ∴ CD = CB = ×3=1.5 (cm). 1 2 1 2 ∴ AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm). A C BD 例2 如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD= 3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求 线段AB、BC、CD的长． FE CB DA 解析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨设 AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的 代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程， 解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长. FE CB DA 解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x， 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以 1 3 , 2 2 BE AB x  1 5 , 2 2 CF CD x  所以EF=BE+BC+CF= 3 52 6 . 2 2 x x x x   因为EF=24，所以6x=24,解得x=4. 所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20. 方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段 长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运 用方程思想求解. 变式训练： 如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB = CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm， 求AB，CD的长． 1 31 4 FE BD CA 解析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB= 3xcm,CD=4xcm,易得AC=6xcm.在由线段中点的定义及线 段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到 一个一元一次方程，求解即可. 解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm， 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以 1 3 cm, 2 2 AE AB x  1 2 cm, 2 CF CD x  所以EF=AC-AE-CF= 3 56 2 (cm). 2 2 x x x x   所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm. FE BD CA 因为EF=10，所以 x=10,解得x=4. 5 2 例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm， BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　） A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对 解析：分以下两种情况进行讨论：当点C在AB之间上，故 AC=AB-BC=1cm；当点C在AB的延长线上时， AC=AB+BC=9cm． C 方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以 下两种情况：点在某一线段上；点在该线段的延长线. 变式训练： 已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm， 点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长 为（　　） A．21cm或4cm B．20.5cm C．4.5cm D．20.5cm或4.5cm D 1. 如图，点C 是线段AB 的中点，若 AB = 8 cm， 则 AC = cm. A BC 4 C 练一练 A C B 2. 如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的 中点的是 ( ) A. AC = CB B. AB = 2 AC C. AC + CB = AB D. CB = AB A C B 2 1 3. 如图，线段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D 为 线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求 线段 DE 的长. A D B E C 答案：DE 的长为 5 cm. 如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外 能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能， 请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线. • • A B 议一议 有关线段的基本事实 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本 事实：两点的所有连线中，线段最短. 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. • • A B 你能举出这条性质在生活中的应用吗？ 简单说成： 两点之间，线段最短. 两点之间线段最短 1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由. 想一想 . B A . 2. 把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长 度有什么变化？ A B A，B 两地间的 河道长度变短. 1. 如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+ AC BC (填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的 数学道理是 . ＞ 两点之间线段最短 练一练 ＞ ＞ A B C 2. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄， 如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽 车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中 画出汽车站的位置. C A B l 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度 2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为 _____________. 当堂练习 C A C D B AD＝BC 3.已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长 为________. CA D B 15 cm 4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示 的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________．11或1 5. 如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线 段 AC 的中点．求线段 OB 的长度． A B CO 解：∵ AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)， 点O 为线段 AC 的中点， ∴ OC = AC= ×7 = 3.5 (cm)， ∴ OB = OC－BC = 3.5－3 = 0.5 (cm)． 1 2 1 2 6.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部 分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长． D A C B M AD=10x=20 ． 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x, 所以AD=AB+BC+CD=10x. 因为M是AD的中点， 所以AM=MD=5x，所以BM=AM-AB=3x. 因为BM=6，即3x=6，所以x=2. 故CM=MD-CD=2x=4， 课堂小结 线段 长短 的比 较与 运算 线段长短的比较 基本事实 线段的和差 度量法 叠合法 中点 两点间的距离 思想方法 方程思想 分类思想 基本作图