数学文·海南省五指山中学2017届高三文科数学模拟试卷（四） Word版含解析

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海南省五指山中学 2017届高三文科数学模拟试卷（四） 第 I 卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.设集合 ， ，则 (　　) A. B. C. D. 1.解:利用交集的定义求解. ，选 B. 2.若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 (　　) A. B. C. D. 2.解:因为 ，所以 ，选 C. 另解:因为 ,所以 ,选 C. 3.设非负实数 满足 ,则 的最大值是(　　) A. B. C. D. 3.解:画出可行域,平移直线 经过点 时取得最大值 ，选 A. 4.曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形面积为(　　) A. B. C. D. 4.解:因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，切 线 方程为 ，与坐标轴的交点为 和 ，所以与坐标轴围成的三角形的面积 为 ，选 D. 5.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是 ，则判断框中的整数 的值为(　　) A. B. C. D. 5.解:若输出结果是 ，则该程序框图共运行 次，此时 ， { }2 2M x x= − ≤ ≤ { }1,0,4N = − M N = { }1,0,4− { }1,0− { }0,4 { }2, 1,0− − { }1,0M N = − z (2 ) 10 5z i i− = + i z = 25 10 5 5 210 5 (10 5 )(2 ) (2 ) 3 42 (2 )(2 ) i i iz i ii i i + + += = = + = +− − + 2 23 4 5z = + = 10 5 2 iz i += − 10 5 5 210 5 52 2 2 i iiz i i i + ++= = = =− − − ,x y 3 2 4 x y x y + ≤  + ≤ 3 2z x y= + 7 6 9 12 3 2y x= − (1,2) 7 1xy e= + (0,2) 0y = 0x = 1 2 2 3 1 2 xy e′ = 1xy e= + (0,2) 0 0 1xk y e=′= = = 2y x= + ( 2,0)− (0,2) 1 2 2 22S = × × = 255 N 6 7 8 9 255 7 1 2 71 2 2 2 255S = + + + + = 则 成立， 不成立，所以判断框内的整数 的值为 ，选 B. 6.圆心在抛物线 上，并且和抛物线的准线及 轴都相切的圆的标准方程是(　　) A. B. C. D. 6.解:由题意可得圆与 轴的切点是抛物线的焦点 ，所以圆心为 ，半径为 ， 所求圆的方程为 ，选 B. 7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　) A. B. C. D. 7.解:由三视图可得该几何体是正三棱柱，底面边长为 、高为 ，所以体积为 ，选 A. 8.已知 是 的中线，若 ，则 的最小值是(　　) A. B. C. D. 8.解:由题意可得 ，所以 ， ,当且仅当 时,等号成立,即 ,选 C. 9. 的三个内角 所对的边分别是 ,若 , ,则 的面积 ( ) A. B. C. D. 9.解:由 得 ,则 , 所以 ,又 ,且 , , 所以 ,即 ,解得 或 (舍去), 7 N≤ 8 N≤ N 7 2 2x y= y 2 2( 2) ( 1) 4x y± + − = 2 21( 1) ( ) 12x y± + − = 2 2( 1) ( 2) 4x y− + ± = 2 21( ) ( 1) 12x y− + ± = y 1(0, )2 1( 1, )2 ± 1 2 21( 1) ( ) 12x y± + − = 3 3 3 4 3 4 2 3 2 1 23 2 1 34V = × × = AE ABC∆ 120 , 2BAC AC AB∠ = ⋅ = −   AE 1− 0 1 2 cos120 2AC AB AC AB⋅ = ⋅ = −    4AC AB⋅ =  2 2 2 2 221 1 1( ) ( 2 ) 1 ( )4 4 4AE AB AC AB AC AB AC AB AC= + = + + ⋅ = − + +         11 12 AB AC≥ − + ⋅ =  2AB AC= =  1AE ≥ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2, 19a c= = tan tan 3 3 tan tanA B A B+ = − ABC∆ ABCS∆ = 3 3 2 3 2 3 2 1 2 tan tan 3 3 tan tanA B A B+ = − tan tan 3 tan( )1 tan tan A B A BA B + = = +− 3A B π+ = 2 3C π= 2 2 2 22 cos 3c a b ab π= + − 2a = 19c = 219 4 2b b= + + 2 2 15 0b b+ − = 3b = 5b = − 所以 ,选 A. 10.在平面直角坐标系 中，双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，一条渐近线方程为 ，则它的离心率为(　　) A. B. C. D. 10.解:由题意可得 ，则 ，所以 ,则 ,选 D. 11.函数 的图象如下， 则 (　　) A. B. C. D. 11.解:由图象知 ，函数的周期 ，即 , 所以 ， 当 时， ,所以 ,则 , 因为 ,则 , 所以 ,选 D. 12.已知函数 ,若 ，则 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 12.解:作出函数 和 的图象，当 时， ， y， ， 即在原点左边的曲线的切线斜率为 ， 由图象可知 时， ，选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.将 本不同的语文书和 本英语书在书架上随机排成一行，则 本语文书相邻的概率为 ________. 13.解:设 本不同的语文书为 , 本英语为 ,则 本书随机排成一行有 　3 排成一行有 种不同的排法，其中 本语文书相 1 3 3sin2 2ABCS ab C∆ = = xOy y 2 0x y− = 2 3 5 2 5 1 2 a b = 2b a= 2 2 2 24b c a a= − = 5e = ( ) sin( ) ( 0, )2f x A x b πω ϕ ω ϕ= + + > < (0) (1) (2) (2016)f f f f+ + + + = 504 1008 2016 2017 1 , 12A b= = 4T = 2 2T π πω = = 1( ) sin( ) 12 2f x x π ϕ= + + 0x = 1(0) sin 1 12f ϕ= + = 0ϕ = 1( ) sin 12 2f x x π= + 3 1(0) 1, (1) , (2) 1, (3)2 2f f f f= = = = (0) (1) (2) (3) 4f f f f+ + + = (0) (1) (2) (2016) 504 4 (0) 2017f f f f f+ + + + = × + = 2 2 log ( 1)( 0)( ) 2 ( 0) x xf x x x x + >=  − + ≤ ( )f x mx≥ m [0,2] [ 2,0]− ( ,2]−∞ [ 2, )− +∞ ( )y f x= y mx= 0x ≤ 2( ) 2y f x x x= = − 2 2y x′ = − (0) 2k f ′= = − 2− ( )f x mx≥ 2 0m− ≤ ≤ 2 1 2 2 1 2,a a 1 b 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1, , , , ,a a b a ba ba a a a b a ba ba a 6 2 邻 的排法有 种，所以所求的概率为 . 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 三所大学时，甲说：我去过的大学比乙多， 但没去过 大学；乙说：我没去过 大学；丙说：我们三人去过同一所大学，由此可判断 乙 去过的大学为________. 14.解:由于甲没有去过 大学，乙没有去过 大学，而丙说三人去过同一大学，所以三人 都 去过 大学.而甲去过的大学比乙多，所以乙只能去过 大学. 15 圆柱形容器内盛有高度为 的水,若放入三个相同的球(球的半径与 圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 　　　　　　 . 15.解:设球半径为 ,则由 , 可得 ,解得 . 16.若函数 对任意的 ， 恒成立，则实数 的 取值范围为________． 16.解:由题意可知 为奇函数，且在定义域内为增函数，所以 可 变 形为 ，则 ，将其看作关于 的一次函数 ， ，可得当 时， 恒成立， 则 或 ,解得 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 12 分)已知数列 , 满足下列条件: , , . (1)求数列 的通项公式; (2)比较 与 的大小. 17.解:(1)由 知, , , , ,各式相加得 , 4 4 2 6 3P = = , ,A B C A B A B C C 8cm cm r 3V V V+ =球 水 柱 3 2 243 + 8 63 r r r rπ π π× × = × 4r = 3( ) 3f x x x= + [ 2,2]m∈ − ( 2) ( ) 0f xm f x− + < x ( )f x ( 2) ( ) 0f xm f x− + < ( 2) ( )f xm f x− < − 2xm x− < − m ( ) ( 2)g m x m x= ⋅ + − [ 2,2]m∈ − [ 2,2]m∈ − ( ) 0g m < 0 (2) 0 x g ≥  < 0 ( 2) 0 x g <  − < 22 3x− < < { }na { }nb 16 2 2n na −= × − 1 1b = n n na b b+= − { }nb na 2 nb 1n n nb b a+ − = 1 2 1 3 2 2b b− = × − 2 3 2 3 2 2b b− = × − 3 4 3 3 2 2b b− = × − 1 1 1 3 2 2n n n nb b a − − −− = = × − 1 2 1 1 3(2 2 2 ) 2( 1)n nb b n−− = + + + − − 所以 , 所以数列 的通项公式为 ; (2)设 , 当 时, ,则 ,当 时, ,则 , 当 时, ,则 . 18. 是指空气中直径小于或等于 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究 车流 量与 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 的数 据如 下表： (1)根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图； (2)根据上表数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ； (3)若周六同一时间段车流量是 万辆，试根据(2)求出的线性回归方程预测，此时 的浓度为多少（保留整数）？ 18.解:(1)散点图如下图所示. ……………………2 分 1 1 2(1 2 )3 2( 1) 3 2 2 31 2 n n nb b n n −−= + × − − = × − −− { }nb 3 2 2 3n nb n= × − − 12 2(3 2 2 3) (6 2 2) 3 2 4( 1)n n n n n nc b a n n−= − = × − − − × − = × − + 1n = 1 0c < 2 n nb a< 2n = 2 0c = 2 n nb a= 2n > 0nc > 2 n nb a> PM2.5 2.5 PM2.5 PM2.5 y x y bx a= +   25 PM2.5 50 52 54 56 58 72 70 74 76 78 80 y x O (2) ， ，………6 分 ， ， ， ， ………………………9 分 故 关于 的线性回归方程是： .………………………10 分 (2)当 时， 所以可以预测此时 的浓度约为 .…………………………………………12 分 19.(本小题 12 分)如图, 为圆 的直径,点 在圆 上,且 ,矩形 所 在的平面和圆 所在的平面互相垂直,且 . (1)求证: ; (2)设 的中点为 ,求证: ; (3)设平面 将几何体 分成的两个锥体的体积分别为 , , 求 . 50 51 54 57 58 545x + + + += = 69 70 74 78 79 745y + + + += = 5 1 ( )( ) 4 5 3 4 3 4 4 5 64i i i x x y y = − − = × + × + × + × =∑ 5 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 4) ( 3) 3 4 50i i x x = − = − + − + + =∑ 5 1 5 2 1 ( )( ) 64 1.2850( ) i i i i i x x y y b x x = = − − = = = − ∑ ∑  74 1.28 54 4.88a y bx= − = − × = y x ˆ 1.28 4.88y x= + 25x = 1.28 25 4.88 36.88 37y = × + = ≈ PM2.5 37 AB O ,E F O //AB EF ABCD O 2, 1AB AD EF= = = AF CBF⊥ 面 CF M //OM DAF面 CBF EFABCD F ABCDV − F BCEV − :F ABCD F BCEV V− − 19.(1)证明:因为 , , ,所以 , 因为 ,所以 . 又因为 为圆 的直径,所以 . ,所以 ; (2)解:设 的中点为 ,连接 , ,则 , , 因为 ,所以 , 因为 ,所以 (3)解:连接 ,则 , 因为 , ,所以 , 所以 ,故 . 20.已知抛物线 : 上的点 到焦点 的距离为 . (1)求抛物线的方程. (2)设动直线 与抛物线 相切于点 ,且与其准线相交于点 ,问在坐标平面内是否存在 定点 ,使得以 为直径的圆恒过定点 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理 由. 20.解:(1)由条件知 ,即 ,所以抛物线的方程为 ; (2)设动直线 方程为 ,则联立得 , 整理得 ,则 , 解得 ,把 代入 ,解得 , 把 代入 ,解得 ,不妨设 , 把 代入 ,当 时, ,则点 , 设 ,则 , , 因为 在以 为直径的圆上,所以 ,则 , ABCD ABEF⊥面 面 CB AB⊥ ABCD ABEF AB=面 面 CB ABEF⊥ 面 AF ABEF⊂ 面 CB AF⊥ AB O AF BF⊥ CB BF B= AF CBF⊥ 面 BF N MN ON //ON AF // //MN CB AD MN ON N= OMN DAF⊥面 面 OM OMN⊂ 面 //OM DAF面 BD 2 2F ABCD F ABD F BCD F ABD D AFBV V V V V− − − − −= + = = //AB EF 2, 1AB EF= = 2AFB FEBS S∆ ∆= 2 2D AFB C FEB F BCEV V V− − −= = : 4:1F ABCD F BCEV V− − = C 2 2 ( 0)y px p= > (2, )a F 3 l C A B D AB D D 2 32 p+ = 2p = 2 4y x= l ( 0)y kx b k= + ≠ 2( ) 4kx b x+ = 2 2 22( 2) 0k x kb x b+ − + = 2 2 24( 2) 4 0kb k b∆ = − − = 1b k = 1b k = 2 2 22( 2) 0k x kb x b+ − + = 2 1x k = 2 1x k = 2 4y x= 2y k = ± 2 1 2( , )A k k 1b k = y kx b= + 1x = − 1y k k = − + 1( 1, )B k k − − + ( , )D m n 2 1 2( , )AD m nk k = − − 1( 1, )BD m n k k = + + − D AB AD BD⊥  0AD BD⋅ =  即 ,所以 , 化简整理得 , 所以当且仅当 时,上式对任意 恒成立, 即存在 ,使得以 为直径的圆恒过点 . 21.已知函数 的导函数 为偶函数，且曲线 在 点 处的切线的斜率为 . (1)确定 的值； (2)当 时，判断 的单调性； (3 若 有极值，求 的取值范围. 21.解:(1)对 求导得, ， 由 为偶函数，知 ， 即 对 恒成立,所以 又 解得 ; …………3 分 （2）当 时， ， 则 , 故 在 上为增函数. …………6 分 (3)由(1)知 ， 而 当 时,等号成立. …………8 分 下面分三种情况进行讨论. 当 时，对任意 ，此时 无极值； ……9 分 当 时，对任意 ，此时 无极值； …10 分 当 时，令 方程 有两根， 所以 有两个根 当 时， ；当 时， , 2 1 2 1( , ) ( 1, ) 0m n m n kk k k − − ⋅ + + − = 2 1 2 1( ) ( 1) ( ) ( ) 0m m n n kk k k − ⋅ + + − ⋅ + − = 2 2 1 3(1 ) ( 2) 0nm nk m mk k − − + + + − = 1, 0m n= = k R∈ (1,0)D AB D ( ) ( , , )x xf x ae be cx a b c R−= − − ∈ ( )f x′ ( )y f x= (0, (0))f 2 c− ,a b 1c = ( )f x ( )f x c ( )f x ( ) x xf x ae be c−′ = + − ( )f x′ ( ) ( )f x f x′ ′− = ( )( ) 0x xa b e e−− − = x R∈ a b= (0) 2f a b c c′ = + − = − 1, 1a b= = 1c = ( ) x xf x e e x−= − − ( ) 1 2 1 1 0x x x xf x e e e e− −′ = + − ≥ ⋅ − = > ( )f x R ceexf xx −+=′ −)( ,22 =⋅≥+ −− xxxx eeee 0x = 2−+=′∈ − ceexfRx xx ( )f x 2=c 0,x ≠ 02)( >−+=′ −xx eexf ( )f x 2>c ,te x = 01,01 2 =+−=−+ cttctt 即 ,2 4 2 4 2 2 2 1 −+=<−−= cctcct ( ) 0f x′ = .ln,ln 2211 txtx == 1 2x x x< < ( ) 0f x′ < 2x x> ( ) 0f x′ > 从而 在 处取得极小值. 综上，若 有极值，则 的取值范围为 . …………12 分 22.如图所示，AB 为圆 O 的直径，CB，CD 为圆 O 的切线，B，D 为切点. (1)求证：AD∥OC； (2)若圆 O 的半径为 2，求 AD·OC 的值. (1)证明　连接 BD，OD， ∵CB，CD 是圆 O 的两条切线， ∴BD⊥OC，又 AB 为直径， ∴AD⊥DB，AD∥OC. (2)解　由 AD∥OC， ∴∠DAB＝∠COB， ∴Rt△BAD∽Rt△COB， AD OB＝ AB OC， AD·OC＝AB·OB＝8. 23.已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角 坐标 系，直线 的参数方程为 （ 为参数）. (1)写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； (2)设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，设 为曲线 上任一点，求 的最小值，并求相应点 的坐标. 23. 解 :(1) 因 为 , 所 以 , 则 直 线 的 普 通 方 程 为 , 又因为曲线 的极坐标方程是 ，所以曲线 的直角坐标方程为 ; (2)因为 ,所以 ,则 ,所以曲线 得方程为 , ( )f x 2x x= ( )f x c ),2( +∞ C 2=ρ x l    += += ty tx 32 1 t l C C    = = yy xx 2 1 C′ ( , )M x y C′ 2 23 2x xy y− + M    += += ty tx 32 1 1 1 2 3 x y − =− l 0233 =+−− yx C 2=ρ C 422 =+ yx    = = yy xx 2 1 2 x x y y ′=  ′= 2 24 4x y′ ′+ = C′ 2 2 14 x y ′ ′+ = 设 为 , ,则 , 当 时, 有最小值，最小值为 ,此时 为 . 24.(1)已知 a，b 都是正数，且 a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2； (2)已知 a，b，c 都是正数，求证： a2b2＋b2c2＋c2a2 a＋b＋c ≥abc. 24.证明:(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2， 因为 a ，b 都是正数，所以 a＋b＞0， 又因为 a≠b，所以(a－b)2＞0，于是(a＋b)(a－b)2＞0， 即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，所以 a3＋b3＞a2b＋ab2. (2)因为 b2＋c2≥2bc，a2≥0，所以 a2(b2＋c2)≥2a2bc.① 同理 b2(a2＋c2)≥2ab2c.② c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得 2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而 a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c). 由 a，b，c 都是正数，得 a＋b＋c＞0， 因此 a2b2＋b2c2＋c2a2 a＋b＋c ≥abc. M 2cos , sinx yθ θ′ ′= = [0,2 ]θ π∈ )32cos(2323 22 πθ ++=+− yxyx 3 πθ = 2 23 2x xy y− + 1 M 3(1, )2