初中数学七年级上数学知识点汇总

初中数学七年级上数学知识点汇总

第一章：有理数及其运算 知识要求： 1、在具体情境中，理解有理数及其运算的意义； 2、能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。 3、借助数轴理解相反数与绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值。 4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的 混合运算；理解有理数的运算律，并能利用运算律简化运算，及能运用有理数及其运算律解 决简单的实际问题。 知识重点： 绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）是本章的重 点。 知识难点： 绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算是本章的难点。 考点： 绝对值的有关概念和计算，有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象。 知识点： 一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义 （1）正数：像 1、2.5、这样大于 0 的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号， 表示比 0 小的数叫做负数；（3）0 即不是正数也不是负数，0 是一个具有特殊意义的数字，0 是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。 概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要 严格按照“大于 0 的数叫做正数；0 小的数叫做负数”去识别。 ②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。 ③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数 统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合； ④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等； 例 1 下列说法正确的是( ) A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数； B、非负数就是正数； C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数； D、0 既不是正数也不是负数； 例 2 把下列各数填在相应的大括号中 8， 4 3 ，0.125，0， 3 1 ， 6 ， 25.0 ， 正整数集合  整数集合  负整数集合  正分数集合  例 3 如果向南走50 米记为是 50 米，那么向北走 782 米记为是 ____________, 0 米的意义是 ______________。 例 4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量 2 克，记作+2 克，那么 5 克 表示_________________________ 知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我 们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为 正，把相反意义的量规定为负。 例 5 若 0a ，则 a 是 ；若 0a ，则 a 是 ；若 ba  ，则 ba  是 ；若 ba  ，则 ba  是 ；（填正数、负数或 0） 2、有理数的概念及分类 整数和分数统称为有理数。 有理数的分类如下： （1）按定义分类： （2）按性质符号分类：               负分数 正分数分数 负整数 正整数 整数 有理数 0               负分数 负整数负有理数 正分数 正整数正有理数 有理数 0 概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化 成整数或分数； ②正有理数和 0 又称为非负有理数，负有理数和 0 又称为非正有理数 ③整数和分数都可以化成小数部分为 0 或小数部分不为 0 的小数，但并不是所有小 数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数； 例 6 若 a 为无限不循环小数且 0a ，b 是 a 的小数部分，则 ba  是（ ） A、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能确定 例 7 若 a 为有理数，则 a 不可能是（ ） A、整数 B、整数和分数 C、 )0( pp q D、 3、数轴 标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示 0（叫 做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数 轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大， 所以正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。 概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可； ②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向； ③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等； ④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示 数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 a 的点在原点的 左边，与原点的距离是 a 个单位长度。 ⑤在数轴上求任意两点 a、b 的距离 L,则有公式 abLbaL  或 ，这两个公 式选择那个都一样。 例 8 在数轴上表示数 3 的点到表示数 a 的点之间的距离是 10，则数 a ； 若在数轴上表示数 3 的点到表示数 a 的点之间的距离是b ，则数 a 。 例 9 a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ） A、 a+b＜0 B、 ab＜0 C、 b a ＜0 D、 0 ba 例 10 下列数轴画正确的是（ ） 4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0 的相反数是 0，互 为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。 概念剖析：①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫 然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。 ②很显然，数 a 的相反数是 a ，即 a 与 a 互为相反数。要把它与倒数区分开。 ③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边， 且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。 ④在数轴上离某点的距离等于 a 的点有两个。 ⑤如果数 a 和数b 互为相反数，则 a +b =0； )0(1  abb a 或 )0(1  aba b ； ⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可；例如 ba  的相反数 是 ab  ； 例 11 下列说法正确的是（ ） A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数； B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1； C、如果 a +b =0，则数 a 和数b 互为相反数； D、互为相反数的两个数一定不相等； 例 12 求出下列各数的相反数 ① 4 a ② 1a ③ ba  ④ 23c 例 13 化简下列各数的符号 ① )5.4( ② )5 31( ③  )2( ④    2.0 知识窗口：①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数； ②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于 一个正号，而与正号的个数无关。 5、绝对值 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值。 （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0 的绝对值是 0；一个负数的绝对值 是它的相反数，可用字母 a 表示如下： a0b 0 A 01 1 B 2 — 2 1 0 1 2 C 0 11 — 2 22 D        )0( )0(0 )0( aa a aa a （3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也 就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即 0a 。 ②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值 相等。 例 14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( ) A、互为相反数 B、相等 C、积为 0 D、互为相反数或相等 例 15 已知 ab>0,试求 ab ab b b a a ||||||  的值。 例 16 若|x|=-x，则 x 是_________数； 例 17 若│χ+3∣+∣y—2∣=0，则 2005)yx （ = ； 例 18 将下列各数从大到小排列起来 0、 6 5 、 4 3 、 0001.0 例 19 如果两个数 a 和b 的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ） A、 ba  B、 1 b a C、 0 ba D、不能确定 二、有理数的运算 1、有理数的加法 （1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异 号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两 个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。 例 20 计算下列各式 ①（– 3）–（– 4）+7 ② ）（）（ 3 2 3 12105  ③ 3.5 +  2.3  5.2  8.4 （2）有理数加法的运算律： 加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c) 知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分 母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。 例 21 计算下列各式 ① 2)10()8()3()7(  ② )25.0()3 211()8 13(4 13125.0  2、有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 （2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把 减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。 （3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算； 概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。 转化后它满足加法法则和运算律。 例 22 计算： 59117  例 23 月球表面的温度中午是 Co101 ，半夜是 Co153 ，中午比半夜高多少度？ 例 24 已知 m 是 6 的相反数， n 比 m 的相反数小 5，求 n 比 m 大多少？ 3、有理数的乘法 （1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数 与 0 相乘都得 0。 （2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。 （3）倒数的定义：乘积是 1 的两个有理数互为倒数，即 ab=1，那么 a 和 b 互为倒数；倒数也 可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。 概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得 负” ②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为 0， 则积为 0；几个都不为 0 的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数 的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。 ③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。 例 25 计算下列各式： ① )8 7()5.2(7 11)25.1(  ② )12 1 6 1 4 1()12(  ③ )9 47(5.10)9 52()25.35(9 52)75.45(  ④ )5(25 2449  4、有理数的除法 有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0 不能做除数。这个法则可以把除 法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相 除，0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0。 概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转 化，转化后它满足乘法法则和运算律。 ②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即 a 的倒数为 )0(1 aa ；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即 m n 的倒数为 n m ；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求 一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0 没有倒数。 例 25 倒数是其本身的数有_________； 例 26 计算下列各式： ① )8(8 115.2  ② 2 17)5(  ③ )6()48(  5、有理数的乘方 （1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数 a 的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相 同的因数的特殊乘法运算，记做“ na ”其中 a 叫做底数，表示相同的因数，n 叫做指数，表 示相同因数的个数，它所表示的意义是 n 个 a 相乘，不是 n 乘以 a，乘方的结果叫做幂。 （2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0 的任何 非 0 次幂都是 0，1 的任何非 0 次幂都是 1， 1 偶数次幂是 1、 1 奇数次幂是 1 ； 概念剖析：①“ na ” 所表示的意义是 n 个 a 相乘，不是 n 乘以 a； ② nn aa  )( 。因为 na 表示 n 个 a 相乘，而 na)( 表示 n 个 a 的相反数； ③任何数的偶次幂都得非负数，即 02 na 。 例 27 ① 32 的意义是_________________________； ② 45 的意义是________________________； ③ 5)7 6( 的意义是_________________________； 例 28 当 3a ， 2 3b 时，则  22 ba _________； 例 29 计算： 20092008 )2()2(  例 30 若 )0,0(,  baba 互为相反数， n 是自然数，则（ ） A、 na 2 和 nb2 互为相反数 B、 12 na 和 12 nb 互为相反数 C、 2a 和 2b 互为相反数 D、 na 和 nb 互为相反数 知识窗口：所有的奇数可以表示为 12 n 或 12 n ；所有的偶数可以表示为 n2 。 6、有理数的混合运算 （1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运 算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时， 先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化 运算。 （2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低 一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。 知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括 号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。 例 31 计算下列各式 ① 63 1112 110           ②            3 1243 2 4 123 2 2 3 例 31 已知 a 的绝对值为 3、且 a 满足 x 的一元一次方程 02)3()( 2  xaxba ，则 b aba  23 的值为多少？ 7、科学记数法 （1）把一个大于 10 的数记成 na 10 的形式，其中 a 是整数位只有一位的数，这种记数 方法叫做科学记数法。 （2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近 似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 （3）一个数，从左边第一个不是的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的 数字，叫做这个数的有效数字。 概念剖析：I 把一个数b 用科学记数法表示为 na 10 ，其中 101  a ， n 为自然数， ①当 10b 时， n 为这个数 b 的整数位数减 1；例如：用科学记数法表示 04.188000 得 5108800004.1  ， 它 满 足 108800004.11  ， 165  （ 04.188000 的整数部分有 6 位数）； ② 当 101  b 时 ， n 为 0 ； 例 如 ： 用 科 学 记 数 法 表 示 8800004.1 得 0108800004.1  ； ③当 1b 时， n 为由b 变到 a 的过程中小数点移动位数的相反数； ④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数 的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等 等词出现。 II 在让数字精确和数有效数字时应注意： ①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而 四舍五入所得到的结果千分位为 0 时，该 0 不能省略。如：将 08965601.2 精确到 千分位，应为 090.2 ，不应为 09.2 。其他分位也应注意。 ②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是 0 的数字起，到精 确到的数位止（最末尾一位），所得的数字”； 科学记数法 na 10 的形式中，效 数字只与 a 有关，而与 n10 无关。 例 32 用科学记数法表示下列各数 ①1893400000 ②800032000 ③0.000003578012 ④120 万人民币； 例 33 ①3.256 有_________位效数字，它们分别是_________________________； ②0.032560 有_________位效数字，它们分别是_________________________； ③ 8102560.3  有_________位效数字，它们分别是_________________________； ④ 810256.3  有_________位效数字，它们分别是_________________________； 例 34 用四舍五入法完成下列各题 ① 02954.0 _________（精确到千分位），所得结果有___________位效数字，它们分 别是_______________________； ② 999999.0 _________（精确到万分位），所得结果有___________位效数字，它们 分别是_______________________； ③ 93.0 _________（精确到个位）所得结果有___________位效数字，它们分别是 _______________________； 练习： 一、选择题： 1、下列说法正确的是（ ） A、非负有理数即是正有理数 B、0 表示不存在，无实际意义 C、正整数和负整数统称为整数 D、整数和分数统称为有理数 2、下列说法正确的是（ ） A、互为相反数的两个数一定不相等 B、互为倒数的两个数一定不相等 C、互为相反数的两个数的绝对值相等 D、互为倒数的两个数的绝对值相等 3、绝对值最小的数是（ ） A、1 B、0 C、– 1 D、不存在 4、计算   )2(2 44  所得的结果是（ ） A、0 B、32 C、 32 D、16 5、有理数中倒数等于它本身的数一定是（ ） A、1 B、0 C、–1 D、±1 6、（– 3）–（– 4）+7 的计算结果是（ ） A、0 B、8 C、– 14 D、– 8 7、（– 2）的相反数的倒数是（ ） A、 2 1 B、 2 1 C、2 D、– 2 8、化简： 42 a ，则 a 是（ ） A、2 B、– 2 C、2 或– 2 D、以上都不对 9、若 21  yx ，则 yx  =（ ） A、– 1 B、1 C、0 D、3 10、有理数 a，b 如图所示位置，则正确的是（ ） A、a+b>0 B、ab>0 C、b-a<0 D、|a|>|b| 二、填空题 11、（– 5）+（– 6）=________；（– 5）–（– 6）=_________。 12、（– 5）×（– 6）=_______；（– 5）÷6=___________。 13、        2 12 2 _________； 2 12 4 4  =________。 14、    27 13 2 __________；  9 132 ________。 15、  20032002 )1(1 _________； 16、平方等于 64 的数是___________；__________的立方等于– 64 17、 7 5 与它的倒数的积为__________。 18、若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值是 2，则 a+b=_______；cd=______； m=__________。 19、如果 a 的相反数是– 5，则 a=_____，|a|=______，|– a– 3|=________。 20、若|a|=4，|b|=6，且 ab<0，则|a-b|=__________。 三、计算： （1） 22 )5()25(848  （2） 14 5)2(5 352 13  （3） )2(3)3(3 22  （4） )3 2()4(824  （5） )3()6()2(1632 3  （6）      9 5)3 1(53.1 四、某工厂计划每天生产彩电 100 台，但实际上一星期的产量如下所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 –1 +3 –2 +4 +7 –5 –10 比计划的 100 台多的记为正数，比计划中的 100 台少的记为负数；请算出本星期的总产量是 多少台？本星期那天的产量最多，那一天的产量最少？ 五、某工厂在上一星期的星期日生产了 100 台彩电，下表是本星期的生产情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 –1 +3 –2 +4 +7 –5 –10 比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最后一天星期日 的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？ 第二章：用字母表示数（整式） 知识要求： 1、经历探索事物之间的数量关系，并用字母与代数式表示，初步建立符号感，发展抽像思维； 2、在具体情境中进一步理解用字母表示数的含义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式； 3、理解代数式的含义，能解释简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联 系； 4、理解合并同类项和去括号的法则，并会进行计算； 5、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。 知识重点： 代数式的概念和意义，用代数式表示简单的数量关系，同类项的定义及去括号的方法都是本 章的重点。 知识难点： 会列代数式，正确阐述代数式的意义，熟练掌握同类项合并是本章的难点。 考点： 列代数式、代数式的意义，准确地去括号、合并同类项是考试的重点。 知识点： 一、代数式的概念 1、用字母表示数之后，可能用字母表示的有 （1）具有一定数量的数；（2）一些变化的规律；（3）数的运算法则和运算定律；（4）数量关 系；（5）数学公式。 2、用字母表示数的意义 用字母表示数是代数的一个重要特点，它的优点在于能简明、扼要、准确地把数和数之 间的关系表示出来，化特殊为一般，深刻地揭示数量之间的联系，为我们学习数学和应用数 学带来方便。 3、用字母表示数学公式 （1）加法、乘法的运算律；（2）平面图形的面积公式；（3）平面图形的周长公式；（4）立体 图形的体积公式。 4、代数式的概念 用字母表示数之后，出现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们 把它们叫做代数式。 概念剖析：①运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、绝对值，大中小括号以及以后要学到 的开方符号，但不包括大于、小于号、等号等表示数量关系的关系符号； ②单个的数字和字母也是代数式。 ③判断一个式子是否是代数式，只要看看它能否满足代数式的概念即可。 例 1、 下列的式子中那些是代数式 ① 21  yx ② na 10 ③ 053 x ④ nmp 111  ⑤ 582 2  xx ⑥ myx x 357 32   ⑦    22272 myx  ⑧ 57 是代数式的有_________________________（只填序号）； 例 2、下列各式中不是代数式的是（ ） A、π B、0 C、 yx  1 D、a+b=b+a 5、书写代数式的规定 （1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·”代替，省略乘号时，数 字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写 “×”号。 （2）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式。 （3）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号 把代数式括起来。 例 3、下列个代数式中 ① a2 14 ②   cba  ③ 3n 人 ④2·5 ⑤ ba 25.2 书写规范的有_________________________（只填序号）； 6、代数式的意义 代数式的意义是把代数式的数量关系翻译成用文字叙述的数量关系，即为读代数式 用语言把一个代数式的数学意义表示出来时，要正确表达式中所含有代数运算以及它们 运算顺序，还要注意语言的简练准确。 例 4、说出下列代数式的意义 ① nm 2 的意义是_______________________________________； ② )(2 nm  的意义是_______________________________________； ③ t nm  的意义是_______________________________________； 7、单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，其中数因数叫做单项式的系数，所有字母因数 的指数之和叫做单项式的次数。单独的一个数或字母也叫做单项式。 概念剖析：①单项式是代数式中的一种特殊形式； ② 要 判断 一个 式 子是 否是 单 项式 ， 只要 看看 它 是否 满足 单 项式 的定 义 ； ③单独的一个数作为单项式时，其系数就是它本身，次数为 0；单独的一个字母作 为单项式时，其系数就是 1，次数为它本身的次数； ④若一个单项式的次数为 m ，我们就叫该单项式 m 次单项式； ⑤单项式与单项式相等的条件：几个单项式完全相同。 例 5、下列代数式中， ① ab ②1 ③ 32x ④ a1 ⑤ 83 3 x ⑥ ba ba   ⑦ 2 5 a ⑧ 17 8 2009x 是单项式的有 （只填序号）； 例 6、代数式 abc5 ， 17 2  x ， x5 2 ， 5 121 中，单项式的个数是（ ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 例 7、单项式 12 21   nymx n 是关于 x 、 y 的 4 次单项式，其系数是 6，求 m 和 n 的值； 例 8、若单项式 453 yx 与单项式 4ymxn 相等，则 m ， n ； 8、多项式 几个多项式的和叫做多项式，其中、每个单项式都叫做多项式的项，不含字母的项叫做 常数项，次数最高项的次数叫做该多项式的次数，每个单项式的系数都是多项式的系数；如 果一个多项式有 n 项，且次数为 m ，则我们称该多项式为 m 次 n 项式。 概念剖析：①多项式是代数式中的一种特殊形式； ②在多项式里，所有字母的指数都是非负数。 ③多项式与多项式相等的条件：几个多项式的对应项完全相同。 例 9、多项式① zyx 253  是由哪些项组成 ，系数是 ，次数 ； ② 2 2 1 rab  是由哪些项组成 ，系数是 ，次数 ； 例 10、若 13)2( 235  xyxyxyxm 是关于 x 、 y 的四次四项式，则 m ； 例 11、①若 1)2(2 23  xnyxyx n 是关于 x 、 y 的四次三项式，则 n ； ② 若 1)2(2 23  xnyxyx n 是 关 于 x 、 y 的 多 项 式 ， 且 不 含 一 次 项 则 n ； 例 12、当 x 取何值时，多项式 553 2  yx 可化简为关于 y 的一次单项式； 例 13、若多项式 nxyyx m  37 2 与多项式 7324  xyynx 相等，则 m ， n ； 9、整式 单项式和多项式统称整式 二、代数式的计算 1、同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，常数项也是同类项。 概念剖析：判断同类项的标准有两条：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数也分别相同。 即：“两相同，一关系；”两相同：所含字母相同、相同字母的指数也分别相同；一 关系：字母与字母之间是乘积关系。 例 14、指出多项式 xyyxyxxyyx 2 1 3 282 344334  里的同类项它们分别是 ； 例 15、若 427 yx m 与 nyx33 是同类项，则 m _______, n ________； 例 16、当 n ______时， 523 yx 与 1322  nyx 是同类项； 2、合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，不是同类项不能合并。 合并同类项法则：（1）系数相加，所得结果作为系数；（2）字母和字母的指数不变。 例 17、把多项式 xxxx 32176913 2  合并同类项后得___________________； 例 18、当 2 1a 时，求多项式 366253 22  aaaa 的值； 例 19、已知 nm yx2 与 yx2 3 1 同类项，求多项式 527463532 22222  nmnmnmmnnmmnnm 的的值； 例 20、若单项式 nyx 4 与 3322 yx m 的和仍是单项式，则  nm 34 ； 3、去括号 去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项 符号都不改变；（2）括号前是“ – ”号，把括号和它前面的“ – ”号去掉后，原括号里各 项的符号都要改变。 例 21、将下列各式的括号去掉 ① )1(3  bcaba ② )1(3  bcaba ③ )72()7( 3232 yxxyyx  ④ )72()7( 3232 yxxyyx  ⑤ )1()3(  bcaba 例 22、化简     bbaaa 25  4、整式的加减 整式的加减实质上就是合并同类项，如果有括号的就先去括号，然后合并同类项 概念剖析：整式加减运算的步骤：（1）去括号；（2）判断同类项；（3）合并同类项； 例 23、①求单项式 yx 25 ， yx22 ， 22xy ， yx 24 的和； ②求单项式 yx 25 ， yx22 ， 22xy ， yx 24 的差； ③求 525 2  aa 与 434 2  aa 的和； ④求 525 2  aa 与 434 2  aa 的差； ⑤已知 32  xA ， 233 2  xxB ， 232 2  xxC ，求 CBA 32  ； ⑥已知 21 xA  ， 342  xxB ， 45 2  xC ，求多项式 BCBBAA  )](2[2 1 的值。 5、代数式的值的计算 用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值。 求代数式的值要注意的问题：（1）字母的数值必须确保代数式有意义；（2）在代入数值计算 之前要把代数式化到最简；（3）字母的取值保证它本身表示的数量有意义；（4）字母的取值 不同，代数式的值也不同。 代数式的值的计算方法：①从已知出发去求未知（向前看）； ②从未知出发去找未知和已知关系（回头看）； ③从已知和未知同时出发待相遇去找未知和已知关系（来回赶）； 例 24、已知 62 2  xyx ， 923 2  xyy ，求 22 984 yxyx  的值； 例 25、；已知 23  ba ，求代数式 ba 632  的值； 例 26、当 2  yx yx 时，求代数式 )(2 yx yx yx yx    的值； 例 27、已知 012  mm 时，求代数式 20082 23  mm 的值 例 28、若 1032  zyx ， 15234  zyx ，则  zyx ； 例 29、已知 012  aa ，则  200620072008 aaa ； 例 30、已知： dcba ,,, 均为有理数，且 4 ba 、 2 dc 、 bdacdbca  ， 则 dcba  的最大值为 。 三、探索规律 1、探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律 2、用代数式表示简单问题中的数量关系，运用合并同类项，去括号等法则验证所探索的规律。 例 31、观察下列算式： 331  、 932  、 2733  、 8134  、 24335  、 72936  、 218737  656138  、…… 用你发现的规律写出 20083 的末位数字是 ， 20093 的末位数字是 ； 例 32、将一张长方形的纸对折，如下图所示，可得到 1 条折痕（图中虚线），继续对折，对折 时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折 3 次后，可以得到 7 条折痕，那么对折 4 次可以得到 条折痕；如果对折 n 次，可以得到 条折痕。 例 33、民公园的侧门口有 9 级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶 数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同 方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21……这就是著名的斐波那契数列．那么 小聪上这９级台阶共有 种不同方法； 例 34、观察下列顺序排列的等式： 9×0 十 1＝1，9×1+2=11， 9×2+3＝21， 9×3+4=31，9× 4+5=4l 猜想：第年 n 个等 第 1 次对折 第 2 次对折 第 3 次对折 35 题 式应为 。 例 35、如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案， 按这种方式摆下去，当每边上摆 20(即 n=20)时，需 要的火柴棍总数为 根。 例 36、如图，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 2 1 的 矩形，接着把面积为 2 1 的矩形分成两个面积为 4 1 的矩形， 再把面积为 4 1 的矩形等分成两个面积为 8 1 的矩形，如此进 行下去．试利用图形揭示的规律计算：  256 1 128 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 。 例 37、观察下列等式 9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……这些等式反映出自然数间的某种规 律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示出来： 。 例 38、给出下列算式： l2+1=1×2，22+2=2×3， 32 +3=3×4，…… 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： 。 例 39、一项工程，甲建筑队单独承包需要 a 天完成，乙建筑队单独承包需要 b 天完成，现两 队联合承包，完成这项工程需要( )天． A． ba  1 B． ba 11  C. ba ab  D． ab 1 例 41、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案： (1)第 4 个图案中有白色地面砖 块； (2)第 n 个图案中有白色地面砖 块． 例 42、—种商品每件进价为 a 元，按进价增加 25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的 九折出售，每件还能盈利( )． A．0.125a B．0.15a C．0.25a D．1.25a 练习题： 一、选择题： 1、下列各式中不是代数式的是（ ） A、π B、0 C、 yx  1 D、a+b=b+a 36 题 2、用代数式表示比 y 的 2 倍少 1 的数，正确的是（ ） A、2( y – 1 ) B、2y + 1 C、2y – 1 D、1 – 2y 3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低 m 元后，又降 价 20%，现售价为 n 元，那么该电脑的原售价为（ ） A、 元)5 4( mn  B、 元)4 5( mn  C、 元)5( nm  D、 元)5( mn  4、当 6 1,3 1  ba 时，代数式 2)( ba  的值是（ ） A、 12 1 B、 6 1 C、 4 1 D、 36 1 5、已知公式 nmp 111  ，若 m=5，n=3，则 p 的值是（ ） A、8 B、 8 1 C、 15 8 D、 8 15 6、下列各式中，是同类项的是（ ） A、 22 33 xyyx 与 B、 yxxy 23 与 C、 xx 22 2与 D、 yzxy 55 与 二、填空题： 7、某商品利润是 a 元，利润率是 20%，此商品进价是______________。 8、代数式   c ba 2 的意义是______________________________。 9、当 m=2，n= –5 时， nm 22 的值是__________________。 10、化简      22 11 mm __________________________________。 三、解答题： 11、已知当 1,2 1  yx 时，代数式 zxxyz 282  的值是 3，求代数式 zz 22 的值。 12、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当 a=5cm，b=4cm， r=1cm 时，计算出阴影部分的面积是多少。 13、已知 A=x – 2y + 2xy，B= 3x – 6y + 4xy 求 3A – B。 14、代数式 242  xx 的值为 3，求代数式 582 2  xx 的值是多少 15、观察下面一组式子： （1） 2 112 11  ；（2） 3 1 2 1 3 1 2 1  ；（3） 4 1 3 1 4 1 3 1  （4） 5 1 4 1 5 1 4 1  …… 写出这组式子中的第（10）组式子是_______________________________； 第（n）组式子是___________________________________； 利用上面的规建计算： 1211 1 109 1  =__________________； 16、代简求值： )32(3)462(2 233  xxxxx ，其中 3 2x 。 第三章：一元一次方程 知识要求： 1、能根据具体问题的数量关系，列出方程、建立模型、解方程和运用方程来解决实际问题。 2、了解一元一次方程及其有关概念，会解一元一次方程（数字系数）。 3、能一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实 际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力。 知识重点： 掌握等式的基本性质、方程的概念、会解一元一次方程及应用一元一次方程来解应用题。 知识难点： 灵活运用求解一元一次方程的步骤，应用一元一次方程来解应用题。 考点：解方程和运用方程解应用题是考试的重点内容。 知识点： 一、方程的有关概念 1、方程的概念 （1）含有未知数的等式叫方程。 （2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，系数不为 0，这样的方程 叫一元一次方程。且一元一次方程的一般形式为： )0(0  abax 概念剖析：①方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知数的等式叫方程； ②等式：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式； ③一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数是 1；知数的 系数不为 0； 例 1、下列式子是方程的是（ ） A、 953  yx B、 079 1  yx C、 11  x D、 21053  例 2、下列方程是一元一次方程的是( ) A、 92  yx B、 132  xx C、 11  x D、 xx 312 1  例 3、已知方程 0213  bnxmx 是关于 x 的一元一次方程，求 m 、 n 、b 的值； 2、等式的基本性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。若 ba  ，则 cbca  或 cbca  。 （2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式。若 ba  ， 则 bcac  或 c b c a  ； （3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若 ba  ，则 ab  ； （4）传递性：如果 ba  ，且 cb  ，那么 ca  ，这一性质叫等量代换。 例 4、用适当的数或式子填空 ①如果 532 x ，那么  52x ____________； ②如果 63 2 x ，那么 x ____________； ③如果 1233  ba ，那么___________________ b3 ； ④如果 ab 2 11  ，那么 a2 ___________________； 二、解方程 1、解方程及解方程的解的含义 求得方程的解的过程，叫做解方程。使方程的左、右两边的值相等的未知数的值， 叫做方程的解。 例 5、方程 2 14 x 的解为____________________； 例 6、如果 1x 是方程 )(4)1( mxxm  的解，则 m _________________； 例 7、程 )1(42 2  xax 的解为 3x ，则 a 的值为（ ） A、2 B、22 C、10 D、—2 例 8 若 2)3( a 与 1b 互为相反数，则 a _____________， b __________； 2、移项的有关概念 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形的过程叫做移项。 这个法则是根据等式的性质推出来的，是解方程的依据。要明白移项就是根据解方程变形的 需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边。 知识概括：①移项不仅仅是位置变化，而是将方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到 另一边； ②移项必变号，“+”变“—”，“—”变“+”；“×” 变“÷”，“÷”变“×”； 即移加变减，移乘变除，移减变加，移除变乘； 3、解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的步骤 主要依据 注意问题 1、去分母 等式的性质 2 注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘 某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为 整数，若分子是代数式，则必加括号。 2、去括号 去括号法则、 乘法分配律 严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏 乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号 一定要变号。 3、移项 等式的性质 1 越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项 不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左 边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项， 把移动过来的项改变符号写在后面。 4、合并同类项 合并同类项法 则 注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其 指数均不改变。 5、系数化为 1 等式的性质 2 两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远 是分母（除数），切不可分子、分母颠倒。 6、检验 知识窗口：①解相同的方程称为同解方程； ②方程两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，方程的解不发生改变（方程 同解原理 1）；方程两边同时乘以（或除以）同一个不为 0 数或代数式，方程的解 不发生改变（方程同解原理 2）； 例 9、解程 5.08 15 6 12  xx 解：根据（ ）得： 12)15(3)12(4  xx （ ）得： 1231548  xx 根据（ ）得： 3412158 x （ ）得： 197  x 根据（ ）得： 7 52x 请选择正确的答案填如上面的括号内 A、去括号 B、合并同类项 C、方程同解原理 1 D、方程同解原理 2 例 10、各方程 ① 6 242 1  yyy ② 14.1 3.02.0 7.0  xx ③ 3 2)3 2(96  x ④ )2(5 11)1(2 1  xx 二、列方程初步（列代数式） 1、列代数式 （1）在解决一些实际问题时，往往需要先把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算 符号的式子写出来，这就是列代数式。 （2）列代数式的实质也就是把文字语言转化成数学符号语言，即用代数式表示。 （3）正确列代数式的关键是：①认真审题，理清数量关系，抓住关键性的词语（字句）；② 正确判断各数量关系中的运算顺序；③要理解并掌握基本的数量关系。如： 路程问题：路程=时间×速度 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 平均速度=总路程÷总时间 轮船航行问题：顺水航行的速度=静水速度+水流速度，逆水航行的速度=静水速度—水流速度 工程问题：工作量=工作时间×工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 利润问题：利润=售价—成本 售价=利润+成本 成本=售价—利润 数字问题：表示数字的方法： 万千百十个 aaaaa  100001000100101 （其中 个a 、 十a 、 百a 、 千a 、 万a 表示个位、十位、百位、千位万位的数字）。 面积问题：记住特殊图形的面积公式，非特殊图形的面积可用“面积分割补法”去计算。 例 11、用代数式表示 ①甲乙两数和的平方与甲乙两数的平方的差的积； ② n 除 m 的商与 c 的差的 2 倍大 1 的数； 例 12、设 n 表示任意一个整数利用含有 n 的代数式表示： ①任意一个偶数；②任意一个奇数；③不能被 3 整除的数；④三个连续偶数的平方和； 例 13、一项工程甲单独完成需要 a 天，乙单独完成需要b 天，若两队合作，完成这项工程需 要多少天？ 例 14、一个水池装有两条进水管，单开甲进水管，x 小时可以将空池注满，单开乙进水管，y 小时可以将空池注满，则两管一起开，一小时可以注水多少？ 例 15、甲乙两人行走，甲走完全程需要时间为，乙走完全程需要时间为，则两人一小时共走 全程的几分之几？ 例 16、一轮船在 A、B 两地航行，已知 A、B 两地相距 skm ，从 A 到 B 是顺水，从 B 到 A 是逆水，轮船在静水中的速度为每小时 mkm ，水流的速度为每小时 nkm ，求轮船在 A、B 两地间往返一次的平均速度。 例 17、轮船在 A、B 两地航行，静水中的速度为每小时 mkm ，水流的速度为每小时 nkm ，求 轮船在 A、B 两地间往返一次的平均速度。 例 18、张大佰从报社以每份 0.4 元的价格购进了 a 份报纸，以每份 0.5 元的价格售出了b 份， 剩余的以每份 0.2 元的价格退回了报社，则张大佰卖报收如_______元。 例 19、某超市为了促销，常用打折的方法.某种商品的零售价为元，先后两次打折，第一次打 八折，第二次打七折，两次打折后的零售价为多少元，比原价便宜多少元？ 例 20、甲、乙两人从同地出发同向而行，甲每小时走 )(kmm ，乙每小时走 )(kmn （ nm  ）， 乙比甲先走 a 小时， 小时后甲可以追上乙。 例 21、上等米每千克售价为 x 元，次等米每千克售价为 y 元，取上等米 a 千克和次等米 b 千 克，混合后为了价格持平，则混合后的大米每千克售价应为多少元？ 例 22、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低 m 元后， 又降价 10%，现售价为 n 元，那么该电脑的原售价为多少？ 例 23、如果用 a 名同学在b 小时内搬运 c 块砖，那么 c 名同学以同样的速度搬运 a 块砖需要多 少时间？ 例 24、—种商品每件进价为 a 元，按进价增加 25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的 九折出售，每件还能盈利多少元？ 例 25、一个四位数，它的千位数字、百位数字、十位数字和个位数字分别是 a 、b 、c 、d 把 这个四位数的顺序逆过来（如 7643 变为 3467），求所得的四位数与原来的四位数的差。 例 26、（1）一个偶数和一个奇数的和是奇数吗？为什么？ （2）三个连续自然数之和是三的倍数？为什么？ 例 27、一个两位数，当它的个位数字是十位数字的 2 倍时，它能被 12 整除吗？为什么？ 三、列方程解应用题 1、列方程解应用题的一般步骤 （1）将实际问题抽象成数学问题； （2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系； （3）设未知数，列出方程； （4）解方程； （5）检验并作答。 2、一些实际问题中的规律和等量关系 （1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列 7 个连续的数，竖列中，下面的数比上面的 数大 7。日历上的数字范围是在 1 到 31 之间，不能超出这个范围。 （2）几种常用的面积公式： 长方形面积公式： abS  ， a 为长，b 为宽， S 为面积；正方形面积公式： 2aS  ， a 为边 长，S 为面积； 梯形面积公式： hbaS )(2 1  ， a 、b 为上下底边长， h 为梯形的高， S 为梯形面积； 圆形的面积公式： 2rS  ， r 为圆的半径， S 为圆的面积； 三角形面积公式： ahS 2 1 ，a 为三角形的一边长，h 为这一边上的高，S 为三角形的面积。 （3）几种常用的周长公式： 长方形的周长： )(2 baL  ， a ，b 为长方形的长和宽， L 为周长。 正方形的周长： aL 4 ， a 为正方形的边长， L 为周长。 圆： rL 2 ， r 为半径， L 为周长。 （4）柱体的体积等于底面积乘以高，当休积不变时，底面越大，高度就越低。所以等积变化 的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积。 （5）打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价–成本。 （6）行程问题中关建的等量关系：路程=速度×时间，以及由此导出的其他关系。 （7）在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等 量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系。 （8）在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系， 从而找出等量关系，列出方程。 （9）关于储蓄中的一些概念： 本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的和；期数：存入 的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=本金×利率×期数；本息=本金+利息。 （10）关于保险中的一个概念：保险率=保险费÷保险金额 例 28、甲、乙、丙三人，甲每分钟走 60 m ，乙每分钟走 67.5 m ，丙每分钟走 75 m ，如果甲、 乙两人在东村，丙在西村，三人同时相向而行，丙遇到乙后 2 分钟又遇到了甲，求东、西两 村的距离。 例 29、甲、乙两轮航行于 A、B 两地之间，由 A 到 B 航速为每小时 35 km ，由 B 到 A 航速为 每小时 25 km ，甲轮由 A 地开往 B 地，乙轮由 B 地开往 A 地，甲轮先行 2 小时，两轮在距 B 地 120 km 处相遇，求 A、B 两地的距离和甲轮航行的时间。 例 30、一架飞机飞行于两城之间，顺风飞行需要 5 小时 30 分钟，逆风飞行需要 6 小时，已知 风速是每小时 24 km ，求两城之间的距离。 例 31、甲步行上午 6 时从 A 地出发于下午 5 时到达 B 地，乙奇自行车上午 10 时从 A 地出发， 于下午 3 时到达 B 地，问乙在什么时候追上甲？ 例 32、某初一学生在做作业时，不慎将墨水打翻，使一道作业搞污且只能看到如下字样：“甲、 乙两地相距 40 km ，摩托车的速度为 45 hkm / ，货车的速度为 35 hkm / ， ？” （涂墨部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业补充完整，并将列方程解答。 例 33、某种酒精溶液里纯酒精与水的比例为 1︰2，现在加进纯酒精 120 g 后配成浓度为 75% 的酒精溶液，问原有酒精溶液多少克？ 例 34、一条环形跑道长 400 m ，甲练习自行车，平均每分钟行 550 m ，乙练习赛跑，平均每 分钟行 250 m ，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 例 35、甲骑自行车从 A 地出发，以每小时 12 km 的速度驶向 B 地，经过 15 分钟后，乙从 B 地骑自行车从 B 地出发，以每小时 14 km 的速度驶向 A 地，两人相遇时，乙已超过中点 1.5 km ， 求 A、B 两地的距离。 例 36、A、B 两地间的路程为 360 km ，甲车从 A 地出发开往 B 地，每小时行驶 72 km ；甲车 出发 25 分钟后，乙车从 B 地从发开往 A 地，每小时行驶 48 km ，两车相遇后，两车仍然按原 来的速度继续行驶，那么相遇以后，两车相距 100 km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 例 37、右图是某年 12 月的日历表： （1）用一个正方形在日历中任意框出 4 个数，若这四个数 字的和为 76，求这 4 个数。 （2）若是用一个长方形在日历中任意框出 4 个数，且这四 个数字的和为 a ，求这 4 个数（用含 a 的式子表示）。 例 38、右图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间 的小等边三角形的边长是 a，则六边形的周长是 . 例 39、右图是某风景区的旅游路线示意图，其中 B、C、D 为风景点， E 为两条路的交叉点，图中的数据为相应两点间的路程（单位： km ）， 以学生从 A 处出发，以 2 hkm / 的速度步行游览，每个景点的逗留时 间均为 0.5 小时。 （1）当他沿着路线 A—D—C—E—A 游览回到 A 处时， 共用了 3 小时，求 C—E 的路程； （2）若此学生打算从 A 处出发，步行速度与在每个景 点逗留的时间不变，且在 4 小时内看完三个景点返 回到 A 处，请你为他设计一条步行路线，并说明你 的设计理由（不考虑其他因素）。 练习题： 一、填空题： 1、请写出一个一元一次方程：_____________________。 2、如果单项式 22 3 2 zxy m 与 213 zxy m 是同类项，则 m=____________。 3、如果 2 是方程 1)(4  axax 的解，求 a=_____________。 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 39 30 31 C E B D A 1 1.2 0.4 1 1.6 4、代数式 16354  xx 和 的值是互为相反数，求 x=_______________。 5、如果|m|=4，那么方程 mx  2 的解是___________________。 6、在梯形面积公式 S = hba )(2 1  中，已知 S=10，b=2，h=4 求 a=_________。 7、方程 413)12( 2  xxa 是一元一次方程，则 a ______________。 8、如右图是 2008 年 12 月份的日历，现用一正方形在日历 中任意框出 4 个数 ，这四个数字的和为 55，设 a 为 x ，则可列出方 程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、选择题： 1、三个连续的自然数的和是 15，则它们的积是（ ） A、125 B、210 C、64 D、120 2、下列方程中，是一元一次方程的是（ ） （A） ;342  xx （B） ;0x （C） ;12  yx （D） .11 xx  3、方程 2 12  x 的解是（ ） （A） ;4 1x （B） ;4x （C） ;4 1x （D） .4x 4、已知等式 523  ba ，则下列等式中不一定．．．成立的是（ ） （A） ;253 ba  （B） ;6213  ba （C） ;523  bcac （D） .3 5 3 2  ba 5、解方程 26 31 xx  ，去分母，得（ ） （A） ;331 xx  （B） ;336 xx  （C） ;336 xx  （D） .331 xx  6、下列方程变形中，正确的是（ ） （A）方程 1223  xx ，移项，得 ;2123  xx （B）方程  1523  xx ，去括号，得 ;1523  xx （C）方程 2 3 3 2 t ，未知数系数化为 1，得 ;1x （D）方程 15.02.0 1  xx 化成 .63 x 7、重庆力帆新感觉足球队训练用的足球是由 32 块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可 看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为 3:5，要求出黑皮、白皮的块数， 若设黑皮的块数为 x ，则列出的方程正确的是（ ） （A） ;323 xx  （B）  ;3253 xx  （C）  ;3235 xx  （D） .326 xx  8、珊瑚中学修建综合楼后，剩有一块长比宽多 5m、周长为 50m 的长方形空地. 为了美化环 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 a c b d 境，学校决定将它种植成草皮，已知每平方米草皮的种植成本最低是 a 元，那么种植草皮至少 需用（ ） （A） a25 元； （B） a50 元； （C） a150 元； （D） a250 元. 三、解方程： 1、    xx 2152831  2、 )2(572 xx  3、 14 32 6 3  xx 4、 )1(3 2)]1(2 1[2 1  xxxx 5、 103.0 02.003.0 3 9.02.0  xx 6、已知多项式 )345()132( 2222 xyxxxmx  是否存在 m ，使此多项式与 x 无 关？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由。 四、应用题： 1、在日历上，小明的爷爷生日那天的上、下、左、右 4 天之和为 80，你能说出小明的爷 爷是生日是哪天吗？请说明你的理由。 2、把一段铁丝围成长方形时，发现长比宽多 2cm，围成一个正方形时，边长正好为 4cm， 求当围成一个长方形时的长和宽各是多少？ 3、用一个底面半径为 4cm，高为 12cm 的圆柱形杯子向一个底面半径为 10cm 的大圆柱形 杯子倒水，倒了满满 10 杯水后，大杯里的水离杯口还有 10cm，大杯子的高底是多少？ 4、某单位去年为全体职工投保了团体人身意外伤害保险，如果每年的保险率是 0.2%，每 人的保险金额都是 5000 元，这个单位去年向保险公司交纳了 1200 元的保险费，该单位去年 共有职工多少人？ 第四章：图形的初步认识 知识要求： 1、经历观察、测量、折叠、模型制作与图案设计等活动，发展空间概念； 2、在现实情景中认识线段、射线、直线、角等简单平面图形。 3、能用数学符号表示角、线段； 4、会进行线段或角的比较，能估计一个角的大小，会进行角的单位的简单换算； 5、经历在操作活动中探索图形性质的过程，了解线段、射线、直线、角等简单平面图形，丰 富数学学习的成功体验，积累操作活动经验，发展有条理的思考与表达； 6、借助三角尺、量角器、方格纸等工具，会画角、线段，能进行简单的图案设计，并能表达 和交流自己的设计方案。 知识重点： 线段、射线、，线段长短及角大小的比较。 知识难点： 角的单位换算，准确理解线段、直线、射线和角等基本概念，进行简单的图案设计，这些都 是本章的难点。 考点： 本章在考察中往往单独成题，多以填空题的形式出现，其中主要是识别图形、判断线的类型， 对线段、直线、射线及角 概念的理解，根据图形对线段的长度和角的度数进行推理计算，对 角度关系进行换算，是考试的重点。主要考察学生对基本概念和基本要领的掌握情况。 知识点： 一 几何图形 几何学：数学中以空间形式为研究对象的分支叫做几何学。 从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。几何图形可分为立体图形和平面图形；各 个部分不都在同一平面内的几何图形叫做立体图形，各个部分都在同一平面内的几何图形叫 做平面图形。 1、几何图形的投影问题 每一种几何体从不同的方向去看它，可以得到不同的简单平面几何图形。实际上投影所 得到的简单平面几何图形是被投影几何体可遮挡视线的最大部分在平面内所留下的影子。 2、立体图形的展开问题 将立体图形的表面适当剪开， 一 点、线、面、体 1、点、线、面、体的概念 点动成线，线动成面，面动成体 由平面和曲成围成一个几何体 2、点、线、面和体之间的关系 (1)点动成线、线动成面、面动成体； (2)体是由面组成、面与面相交成线、线与线相交成点； 例 1、如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连． 二、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的定义 （1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。 （2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。 （3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。 概念剖析：①线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点； ②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”， 即射线和直线既没有明确的长度，也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线 之间的长短比较之说； ③线段只有长短之分，而没有大小之别，射线和直线既没有长短之分，也没有大 小之别； 例 1、下列说法正确的是（ ） A、5 ㎝长的直线比 3 ㎝长的直线要长 2 ㎝； B、线段向两个方向无限延伸就形成了直线； C、直线和射线都是不可度量的，所以它们都无法表示； D、直线 AB、射线 AB 和线段 AB 表示的都是同一几何图形； 2、线段、射线、直线的表示方法 （1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。 （2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。 （3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来 表示。 概念剖析：①将线段的两个端点位置颠倒，得到的新线段与原来的线段是同一线段，即线段 AB 与线段 BA 是同一线段； ②将表示射线的两个点位置颠倒，得到的新射线与原来的射线不是同一射线，即 射线 AB 与射线 BA 不是同一射线，因为它们的端点和方向不同； ③将表示直线的两个点位置颠倒，得到的新直线与原来的直线是同一直线，即直 线 AB 与直线 BA 是同一直线； ④识别图中线段的条数要把握一点：只要有一个端点不相同，就是不同的线段； ⑤识别图中射线的条数要把握两点：端点和方向缺一不可； 例 2、看图回答问题 （1）图中有线段 条、分别是 、 、 ； （2）图中有射线 条、分别是 、 、 、 、 、 ； （3）图中有直线 条，它是 ； 线段、射线、直线的联系： ①射线和直线都是有线段无限延伸形成的，把线段向一个方向无限延伸就成了射线，把 线段向两个方向无限延伸就形成了直线。 ②射线和线段都可以看成是直线的一部分。 线段、射线、直线的区别： ①线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点； ②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，即 射线和直线既没有明确的长度，也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长 短比较之说； ③直线不能延伸，射线只能向一个方向延伸，线段可以向两个方向延伸； 例 3、根据语句画出图形． 例：读下列语句，并按照语句画出图形： （1）直线 L 经过 A、B 两点，点 B 在点 A 的左边． （2）直线 AB、CD 都经过点 O，点 E 不在直线 AB 上，但在直线 CD 上． 3、直线公理：过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。 4、线段的比较 （1）叠合比较法；（2）度量比较法。 A B C 5、线段公理：“两点之间，线段最短”。连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。 6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。 若 C 是线段 AB 的中点，则：AC=BC= 2 1 AB 或 AB=2AC=2BC。 二、角 1、角的概念： （1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫 角的顶点。 （2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。 2、角的表示方法： 角用“∠”符号表示 （1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间） （2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。 （3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。 （4）直接用一个大写英文字母来表示。 3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。 4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是 60 进制与时间单位 是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。 5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 （1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。 （2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。 （3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。 6、画两个角的和，以及画两个角的差 （1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。 （2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。 7、角的平分线 从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。 若 BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD= 2 1 ∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 8、角的计算。 练习题： 一、选择题 1、如图，以 O 为端点的射线有（ ）条 A、3 B、4 C、5 D、6 2、平面上有任意三点，经过其中两点画一条直线，可以画（ ）直线 A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、1 条或者 3 条 3、点 C 在线段 AB 上，不能判断点 C 是线段 AB 中点的式子是（ ） A、AB=2AC B、AC+BC=AB C、BC= AB2 1 D、AC=BC 4、下列画图语句中，正确的是（ ） A、画射线 OP=3cm B、连结 A、B 两点 C、画出 A、B 两点的中点 D、画出 A、B 两点的距离 5、下列说法中正确的是（ ） A、角是由两条射线组成的图形 B、一条射线就是一个周角 C、两条直线相交，只有一个交点 D、如果线段 AB=BC，那么 B 叫做线段 AB 的中点 6、在同一平面内，两条直线的位置可能是（ ） A、平行 B、相交 C、相交或平行 D、以上都不对。 7、如图，∠AOB=90°，以 O 为顶点的锐角共有（ ）个 A、6 B、5 C、4 D、3 8、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线（ ） A、垂直 B、平行 C、垂直或平行 D、以上都不是 二、填空题 9、如图，点 A、B、C、D 在直线 l 上 （1）AC=_______－CD；AB + _______ + CD=AD； （2）图中共有________条线段，共有_______条射线，以点 C 为端点的射线是________。 10、45°=______直角=_______平角。 11、（1）23°30′=________°；（2）78.36°= ______°____′________″。 12、如果 a∥b，b∥c，那么 a_____c。 13、如图，∠AOD=∠AOC+_______=∠DOB+_______。 三、解答题 14、如图，M 是线段 AC 的中点，N 是线段 BC 的中点。 （1）如果 AC=8cm，BC=6cm，求 MN 的长 （2）如果 AM=5cm，CN=2cm，求线段 AB 的长 15、如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，且∠AOB=150°，求∠COD 的度数。 16、只剪一刀，将图（1）一分为二后，能再拼出后面图（2）—（6），问：应该怎么剪。 四、选择题 1、按下列线段的长度，点 A、B、C 一定在同一直线上的是（ ） A、AB=2cm，BC=2cm，AC=2cm B、AB=1cm，BC=1cm，AC=2cm C、AB=2cm，BC=1cm，AC=2cm B、AB=3cm，BC=1cm，AC=1cm 2、8 点 30 分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（ ） A、70° B、75° C、80° D、60° 3、直线 l 上有两点 A、B，直线 l 外两点 C、D，过其中两点画直线，共可以画（ ） A、4 条直线 B、6 条直线 C、4 条或 6 条直线 D、无数条直线 4、或∠1 和∠2 为锐角，则∠1+∠2 满足（ ） A、0°<∠1+∠2<90° B、0°<∠1+∠2<180° C、∠1+∠2<90° D、90°<∠1+∠2<180° 5、下面说法正确的是（ ） A、过两点有且只有一条直线 B、平角是一条直线 C、两条直线不相交就一定平行 D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 一、填空题． 1．在墙上钉一根木条需_______个钉子，其根据是________． 2．如下图（1）所示，点 A 在直线 L______，点 B 在直线 L________． 3．如下图（2）所示，直线_______和直线______相交于点 P；直线 AB 和直线 EF相交于 点______；点 R 是直线________和直线________的交点． 4．如下图（3）所示，图中共有_____条线段，它们是________；共有______条射线，它 们是________． 二、选择题． 5．下面几种表示直线的写法中，错误的是（ ）． A．直线 a B．直线 Ma C．直线 MN D．直线 MO 三、解答题． 6．根据下列语句画出图形： （1）直线 L 经过 A、B、C 三点，点 C 在点 A 与点 B 之间； （2）两条直线 m 与 n 相交于点 P； （3）线段 a、b 相交于点 O，与线段 c 分别交于点 P、Q． 7．探索规律： （1）若直线 L 上有 2 个点，则射线有_____条，线段有______条； （2）若直线 L 上有 3 个点，则射线有_____条，线段有______条； （3）若直线 L 上有 4 个点，则射线有_____条，线段有______条； （4）若直线 L 上有 n 个点，则射线有_____条，线段有______条． 第五章：生活中的数据 知识要求： 1、通过对“100 万有多大”这一节的学习，让学生对 100 万有一个直观的印象，学会有熟悉 的事物来描述 100 万。 2、学会用科学记数法表示大于 10 的数，并能体会科学记数法的简便。 3、通过对统计图的学习，会选择合适的统计图来解决实际问题。 4、认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。根据统计结 果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，培养交 流能力。 知识重点： 科学记数法及感受大数的含义；认识并制作扇形统计图，理解三种统计图的不同特点，并能 根据具体问题选择适当的统计图描述数据。 知识难点： 会用科学记数法表示数，学会制作扇形统计图，会使用三种统计图。 考点： 本章在考试只的主要考查点是：科学记数法、统计图的制作及读取 知识点： 1、通过对 100 万的认识，学习如何用熟悉的事物表达大数，提高估算能力。 2、一般地，一个大于 10 的数可以表示成 na 10 的形式，其中 a 是只有一位整数位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。（a 相当于是把小数点移到第一位即最高位数的后面 得到的一个大于等于 1 小于 10 的数，n 等于这个原数的整数位减去 1，也可以看成是小数点 移动的位数。） 3、扇形统计图表明的是部分在总体中所占的百分比，一般不能直接从图中得到具体数量，用 圆代表的是总体 1，圆的大小与具体数量大小没有关系。 4、会计算圆心角大小，扇形圆心角=该部分百分比×360°。 5、画扇形统计图的步骤：先调查收集数据，根据数据计算百分比，圆心角，画出扇形，标出 百分比。 6、三种统计图的各自特点： （1）条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目； （2）折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况； （3）扇形统计图：能清楚地表示出各部分在全体中所占的百分比。 练习题： 一、填空题： 1、常见的统计图有____________、_____________、____________三种。 2、折线统计图能反映事物的__________，条形统计图能表示每个项目的_________，扇形统 计图能表示出各部分在总体中的________________。 3、要反映某厂的年产值增长情况应选用_______________统计图 4、某校师生员工共有 1800 人，学生占总人数的 85%，教师占总人数的 12%，则学生人数为 ___________；教师的人数为___________，后勤人员人数为___________，选择_______统计 图能清楚地表示出师生员工的数量。 5、根据统计图填空： （1）__________类人数最多，__________类人数最少。 （2）这里工人共有_______人。 （3）技术人员相当于工人的_______%，管理人员占总人数的_______%，管理人员比勤务人 员少________人。 二、选择题 6、记录一个病人体温变化情况应选用的统计图是（ ） A、扇形统计图 B、条形统计图 C、折线统计图 D、都可以 7、某汽车厂 1—6 月份汽车产量如图，平均每月制造的汽车的辆数是（ ） A、423 B、446 C、475 D、453 三、解答题 8、如图是某造纸厂一年中各季度纸的产量统计图： （1）看图写出每季度生产纸的吨数； （2）从图上看出，哪一季度的产量增长最快？这一季度比前一季度增长了百分之几？ （3）求该厂平均每月生产纸的吨数。 9、根据扇形统计图回答问题： （1）哪项球类活动最受欢迎？ （2）哪两项球类活动的人数受欢迎的程度差不多？ （3）爱好哪项球类活动的人约占总人数的四分之一？ （4）求表示爱好羽毛球、乒乓球、足球、篮球、其他球的人的圆心角度数。 三、平行线和垂线 1、平行线的定义： （1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。 （2）平行线用“∥”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平 行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在 的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行。 2、平行的公理及推论： （1）平行公理：若经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）平行公理的推论：两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也相互平行。（平行 于同一直线的两直线平行） 3、画已知直线的平行线的方法 用直尺和三角板画平行线。 4、垂直的概念： （1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂 线，它们的交点叫做垂足。 （2）两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂直。 （3）两条直线垂直用“⊥”来表示，如直线 AB 与直线 CD 垂直，记作：AB⊥BC 5、垂线段的概念： A B C D （1）过一点 A 做直线 a 的垂线，垂足为 B，则线段 AB 叫直线 a 的垂线段。 （2）直线外一点 A 到直线 a 的垂线段长度叫点 A 到直线 a 的距离。 6、垂直的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 四、七巧板 七巧板的制作：七巧板由 5 块三角形，1 块正方形，一块平行四边形组成。 将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是 1、 如图所示的物体，是由四个相同的小长方形堆砌而成的，那么这个物体的左视图是 D C B A 在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼 成三角形和梯形的是