【数学】山东济南市历城第二中学2019-2020学年高一下学期学业水平检测试题 （解析版）

【数学】山东济南市历城第二中学2019-2020学年高一下学期学业水平检测试题 （解析版）

山东济南市历城第二中学2019-2020学年高一下学期 学业水平检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.复数满足，则的虚部为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，其虚部是－4．‎ 故选：D．‎ ‎2.已知向量，则（ ）‎ A. B. 10 C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，所以．‎ 因为，所以解得，‎ 所以，所以．‎ 故选：A ‎3.已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，，40，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以第30百分位数为，第50百分位数为，‎ 所以，所以 故选：B ‎4.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是（ ）‎ A. 与为互斥事件 B. 与为对立事件 C. 与非相互独立事件 D. 与为相互独立事件 ‎【答案】C ‎【解析】与可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，所以不为互斥事件，也非相互独立事件；‎ 与可以同时发生所以不是对立事件；‎ 与，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，不是相互独立事件.‎ 故选：C.‎ ‎5.如图，在正方体中，分别为中点，则异面直线与的夹角为（ ）‎ A. 30° B. 60° C. 45° D. 90°‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为中点，为中点，‎ 所以为的中位线，所以，‎ 所以异面直线与的夹角即与的夹角，‎ 在正方体中，因为平面，‎ 所以，又，且，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以，‎ 所以异面直线的夹角为90°．‎ 故选：D ‎6.在中，则此三角形的形状为（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 ‎ C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理，又因为，‎ 所以．‎ 即，用两角和的正弦公式展开左边，得：，‎ 整理得，‎ 所以，‎ 又因为和是三角形的内角，‎ 所以，此三角形为等腰三角形．‎ 故选：A.‎ ‎7.如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（ ）‎ A. 0.504 B. 0.994 C. 0.996 D. 0.964‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，所求概率为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于容易题．‎ ‎8.如图，在中，是的中点，在边上，与交于点，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 因为三点共线，所以，解得：‎ 所以，即，所以，所以．‎ 故选：C.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）‎ 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 ‎55‎ ‎149‎ ‎191‎ ‎135‎ 乙 ‎55‎ ‎151‎ ‎110‎ ‎135‎ A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B. 甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C. 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）‎ D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 ‎【答案】ABC ‎【解析】甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数相同，A正确；‎ ‎，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B正确.‎ 甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误.‎ 故选：ABC ‎10.在中，内角所对的边分别为．若且该三角形有两解，则的值可以为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【详解】由正弦定理得，且，所以，即．‎ 因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．‎ 故选：AB．‎ ‎11.已知两不重合的直线与两个不重合的平面则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若平面，平面，则 C. ，则 D. ，则 ‎【答案】BCD ‎【解析】对A，由，平面与可以相交或平行，故A错误；‎ 对B，因为平面，平面，根据平行于同一平面的两平面平行，可得，故B正确；‎ 对C，因为，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得，故C正确；‎ 对D，因为，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得，故D正确 故选：BCD ‎12.设点是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，则的形状为等边三角形 B. 若，则点是边的中点 C. 过任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的垂心 D. 若则点在边的延长线上 ‎【答案】AB ‎【解析】对于A选项，如图所示．‎ 作于，则，‎ 因为，‎ 所以为的中点，‎ ‎．同理可证，‎ 为等边三角形．故A正确．‎ 对于B选项：，‎ 即：，则点是边的中点，故B正确；‎ 对于C选项：因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点，‎ 则，有．‎ 如图：‎ 则有直线经过的中点，‎ 同理可得直线经过的中点，直线经过的中点，‎ 所以点是重心，故C错误．‎ 对于D选项：，，‎ 则点在边的延长线上，故D错误．‎ 故选：AB 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.复数满足，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 即 故答案为：‎ ‎14.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．‎ ‎15.已知点为内一点，，则 的面积之比为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 设为中点，为中点，因为，‎ 可得，所以三点共线，且，‎ 为三角形的中位线 所以，‎ 而，所以的面积之比等于 故答案为：‎ ‎16.已知在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，因为，‎ 所以，,‎ 所以和为直角三角形，公共的斜边为，‎ 取的中点为，连接、.则，，‎ 所以点为三棱锥外接球的球心，‎ 则三棱锥外接球半径.‎ 所以.‎ 故答案为：‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知为实数，设复数．‎ ‎（1）当复数为纯虚数时，求的值；‎ ‎（2）设复数在复平面内对应的点为，若满足，求的取值范围．‎ 解：（1）由题意，得，解得；‎ ‎（2）复数在复平面内对应的点的坐标为，‎ 该点的坐标满足，则，解得，‎ 所以的取值范围为．‎ ‎18.济南市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分；‎ ‎（2）已知样本中，成绩在[140，150]内的有2‎ 名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率．‎ 解：（1）设第四个矩形的高是x，‎ 所以，‎ 解得，‎ 成绩不低于120分的频率是0.7，可估计高三年级不低于120分的人数为人．‎ ‎（2）由直方图知，成绩在[140150]的人数是6，记女生为，男生为，‎ 这6人中抽取2人的情况有，共15种．‎ 其中至少有一名女生的有，共9种，‎ 所以至少有一名女生的概率为.‎ ‎19.中，角及所对的边满足．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ 解：（1）由正弦定理及可得 ‎，‎ 又 ‎，‎ ‎，‎ 又，，，；‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ 解得；‎ ‎.‎ ‎20.如图，在四棱锥中底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ 解：（1）连接，交于点，连接，‎ 四边形为正方形，是的中点，‎ 又为的中点，，‎ 又平面，平面，平面；‎ ‎（2）底面为正方形，．‎ 平面平面，且平面平面，平面，‎ 平面，平面，，‎ 又是正三角形，为的中点，，‎ ‎，平面．‎ 平面，平面平面．‎ ‎21.为了配合新冠疫情防控，某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市中抽取1000名学生进行调査，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300）的概率，特设计如下随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0,1,2,3，…9的前若干个数字表示线上学习时间在[200,300）的同学，剩余的数字表示线上学习时间不在[200,300）的同学；再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况．‎ 假设用上述随机模拟方法已产生了表中的30组随机数，请根据这批随机数估计概率的值；‎ ‎907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556‎ ‎438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231‎ ‎（2）为了进一步进行调查，用分层抽样的方法从这1000名学生中抽出20名同学，在抽取的20人中，再从线上学习时间[350,450）（350分钟至450分钟之间）的同学中任意选择两名，求这两名同学来自同一组的概率．‎ 解：（1）由频率分布直方图可知，线上学习时间在[200,300）的频率为，所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间在[200,300）的同学，数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间不在[200,300）的同学；观察上述随机数可得，3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300）的有191,271,932,812,431,393,027,730,206,433,138,602，共有12个．而基本事件一共有30个，根据古典概型的定义可知该市3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300）的概率为．‎ ‎（2）抽取的20人中线上学习时间在[350,450）的同学有人，其中线上学习时间在[350,400）的同学有三名设为，线上学习时间在[400,450）的同学有两名设为，从5名同学中任取2人的基本事件空间为，共有10个样本点；用表示“两名同学来自同一组”这一事件，则，共有4个样本点，所以 ‎．‎ ‎22.已知，是的中点．‎ ‎（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；‎ ‎（2）若是线段上任意一点，且，求最小值；‎ ‎（3）若点是内一点，且，求的最小值．‎ 解：（1）因为，所以，‎ 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系．‎ 令，则，‎ 所以， ‎ 设向量，与向量的夹角为，‎ ‎，‎ ‎（2）因为，所以，‎ 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系．‎ 因为，则，‎ 设 ‎ ，‎ 当且仅当时，的最小值是．‎ ‎（3）设，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 同理：，‎ 当且仅当时，所以．‎