七年级下数学课件《简单的三元一次方程组》课件_冀教版

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第六章 二元一次方程组 6.4 简单的三元一次 方程组 1 u三元一次方程(组)的有关概念 u三元一次方程组的解法 u三元一次方程组的应用 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲 数的2倍与乙数的和 比丙数大20,求这三个数. 在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由 题意可得到方程组： 23, 1, 2 20. x y z x y x y z ì + + =ïïï - =íïï + - =ïî 这个方程组和前面学 过的二元一次方程组有什 么区别和联系？ 含有三个未知数 含未知数的项次数都 是一次 特点 1 三元一次方程(组)的有关概念 知1－讲 含有三个未知数，并且含未知数的项的次 数是一次的方程组叫做三元一次方程组. 定 义 知1－讲 三元一次方程组必备条件： (1)是整式方程； (2)共含三个未知数； (3)三个都是一次方程； (4)联立在一起． 例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　) A. B. C. D. 知1－讲 2 1, 0, 2 x y y z xz ìï - =ïï + =íïï =ïïî 1 1, 1 2, 1 6 y x z y x z ìïï + =ïïïïïï + =íïïïïï + =ïïïî 1, 2, 3 a b c d a c b d ì + + + =ïïï - =íïï - =ïî 18, 12, 0 m n n t t m ì + =ïïï + =íïï + =ïî D 导引：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中有含未知数的项 的次数为2的项，不符合三元一次方程组的定义，故 A选项不是；B选项中 是；C选项中方程组中共含有四个未知数，故C选项 不是；D选项符合三元一次方程组的定义． 知1－讲 1 1 1, x y z ， 不是整式，故B选项不 1 下列方程是三元一次方程的是________．(填序号) ①x＋y－z＝1; ②4xy＋3z＝7； ③ ④6x＋4y－3＝0. 知1－练 2 7 0;y z x + - = ① 2 下列方程组中是三元一次方程组的是(　　) A. B. C. D. 知1－练 2 2 0 1x y x z y z ＋ ＝， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ìïïïíïïïî 2 4 1 0 x x z x y ＝ ， ＝ － ， ＋ ＝ ìïïïíïïïïî 3 5 1 3 2 2 3 z x y x x y ＝ ＋ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ìïïïïïíïïïïïî 3 4 1 2 3 2 5 x y x y x y ＋ ＝， － ＝ ， － ＝ ìïïïïïíïïïïïî B 3 若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是关于x，y，z 的三元一次方程，则(　　) A．a＝1，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝±1，b＝0 D．a＝0，b＝0 知1－练 A 2 三元一次方程组的解法 知2－导 怎样解三元一次方程组呢？ 23, 1, 2 20. x y z x y x y z ìïïïíïïïî + + = - = + - = 我们会解二元一次方 程组，能不能像以前一样 “消元”，把“三元”化 成“二元”呢？ 用代入消元 法试一试！ 例2 解方程组： 知2－讲 4, 1, 2 3 2 17. x z x y z x y z ① ② ③ ìïïïíïïïïî - = - + = + + = 解：由①，得 z＝x－4. ④ 将④分别代入②，③，得 解这个二元一次方程组，得 2 5, 4 3 25. x y x y ⑤ ⑥ ìïïíïïî - = + = 4, 3. x y ìïïíïïî = = 把x＝4代入① ，得 z＝0. 所以原方程组的解是 知2－讲 4, 3, 0. x y z ì =ïïï =íïï =ïî （来自教材） 1.做一做: (1)解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数y (或z)，从而得到方程组的解吗？ (2)你还有其他方法吗？与同伴进行交流. 2.议一议: 上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的 解法有什么联系? 解三元一次方程组的思路是什么？ 知2－讲 3.解三元一次方程组 (1)基本思路: 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元” ——把“三元”化为“二元”， 再化为“一元”. (2)求解方法：加减消元法和代入消元法． 消元消元 知2－讲 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 例3 (一题多解)解三元一次方程组： 导引：方法一：把③分别代入①②消去x这个“元”； 方法二：观察发现三个方程中x的系数都是1， 因此可以用加减法消去x这个“元”； 方法三：由方程①②消去z这个“元”． 知2－讲 12, 2 5 22, 4 . x y z x y z x y ì + + =ïïïï + + =íïïï =ïî ① ② ③ 解：方法一：将③分别代入①②，得 解得 把y＝2代入③，得x＝8. 所以原方程组的解为 知2－讲 5 12, 6 5 22, y z y z ì + =ïïíï + =ïî2, 2. y z ì =ïïíï =ïî 8, 2, 2. x y z ì =ïïïï =íïï =ïïî 方法二：②－①，得y＋4z＝10，④ ②－③，得6y＋5z＝22，⑤　 联立④⑤，得 把y＝2代入③，得x＝8， 所以原方程组的解为 知2－讲 4 10, 6 5 22, y z y z ì + =ïïíï + =ïî 2, 2. y z ì =ïïíï =ïî 8, 2, 2. x y z ì =ïïïï =íïï =ïïî 解得 方法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60, ④　 ④－②，得4x＋3y＝38，⑤， 联立③⑤，得 把x＝8，y＝2代入①，得z＝2， 所以原方程组的解为 知2－讲 4 , 4 3 38, x y x y ì =ïïíï + =ïî 8, 2. x y ì =ïïíï =ïî 8, 2, 2. x y z ì =ïïïï =íïï =ïïî 解得 知2－讲 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可 以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程 组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便． 要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步 骤和消元方法，不要盲目消元． 1 解下列方程组： 知2－练 （来自《教材》） (1) 1 6 3. x y x z y z ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ìïïïíïïïî 解： ②－③，得x－y＝3.④ ①＋④，得2x＝4，x＝2，把x＝2代入①， 得2＋y＝1，y＝－1，把x＝2代入②， 得2＋z＝6，z＝4. 所以原方程组的解为 1 (1) 6 3. x y x z y z ＋ ＝ ，① ＋ ＝ ，② ＋ ＝ ③ ìïïïíïïïïî 2 1 4. x y z ＝ ， ＝－ ， ＝ ìïïïíïïïî 知2－练 （来自《教材》） 解： ①＋②，得2x＝16，x＝8， ①－③，得2z＝10，z＝5， ②－③，得2y＝4，y＝2， 所以原方程组的解为 11 5) . ( 1 2 x y z x y z x y z － ＋ ＝ ， ＋ － ＝ ， － － ＝ ìïïïíïïïî 11 (2) 5 1. x y z x y z x y z － ＋ ＝ ，① ＋ － ＝ ，② － － ＝ ③ ìïïïíïïïïî 8 2 5. x y z ＝ ， ＝ ， ＝ ìïïïíïïïî 解方程组 若要使运算简便， 消元的方法应选(　　) A．消去x B．消去y C．消去z D．以上说法都不对 知2－练 3 2 3, 2 4 11, 7 5 1, x y z x y z x y z ì - + =ïïïï + - =íïï + - =ïïî B 2 已知三元一次方程组 经过步 骤①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二 元一次方程组是(　　) A. B. C. D. 知2－练 5 4 0 3 4 11 2 x y z x y z x y z ＋ ＋ ＝ ，① ＋ － ＝ ，② ＋ ＋ ＝－ ，③ ìïïïïíïïïïî A 3 4 3 2 7 5 3 x y x y ＋ ＝ ， ＋ ＝ ìïïíïïî 4 3 2 23 17 11 x y x y ＋ ＝ ， ＋ ＝ ìïïíïïî 3 4 2 7 5 3 x y x y ＋ ＝ ， ＋ ＝ ìïïíïïî 3 4 2 23 17 11 x y x y ＋ ＝ ， ＋ ＝ ìïïíïïî 3 三元一次方程组的应用 知3－讲 例4 一个三位数，十位数字是个位数字的 百位数 字与十位数字之和比个位数字大1.将百位与个位 数字对调后得到的新三位数比原三位数大495， 求原三位数． 导引：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为x，y， z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z. 3 4 ， 解：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为x，y，z. 由题意，得 解得 答：原三位数是368. 1, 100 10 100 10 495. x y z z y x x y z ìïïïï + = +íïï + + = + + +ïïî 知3－讲 3 , 4 y z= 3, 6, 8. x y z ì =ïïïï =íïï =ïïî 知3－讲 解数字问题的关键是正确地用代数式表示数． 如果一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，那 么这个两位数可表示为10a＋b；如果一个三位数的 百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，那么 这个三位数可表示为100a＋10b＋c，以此类推． 知3－讲 例5 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有 一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从 乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下 坡路的行驶过程中的时速分别是30 km，20 km，40 km， 则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长 度各是多少？ 导引：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡 路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋ 平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中， 上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h. 解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路 的长度分别是x km，y km和z km. 由题意得 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km， 平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km. 70,x y zì + + =ïïïïïíïïïïïî 知3－讲 12, 54, 4. x y z ì =ïïïï =íïï =ïïî 2.5, 20 30 40 x y z+ + = 2.3. 20 30 40 z y x+ + = 解得 知3－讲 解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中， 如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地 时就变成了下坡路段． 已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a2b2x－yc6是 同类项，则x＝________，y＝________，z＝ ________． 知3－练 4 1 －4 6 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝0；当x ＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－5，可列出关 于a，b，c的三元一次方程组是(　　) A. B. C. D. 知3－练 C 2 0 0 5 a b a b c ＝ ＋ ， ＝ － ， － ＝ ìïïïïíïïïïî 0 0 5 a b c a b c c ＝ ＋ ＋ ， ＝ － ＋ ， － ＝ ìïïïïíïïïïî 0 0 5 a b c a b c c ＝ ＋ ＋ ， ＝ － － ， － ＝ ìïïïïíïïïïî 0 0 0 25 5 a b c a b c a b c ＝ ＋ ＋ ， ＝ － ＋ ， ＝ － ＋ ìïïïïíïïïïî 【中考·黑龙江】小明妈妈到文具店购买三种学习 用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学 习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下 调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习 用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法？(　　) A．6　　　　 B．5　　　　 C．4　　　 　D．3 知3－练 D 3 三元一次方程组 一元一次方程 二元一次方程组 1.化“三元”为“二元” 总 结 消 元 消 元 三元一次方程组求法步骤： 2.化“二元”为“一元” （也就是消去一个未知数） 1 解方程组： 易错点：加减消元时，易漏乘某项系数而出错 2 易错小结 2 3 1 3 2 2 2 4 4 1. x y z x y z x y z ＋ ＋ ＝，① － ＋ ＝ ，② － ＋ － ＝－ ③      由②＋①×2，得7x＋8z＝4.④ 由③＋②×2，得2x＋3z＝3.⑤ 由④⑤组成方程组，得 所以原方程组的解为 解： 7 8 4 2 3 3 x z x z ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，    125 135. x z ＝－ ， 解得 ＝    12 5 2. 13 5 x y z ＝－ ， 把 代入①，得 ＝－ ＝      12 5 2 13 . 5 x y z ＝－ ， ＝－ ， ＝        解三元一次方程组时，通常需在某些方程 两边同乘某常数，以便于消去同一未知数；在 变形过程中，易漏乘常数项而出现方程①变形 为4x＋2y＋6z＝1的错误． 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！