人教版 七年级下册寒假同步课程(培优版)2平行线.教师版

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文档介绍

人教版 七年级下册寒假同步课程(培优版)2平行线.教师版

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平 行 线 及 其 判 定 了解平行线的概念,理解同一 平面内两条直线的位置关系, 掌握平行公里及推论,会画平 行线 掌握平行公里及推论,掌握平 行线的三种判定方法 运用平行线的判定方法解决实 际问题 初步了解推理论 证的方法,逐步 培养逻辑推理能 力 平行线性质 知道过直线外一点有且仅有一 条直线平行于已知直线 理解两条平行线之间距离的意 义,会度量两条平行线之间的 距离 会用三角尺或直尺过已知直线 外一点画这条直线的平行线 掌握平行线的性质,会判断两 条直线是否平行 知识点 1.平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线 a 与直线b 互相平行,记作 a ∥b 。 2.平行线的性质:平行线之间的距离处处相等. 3.两条直线的位置关系 在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把 重合的两直线看成一条直线) 注意:判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定: ①有且只有一个公共点,两直线相交; ②无公共点,则两直线平行; ③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线) 4.平行线的画法: 平行线的画法是几何画图的基本技能之一,在以后的学习中,会经常遇到画平行线的问题.方法为: 一“落”(三角板的一边落在已知直线上), 二“靠”(用直尺紧靠三角板的另一边), 三“移”(沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点), 四“画”(沿三角板过已知点的边画直线). 5.平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 6.平行公理的推论: 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 7.平行线的判定 两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 简称:同位角相等,两直线平行 方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行 简称:内错角相等,两直线平行 方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行 简称:同旁内角互补,两直线平行 方法四 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 方法五 (平行线公理推论)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 方法六 (平行线定义)在同一平面内,不相交的两条直线平行 8.平行线的性质: 性质一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等 平行线 2 简称:两条直线平行,同位角相等 性质二:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等 简称:两条直线平行,内错角相等 性质三:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补 简称:两条直线平行,同旁内角互补 9.两条平行线间的距离: 同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两 条平行线的距离。平行线间的距离处处相等 一、平行线基础 【例 1】(1)判断:两条直线不相交必平行. (2)平面内不相交的两条射线平行吗? 【解析】略 【答案】(1)错误 (2)不一定 【例 2】学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张 半透明的纸得到的如图 2: ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) b c a P P P P 图 2 从图中可知,小敏画平行线的依据有( ) ①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等; ③同位角相等,两直角平行;④内错角相等,两直线平行; A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解析】由折纸方法可知,直线 a ,b 都和直线 c 互相垂直.所以 a b∥ ,理由是③或④.故选 C 【答案】C 【例 3】如图所示,将一张长方形纸对折三次,则产生的折痕与折痕间的位置关系是( ) A、平行 B、垂直 C、平行或垂直 D、无法确定 【解析】根据平行公理和垂直的定义解答. 【答案】∵长方形对边平行,∴根据平行公理,前两次折痕互相平行,∵第三次折叠,是把平角折成两个 相等的角,∴是 90°,与前两次折痕垂直.∴折痕与折痕之间平行或垂直.故选 C. 【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解,需要熟练掌握. 【例 4】在同一平面内,两条直线可能的位置关系是( ) A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、平行、相交或垂直 【解析】在同一平面内,两条直线的位置关系是平行或相交. 【答案】根据在同一平面内,两条直线的位置关系是平行或相交.可知 A、B 都不完整,故错误,而 D 选 项中,垂直是相交的一种特殊情况,故选 C. 3 【点评】本题主要考查了同一平面内,两条直线的位置关系,注意垂直是相交的一种特殊情况,不能单独 作为一类. 【例 5】在如图的几何体中,上下底面都是平行四边形,各个侧面都是梯形,那么图形中与 AB 平行的线段 有( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 【解析】根据几何体的性质,与 AB 同方向的棱都与线段 AB 平行,找出即可. 【答案】如图,与 AB 平行的线段有:CD、A′B′、C′D′共 3 条.故选 C. 二、平行公理 【例 6】下列说法不正确的是( ) A、过任意一点可作已知直线的一条平行线 B、同一平面内两条不相交的直线是平行线 C、在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D、平行于同一直线的两直线平行 【解析】根据平行线的定义及平行公理进行判断. 【答案】A 中,若点在直线上,则不可以作出已知直线的平行线,而是与已知直线重合,错误. B、C、D 是公理,正确.故选 A. 【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理,熟练掌握公理、定理是解决本题的关键. 【例 7】三条直线 a、b、c,若 a∥c,b∥c,则 a 与 b 的位置关系是( ) A、a⊥b B、a∥b C、a⊥b 或 a∥b D、无法确定 【解析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行”进行分析,得出 正确答案. 【答案】由于直线 a、b 都与直线 c 平行,依据平行公理的推论,可推出 a∥b,故选 B. 【点评】本题考查的重点是平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行. 【例 8】下列命题中真命题是( ) A、过一点可以画无数条直线和已知直线平行 B、如果甲看乙的方向是北偏东 60°,那么乙看甲的方向是南偏西 30° C、三条直线交于一点,对顶角最多有 6 对 D、与同一条直线相交的两条直线相交 【解析】对各选项分析判断后利用排除法求解. 【答案】A、过直线外一点可以画一条直线和已知直线平行,故本选项错误; B、如果甲看乙的方向是北偏东 60°,那么乙看甲的方向是南偏西 60°,故本选项错误; C、三条直线交于一点,对顶角最多有 6 对,正确; 4 D、与同一条直线相交的两条直线可以相交,也可以平行,故本选项错误.故选 C. 【点评】本题主要考查几何基础知识,打好基础是走向成功的关键. 【例 9】下列说法:(1)两点之间的距离是两点间的线段;(2)如果两条线段没有交点,那么这两条线段 所在直线也没有交点;(3)邻补角的两条角平分线构成一个直角;(4)同一平面内,过一点有且只 有一条直线与已知直线垂直;(5)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正 确的是( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【解析】根据相关的定义或定理,逐一判断,排除错误答案. 【答案】(1)两点之间的距离是两点间的线段长度,故(1)错误; (2)如果两条线段没有交点,那么这两条线段所在直线不一定没有交点,故(2)错误; (3)邻补角的两条角平分线一定构成一个直角,故(3)正确; (4)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故(4)正确; (5)同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故(5)错误. 其中正确的是 2 个.故本题选 B. 【点评】本题主要考查公理定义,熟练记忆公理和定义是学好数学的关键. 【例 10】下列推理中,错误的是( ) A、因为 AB⊥EF,EF⊥CD,所以 AB⊥CD B、因为∠α=∠β,∠β=∠γ,所以∠α=∠γ C、因为 a∥b,b∥c,所以 a∥c D、因为 AB=CD,CD=EF,所以 AB=EF 【解析】根据相关的定义或定理判断. 【答案】A、AB⊥EF,EF⊥CD,答案不确定,有多个答案,AB 可能与 CD 平行,也可能垂直,在空间中 也可能异面等,故 A 选项错误; B、由∠α=∠β,∠β=∠γ,根据角的等量代换可知,∠α=∠γ,故 B 选项正确; C、由 a∥b,b∥c,根据平行线的平行的传递性可知 a∥c,故 C 选项正确; D、根据线段长度的等量代换可知 AB=EF,易知 D 选项正确; 综上所述,答案选 A. 【点评】主要考查学生对平行公理及推论的运用,注意等量代换的应用. 【例 11】设 a.b.c 表示三条直线,下列推理不正确的是( ) A、∵a∥b,b∥c,∴a∥c B、∵a⊥b,b⊥c,∴a∥c C、∵a∥b,b⊥c,∴a⊥c D、∵a⊥b,b⊥c,∴a⊥c 【解析】根据平行公理及公理的推论对各选项分析后利用排除法求解. 【答案】A、∵a∥b,b∥c,∴a∥c,是平行公理,正确; B、∵a⊥b,b⊥c,∴a∥c,是公理的推论,正确; C、∵a∥b,b⊥c,∴a⊥c,是公理的推论,正确; D、应为∵a⊥b,b⊥c,∴a∥c,故本选项错误. 故选 D. 【点评】本题考查了平行公理以及公理的推论,都是需要熟记的知识. 【例 12】三条不同的直线 a、b、c,其中 a⊥b,a⊥c,则直线 b 与直线 c 的关系是( ) A、相交 B、平行 C、垂直 D、不确定 【解析】根据平行线的性质:垂直于同一直线的两条直线互相平行可知直线 b 与直线 c 的关系是平行. 【答案】∵a⊥b,a⊥c∴a∥c.故选 B. 三、平行线的性质与判定 5 【例 13】下列图形中,由 AB CD∥ ,能得到 1 2   的是( ) D C B A D C B A A B C D D C B A 2 1 1 2 2 1 1 2 A B C DA B C D 【解析】略 【答案】B. 【例 14】如图, ABC 中CD AB 于 D ,DE BC∥ ,交 AC 与 E .过 BC 上任意一点 F ,作 FG AB 于G , 求证: 1 2   . 【解析】略 【答案】∵ FG AB CD AB , , ∴GF CD∥ ∴ 1 BCD   , ∵ DE BC∥ , ∴ 2 BCD   , ∴ 1 2   【例 15】有一直的纸带,如图折叠时,   _________. 【解析】∵ AC BD∥ ∴ 30CBE   由折叠问题可知: ABC ABD   ∴  1 180 30 752ABD       ∵ AC BD∥ ∴ 75ABD     【答案】 75 【例 16】如图, AB CD∥ , AD AC , 32ADC  °,则 CAB 的度数是 . 6 图1 D C B A 【解析】略 【答案】122° 【例 17】如图, A B C, , 和 D E F, , 分别在同一直线上, AF 分别交CE BD, 于点 G H, .已知 C D EGF BHA     , .求证: A F   . 【解析】略 【答案】∵ EGF BHA   , EGF AGC   ∴ BHA AGC   ∴CE BD∥ ∴ C ABD   又∵ C D   ∴ ABD D   ∴ DF AC∥ ∴ A F   【例 18】如图,直线l 与直线 a ,b 相交.若 a b∥ , 1 70  °,则 2 的度数是 . 图2 2 1 b a l 【解析】略 【答案】110°. 【例 19】如图,已知 AB CD∥ ,CE 平分 ACD ,且交 AB 于 E , 118A   ,则 ______AEC  . 【解析】∵ AB CD∥ ∴ 180A ACD     ∴ 62ACD   , ∵ CE 平分 ACD ∴ 31ECD   ∵ AB CD∥ ∴ 31AEC ECD     【答案】 31 . 7 【例 20】如图,已知 a b∥ , 1 70   , 2 40   ,则 3  __________. 【解析】略 【答案】 70 【例 21】已知:如图 3,CD AB 于 D , EF AB 于 F , CD 平分 ACB .请找出与 BCD 相等的角. 图2 F E B D A C 【解析】∵CD 平分 ACB (已知),∴ BCD ACD   (角平分线的定义) ∵CD AB , EF AB (已知),∴ CD EF∥ (垂直于同一直线的两直线平行) ∴ AEF ACD   (两直线平行,同位角相等), ACD BCD   (等量代换) ∴与 BCD 相等的角有 ACD 和 AEF . 【答案】 ACD 和 AEF . 【例 22】如图, DH EG BC∥ ∥ ,且 DC EF∥ ,那么图中与 BFE 相等的角(不包括 BFE )的个数是 ( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】本题考查平行线的性质,由图形找到与 BFE 相等的角有 DCB , GEF , GAC , HDC , DAE 【答案】C 【例 23】如下图,已知: AB CD∥ , ABF DCE   ,求证: BFE FEC   F E D C B A 【解析】(法 1):如图所示,过点 F 作 FG AB∥ ,过点 E 作 EH CD∥ , 则 AB FG HE CD∥ ∥ ∥ ,则 1ABF   , 4DCE   , 2 3   ,又因为 ABF DCE   ,所以 1 4   , 即 BFE FEC   8 4 3 2 1 A B C D E F (法 2):如图所示,延长 BF , DC 相交于 G 点, ∵ AB CD∥ ,∴ ABF BGD   ∵ ABF DCE   , ∴ BGD DCE   , ∴ BG EC∥ ,∴ BFE FEC   如果延长 CE , AB 相交于 H 点,如右图,也可用同样的方法证明 G A B C D E F (法 3):如右图所示,连接点 B , C ∵ AB CD∥ ,∴ ABC BCD   , ∵ ABF DCE   ,∴ 1 2   ∴ BF EC∥ ,∴ BFE FEC   2 1 A B C D E F 【例 24】如下图,已知 AB CD∥ , 1 4EAF EAB   , 1 4ECF ECD   ,求证: 3 4AFC AEC   D C F E B A 【解析】如右图所示,分别过点 E , F 做 AB 和CD 的平行线, 易得: AEC EAB ECD     4 4 4( )EAF ECF EAF ECF        AFC FAB FCD     3 3 3( )EAF ECF EAF ECF        即有: 3 4AFC AEC   2 1 A B C D E F A B E F C D 9 【例 25】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截,有几对同位角,几对内错角,几对同旁内角. ⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律. 【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截,有 4 对同位角, 2 对内错角, 2 对同旁内角. ⑵ 当有 3 条平行线时,有 3 4=12 对同位角, 3 2=6 对内错角, 3 2=6 对同旁内角; 当有 4 条平行线时,有 6 4=24 对同位角, 6 2 12  对内错角, 6 2 12  对同旁内角; 当有 5 条平行线时,有10 4 40  对同位角,10 2 20  对内错角,10 2 20  对同旁内角. ⑶ 当 n 条线彼此平行时,被直线 m 所截,即 1l ∥ 2l ∥…∥ nl , 则共有( 1l , 2l )、( 1l , 3l )、( 1l , 4l )、…( 1l , nl );( 2l , 3l )、( 2l , 4l )、…( 2l , nl )、… 2 1( , )n nl l- - 、 2( , )n nl l- 、 1( , )n nl l- 共( ) ( ) ( )11 2 2 1 2 n nn n -- + - + + + = 对平行线,每对平行线被 m 所截,产生 4 对同位角, 2 对内错角, 2 对同旁内角,则共有    1 4 2 12 n n n n     对同位角,    1 2 12 n n n n     对内 错角,    1 2 12 n n n n     对同旁内角. 【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截,有 4 对同位角, 2 对内错角, 2 对同旁内角. ⑵ 当有 3 条平行线时,有12 对同位角, 6 对内错角, 6 对同旁内角; 当有 4 条平行线时,有 24 对同位角,12 对内错角,12 对同旁内角; 当有 5 条平行线时,有 40 对同位角,10 2 20  对内错角,10 2 20  对同旁内角. ⑶ 当 n 条线彼此平行时,被直线 m 所截,即 1l ∥ 2l ∥…∥ nl , 则共有 ( )1 2 n n - 对平行线,每对平行线被 m 所截,产生 4 对同位角, 2 对内错角, 2 对同旁内角, 则共有 ( )2 1n n - 对同位角, ( )1n n - 对内错角, ( )1n n - 对同旁内角 四、图形的平移 【例 26】如图, △ ABC 经过怎样的平移得到 △ DEF( ) A、把 △ ABC 向左平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位 B、把 △ ABC 向右平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位 C、把 △ ABC 向右平移 4 个单位,再向上平移 2 个单位 D、把 △ ABC 向左平移 4 个单位,再向上平移 2 个单位 【解析】根据平移的性质可知,图中 DE 与 AB 是对应线段,DE 是 AB 向右平移 4 个单位,再向上平移 2 个单位得到的. 【答案】由题意可知把 △ ABC 向右平移 4 个单位,再向上平移 2 个单位得到 △ DEF.故选 C. 【点评】本题主要考查了平移的性质,观察图象,分析对应线段作答. 【例 27】作图题:在方格纸中,将 △ ABC 向右平移 3 个单位得到 △ A1B1C1,画出 △ A1B1C1. 10 【解析】分别找出 △ ABC 向右平移 3 个单位后对应的关键点,然后顺次连接即可. 【答案】如下图 所画 △ A1B1C1 即为所求. 【点评】本题考查了平移变换中的作图问题,属于基础题,关键是找出平移后的关键点. 【例 28】将△ABC 沿 AD 平移,A 点平移到点 D,画出平移后的△DEF. 【解析】连接 AD,过 B、C 分别做 AD 的平行线,并且在平行线上截取 BE=CF=AD,连接 ED,EF,DF, 得到的 △ DEF 即为平移后的 △ DEF. 【答案】 11 . 【点评】用到的知识点为:平移前后的图形的对应点的连线平行且相等. 课后作业 1.如右图, △ DEF 是由 △ ABC 平移得到的,AD=4cm,DF=7cm,那么 DC= cm. 【解析】根据平移的性质得出 AC=DF,再利用 AD=4,DF=7,即可求出 DC 的长. 【答案】∵将 △ ABC 沿射线 AC 平移得到 △ DEF,AD=4,DF=7,∴AC=DF,∴DC=AC﹣AD=DF﹣AD=7 ﹣4=3.故答案为:3. 【点评】此题主要考查了平移的性质,根据题意得出 AC=DF,DC=AC﹣AD=DF﹣AD=AD=CF 是解决问 题的关键. 2.如图,AE 平分∠BAC,CE 平分∠ACD,不能判定 AB∥CD 的条件是( ) A、∠1=∠2 B、∠1+∠2=90° C、∠3+∠4=90° D、∠2+∠3=90° 【解析】考查平行线的判定问题,可由同位角,内错角相等及同旁内角互补等,判定两直线平行. 【答案】∵AE 平分∠BAC,CE 平分∠ACD,∴∠1=∠3,∠2=∠4, A、∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4,同旁内角相等,并不能判定两直线平行,故错误; B、∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即同旁内角互补,可得其平行,故 B 对; C、D、同 B,皆由同旁内角互补,可判定其平行,故 C,D 都对. 故选 A. 【点评】熟练掌握平行线的判定定理. 3.如图所示,若∠1 与∠2 互补,∠2 与∠4 互补,则( ) A、l3∥l4 B、l2∥l5 12 C、l1∥l5 D、l1∥l2 【解析】由已知易得∠1=∠4,然后根据两角的位置关系判断两条被截线的关系. 【答案】∵∠1 与∠2 互补,∠2 与∠4 互补,∴∠1=∠4(同角的补角相等), ∴l1∥l5(内错角相等,两直线平行).故选 C. 【点评】解决本题的关键是运用补角的性质:同角的补角相等.
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