【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第1章第1节集合学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第1章第1节集合学案

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题.‎ ‎1.考查形式 本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现．‎ ‎2.考查内容 从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算；常用逻辑用语主要从四个方面考查：分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“且”“或”“非”以及全称量词与存在量词．‎ ‎3.备考策略 ‎(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎①集合的交、并、补集运算问题；‎ ‎②充分条件、必要条件的判断问题；‎ ‎③含有“且”“或”“非”的命题的真假性的判断问题；‎ ‎④含有一个量词的命题的否定问题．‎ ‎(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.‎ 第一节　集合 ‎[最新考纲]　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．‎ ‎1．集合与元素 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示．‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋)‎ Z Q R ‎2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)‎ A⊆B或(B⊇A)‎ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB或BA 集合 相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B ‎3．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}‎ 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}‎ 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ‎∁UA＝{x|x∈U且x∉A}‎ ‎1．集合子集的个数 对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.‎ ‎2．集合的运算性质 ‎(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.‎ ‎(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.‎ ‎(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；‎ ‎∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩‎ ‎(∁UB)．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　)‎ ‎(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　)‎ ‎(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　)‎ ‎(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．若集合A＝{x∈N|x≤2}，a＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A．{a}⊆A　　　　　 B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A D　[由题意知A＝{0,1,2}，由a＝，知a∉A.]‎ ‎2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．‎ ‎64　[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，‎ ‎∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，‎ ‎∴M∪N的子集有26＝64个．]‎ ‎3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪‎ B)＝________.‎ ‎[答案]　{x|x是直角}‎ ‎4．方程组的解集为________．‎ 　[由得 故方程组的解集为.]‎ ‎5．已知集合A＝{x|x2－x－6＜0}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.‎ ‎(－2,1)　(－∞，3)　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，‎ ‎∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]‎ 考点1　集合的概念 ‎　与集合中的元素有关的问题的求解思路 ‎(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．‎ ‎(2)看清元素的限制条件．‎ ‎(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．‎ ‎　1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A．9　　 B．‎8　‎　　　‎ C．5　　 D．4‎ A　[由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.]‎ ‎2．已知集合A＝{m＋2,‎2m2‎＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ ‎－　[由题意得m＋2＝3或‎2m2‎＋m＝3，‎ 则m＝1或m＝－.‎ 当m＝1时，m＋2＝3且‎2m2‎＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； ‎ 当m＝－时，m＋2＝，而‎2m2‎＋m＝3，符合题意，‎ 故m＝－.]‎ ‎3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.‎ ‎0或　[当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－‎8a＝0，即a＝.]‎ ‎4．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 020＋b2 020＝________.‎ ‎1　[由已知得a≠0，则＝0，‎ 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.]‎ ‎　(1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T2，T4.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T3.‎ 考点2　集合的基本关系 ‎　判断两集合关系的方法 ‎(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．‎ ‎(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．‎ ‎　(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)‎ A．AB B．BA C．A⊆B D．B＝A ‎(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤‎2m－1}，若B⊆A，则实数 m的取值范围为________．‎ ‎(1)B　(2)D　(3)(－∞，3]　[(1)由题意知A＝{x|y＝，x∈R}，‎ 所以A＝{x|－1≤x≤1}．‎ 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，‎ 所以BA，故选B.‎ ‎(2)因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．‎ ‎(3)因为B⊆A，‎ 所以①若B＝∅，则‎2m－1＜m＋1，此时m＜2.‎ ‎②若B≠∅，则解得2≤m≤3.‎ 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．]‎ ‎[母题探究]‎ ‎1．(变问法)本例(3)中，若BA，求m的取值范围．‎ ‎[解]　因为BA，‎ ‎①若B＝∅，成立，此时m＜2.‎ ‎②若B≠∅，则且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.‎ 综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．‎ ‎2．(变问法)本例(3)中，若A⊆B，求m的取值范围．‎ ‎[解]　若A⊆B，则即所以m的取值范围为∅.‎ ‎3．(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，试求m的取值范围．‎ ‎[解]　因为B⊆A，‎ 所以①当B＝∅时，‎2m－1＜m＋1，即m＜2，符合题意．‎ ‎②当B≠∅时，或 解得或即m＞4.‎ 综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．‎ ‎　(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．‎ ‎(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．‎ ‎　1.设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)‎ A．6个　 B．5个　　　‎ C．4个　 D．3个 A　[由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．]‎ ‎2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．‎ ‎[－2,2)　[①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，‎ 解得－2＜m＜2，符合题意；‎ ‎②若1∈B，则12＋m＋1＝0，‎ 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；‎ ‎③若2∈B，则22＋‎2m＋1＝0，‎ 解得m＝－，此时B＝，不合题意．‎ 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．]‎ 考点3　集合的基本运算 ‎　集合运算三步骤 ‎　集合的运算 ‎　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝(　　)‎ A．{x|－4＜x＜3}　　 B．{x|－4＜x＜－2}‎ C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}‎ ‎(2)(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝(　　)‎ A．{－1} B．{0,1}‎ C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}‎ ‎(3)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于(　　)‎ A．(－1,1) B．(0,1)‎ C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎(1)C　(2)A　(3)C　[(1)∵N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，‎ ‎∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.‎ ‎(2)∵∁UA＝{－1,3}，∴(∁UA)∩B＝{－1}，故选A.‎ ‎(3)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，‎ ‎∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.]‎ ‎[逆向问题]　已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)‎ A．{1,3}　 B．{3,7,9}‎ C．{3,5,9} D．{3,9}‎ D　[法一：(直接法)因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．‎ 法二：(Venn图)如图所示．‎ ‎]‎ ‎　集合运算的常用方法 ‎(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．‎ ‎(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．‎ ‎　利用集合的运算求参数 ‎　(1)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)‎ A．0　　 B．1 ‎ C．2　　 D．4‎ ‎(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a 的取值范围是(　　)‎ A．a＜1 B．a≤1‎ C．a＞2 D．a≥2‎ ‎(1)D　(2)D　[(1)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.‎ ‎(2)B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，‎ 又A∩B＝B，故B⊆A.‎ 又A＝{x|x＜a}，结合数轴，可知a≥2.]‎ ‎　利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ‎(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．如T(1)．‎ ‎(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到，如T(2)．‎ 提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(　　)‎ A．77　　 B．‎49　‎　　　‎ C．45　　 D．30‎ C　[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.‎ ‎]‎ ‎2．设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若A∩B 中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D．(1，＋∞)‎ B　[A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图像的对称轴为直线x＝a(a＞0)，f(0)＝－1＜0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，‎ 所以有即所以 即≤a＜.故选B.]‎ ‎　1.(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝(　　)‎ A．(－∞，1)　 B．(－2,1)‎ C．(－3，－1) D．(3，＋∞)‎ A　[由题意得A＝{x|x＜2或x＞3}，B＝{x|x＜1}，‎ ‎∴A∩B＝{x|x＜1}．]‎ ‎2．(2019·洛阳模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}‎ C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}‎ D　[依题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D.]‎ ‎3．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,‎2a}．若A∩B＝{4}，则a＝________.‎ ‎3　[因为A∩B＝{4}，所以a＋1＝4或‎2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若‎2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3.]‎