2013届人教A版文科数学课时试题及解析(53)直线与圆锥曲线的位置关系A

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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(53)直线与圆锥曲线的位置关系A

课时作业(五十三)A [第53讲 直线与圆锥曲线的位置关系]‎ ‎ [时间:45分钟 分值:100分]‎ ‎1.过点P(-1,0)的直线l与抛物线y2=5x相切,则直线l的斜率为(  )‎ A.± B.± C.± D.± ‎2.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是(  )‎ A.1 B.‎2 C.1或2 D.0‎ ‎3.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则双曲线的离心率是(  )‎ A. B.‎2 C. D. ‎4.方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是________.‎ ‎5.直线y=x+m与抛物线x2=2y相切,则m=(  )‎ A.- B.- C.- D. ‎6.“≤a”是“曲线Ax+By+C=0与+=1(a>b>0)有公共点”的(  )‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎7.抛物线x2=16y的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形的面积是(  )‎ A.16 B.‎8 C.4 D.2 ‎8.椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B.-‎1 C. D.-1‎ ‎9. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为(  )‎ A.2 B.‎2 C.4 D.4 ‎10.已知抛物线y2=2px(p>0),过点(p,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1与抛物线交于P、Q两点,l2与抛物线交于M、N两点,l1的斜率为k,某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为,则弦MN的中点坐标为________.‎ ‎11.若直线y=(a+1)x-1与y2=ax恰有一个公共点,则a=________.‎ ‎12. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________________.‎ ‎13. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若=,则p=________.‎ ‎14.(10分) 已知动圆P过点F且与直线y=-相切.‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点F作一条直线交轨迹C于A,B两点,轨迹C在A,B两点处的切线相交于点N,M为线段AB的中点,求证:MN⊥x轴.‎ ‎15.(13分) 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4.‎ ‎(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆焦点坐标;‎ ‎(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M,N两点,记直线PM,PN的斜率分别为kPM,kPN,当kPM·kPN=-时,求椭圆的方程.‎ ‎16.(12分)已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=,椭圆C2的方程为+=1(a>b>0),C2的离心率为,如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程.‎ 课时作业(五十三)A ‎【基础热身】‎ ‎1.C [解析] 显然斜率存在不为0,设直线l的方程为y=k(x+1),代入抛物线方程消去x得ky2-5y+5k=0,由Δ=(-5)2-4×5k2=0,得k=±.故选C.‎ ‎2.A [解析] 因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.故选A.‎ ‎3.C [解析] 设切点为P(x0,y0),则切线斜率为k=y′=2x0,依题意有=2x0.又y0=x+1,解得x0=±1,所以=2x0=2,b=‎2a,所以e==.故选C.‎ ‎4.m<且m≠0 [解析] 首先m≠0,m≠1,根据已知,m2<(m-1)2,即m2-(m2-‎2m+1)<0,‎ 解得m<.所以实数m的取值范围是m<且m≠0.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.A [解析] 将直线方程代入抛物线方程,得x2-2x-‎2m=0,由Δ=4+‎8m=0,得m=-.故选A.‎ ‎6.B [解析] 如果两曲线有公共点,可得椭圆中心到直线的距离d=≤a;反之不一定成立.故选B.‎ ‎7.A [解析] 抛物线的准线为y=-4,双曲线的两条渐近线为y=±x,这两条直线与y=-4的交点是A(-4,-4),B(4,-4),故围成三角形的面积为 S=|AB|×4=×8×4=16.故选A.‎ ‎8.D [解析] 依题意直线y=2x与椭圆的一个交点坐标为(c,‎2c),所以+=1,消去b整理得a2-‎2ac-c2=0,所以e2+2e-1=0,解得e=-1±.又e∈(0,1),所以e=-1.故选D.‎ ‎9.B [解析] 双曲线-=1的渐近线为y=±x,由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1)得-=-2,即p=4.又∵+a=4,∴a=2,将(-2,-1)代入y=x得b=1, ‎ ‎∴c===,∴‎2c=2.‎ ‎10.(k2p+p,-kp) [解析] 因为两直线互相垂直,所以直线l2的斜率为-,只需将弦PQ中点坐标中的k替换为-,就可以得到弦MN的中点坐标,于是得弦MN的中点坐标为(k2p+p,-kp).‎ ‎11.0或-1或- [解析] 由得(a+1)y2-ay-a=0.当a≠-1时,令Δ=a2+‎4a(a+1)=0,解得a=0或a=-;当a=-1时,方程仅有一个根y=-1,符合要求.所以a=0或-1或-.‎ ‎12.-=1 [解析] 椭圆方程为+=1,则c2=a2-b2=7,即c=,又双曲线离心率为椭圆离心率的2倍,所以双曲线的离心率为e=,又c=,所以a=2,所以b2=c2-a2=7-4=3,所以双曲线方程为-=1.‎ ‎13.2 [解析] 抛物线的准线方程为x=-,过点M的直线方程为y=(x-1),所以交点A.因为=,所以点M是线段AB的中点,由中点公式得B.又点B在抛物线上,于是32=2p×,即p2+4p-12=0,解得p=-6(舍去)或p=2.‎ ‎14.[解答] (1)由已知,点P到点F的距离等于到直线y=-的距离,根据抛物线的定义,可得动圆圆心P的轨迹C为抛物线,其方程为x2=y.‎ ‎(2)证明:设A(x1,x),B(x2,x).‎ ‎∵y=x2,∴y′=2x,‎ ‎∴AN,BN的斜率分别为2x1,2x2,‎ 故AN的方程为y-x=2x1(x-x1),‎ BN的方程为y-x=2x2(x-x2),‎ 即 两式相减,得xN=.‎ 又xM=,‎ 所以M,N的横坐标相等,于是MN⊥x轴.‎ ‎15.[解答] (1)由b=得b=,‎ ‎∴又‎2a=4,a=2,a2=4,b2=2,‎ c2=a2-b2=2,‎ ‎∴两个焦点坐标为(,0),(-,0).‎ ‎(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,‎ 不妨设:M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y),‎ M,N,P在椭圆上,则它们满足椭圆方程,故有+=1,+=1,两式相减得:=-.‎ 由题意它们的斜率存在,则kPM=,kPN=,‎ kPM·kPN=·==-,‎ 则-=-,由a=2得b=1,‎ 故所求椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[解答] 由e=,得=,得a2=‎2c2,b2=c2.‎ 设椭圆C2方程为+=1,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由圆心为(2,1),得x1+x2=4,y1+y2=2.‎ 又+=1,+=1,‎ 两式相减,得+=0.‎ 所以=-=-1,‎ 所以直线AB的方程为y-1=-(x-2),‎ 即x+y-3=0.‎ 将上述方程代入+=1,‎ 得3x2-12x+18-2b2=0,(*)‎ 又直线AB与椭圆C2相交,所以Δ=24b2-72>0.‎ 且x1,x2是方程(*)的两根,‎ 所以x1+x2=4,x1x2=6-.‎ 由|AB|=|x1-x2|= ‎=2×,‎ 得×=2×.‎ 解得b2=8,故所求椭圆方程为+=1.‎ ‎ ‎
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