【数学】2019届一轮复习苏教版 逆矩阵的概念 学案

【数学】2019届一轮复习苏教版 逆矩阵的概念 学案

‎2019届一轮复习苏教版 逆矩阵的概念 学案 ‎1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.‎ ‎2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)－1＝B－1A－1等简单性质.‎ ‎3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.‎ ‎[基础·初探]‎ ‎1.逆变换 二阶矩阵A对应着平面上的一个几何变换，它把点(x，y)变换到点(x′，y′).反过来，如果已知变换后的结果(x′，y′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x，y)，我们称它为原变换的逆变换.‎ ‎2.逆矩阵 对于二阶矩阵A，B，若AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记作：A－1＝B.‎ ‎3.逆矩阵的性质 ‎(1)若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是惟一的.‎ ‎(2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.‎ ‎(3)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.‎ ‎4.逆矩阵的求法 一般地，对于二阶矩阵A＝，当ad－bc≠0，矩阵A可逆，且它的逆矩阵 A－1＝.‎ ‎[思考·探究]‎ ‎1.2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？‎ ‎【提示】　恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射.‎ ‎2.是否每个二阶矩阵都可逆？‎ ‎【提示】　不是，只有当中ad－bc≠0时，才可逆，如当A＝，因为1×0－0×0＝0，‎ 找不到二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E成立，‎ 故A＝不可逆.‎ ‎3.若二阶矩阵A，B，C都是可逆矩阵，如何求(ACB)－1?‎ ‎【提示】　根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得：‎ ‎(ACB)－1＝＝B－1(AC)－1＝B－1C－1A－1.‎ ‎[质疑·手记]‎ 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：‎ 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵 ‎　从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.‎ ‎(1)A＝；(2)B＝；‎ ‎ (3)C＝；(4)D＝. ‎ ‎【导学号：30650035】‎ ‎【精彩点拨】　→→‎ →→ ‎【自主解答】　(1)矩阵A对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为 A－1＝.‎ ‎(2)矩阵B对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x，y)→(x－2y，y).它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x，y)→(x＋2y，y)，所对应的变换矩阵记为 B－1＝.‎ ‎(3)矩阵C对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y＝x上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y＝x上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y＝x外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C不存在逆矩阵.‎ ‎(4)矩阵D对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，‎ 因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为 D－1＝.‎ 用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵.‎ 若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？‎ ‎(1)A＝；‎ ‎(2)B＝；‎ ‎(3)C＝；‎ ‎(4)D＝.‎ ‎【解】　(1)A＝，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A－1＝.‎ ‎(2)矩阵B表示的是将平面内所有点垂直投影到x轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵.‎ ‎(3)矩阵C表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且→的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且→的切变变换，故C－1＝.‎ ‎(4)矩阵D表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向压缩为原来的的伸压变换，故D－1＝.‎ 求矩阵A的逆矩阵 ‎　求矩阵A＝的逆矩阵.‎ ‎【精彩点拨】　思路一：设出A－1，利用AA－1＝E，构建方程组求解.‎ 思路二：利用公式A－1＝求解.‎ ‎【自主解答】　法一　设矩阵A的逆矩阵A－1＝，‎ 则＝，‎ 即＝，‎ 所以解得 故所求的逆矩阵A－1＝.‎ 法二　注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A存在逆矩阵A－1，且A－1＝＝.‎ 求一个矩阵A的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法.‎ 法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB＝BA＝E，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法.‎ 法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A＝：‎ ‎①若ad－bc＝0，则A的逆矩阵不存在.‎ ‎②若ad－bc≠0，则A－1＝.‎ 判断下列矩阵是否可逆，并当它可逆时求出逆矩阵.‎ ‎(1)；(2).‎ ‎【解】　(1)行列式Δ＝1×1－(－1)×1＝2，矩阵可逆，逆矩阵为 ‎(2)行列式Δ＝ab，当且仅当a，b都不为0时可逆，逆矩阵为＝ 求矩阵AB的逆矩阵 ‎　已知A＝，B＝，求矩阵AB的逆矩阵. ‎ ‎【导学号：30650036】‎ ‎【精彩点拨】　法一：A，B→A－1，B－1→＝B－1A－1‎ 法二：A，B→→ ‎【自主解答】　法一　因为A＝，且1×－0＝≠0，‎ ‎∴A－1＝＝，同理B－1＝.‎ 因此(AB)－1＝B－1A－1＝＝.‎ 法二　因为A＝，B＝，‎ ‎∴AB＝.＝＝.‎ 且1×－0×1＝≠0，‎ ‎∴(AB)－1＝＝.‎ 已知矩阵A，B，求矩阵AB的逆矩阵的一般思路：‎ 先求A－1，B－1，再求(AB)－1＝B－1A－1或先求AB，再求(AB)－1.‎ 已知关于直线y＝2x的反射变换对应的矩阵为A＝，切变变换对应的矩阵为B＝，试求出(AB)－1.‎ ‎【解】　反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A－1＝，‎ B－1＝，‎ ‎(AB)－1＝B－1A－1＝‎ ＝.‎ ‎[真题链接赏析]‎ ‎　(教材第65页习题2.4第5题)已知A＝，试求A－1.‎ ‎　已知矩阵A＝，B＝.‎ 求A的逆矩阵A－1.‎ ‎【命题意图】　通过矩阵转换求逆矩阵.‎ ‎【解】　因为|A|＝2×3－1×4＝2，‎ 所以A－1＝＝.‎ ‎1.对任意的二阶非零矩阵A，B，C，考察下列说法：‎ ‎①(AB)－1＝B－1A－1；‎ ‎②A(BC)＝(AB)C；‎ ‎③若AB＝AC，则B＝C.‎ 其中正确的是________.‎ ‎【解析】　①中只有当A，B都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立，故①不正确.‎ ‎②为矩阵乘法的结合律故正确.‎ ‎③中只有当A存在逆矩阵方可，故③不正确.‎ ‎【答案】　②‎ ‎2.矩阵可逆的条件是________.‎ ‎【解析】　当1×d－0×b＝d≠0时可逆.‎ ‎【答案】　d≠0 ‎ ‎3.已知A＝(k≠0)，则A－1等于________.‎ ‎ ‎ ‎【导学号：30650037】‎ ‎【解析】　设A－1＝，‎ 则AA－1＝＝＝，‎ ‎∴∴∴A－1＝.‎ ‎【答案】　 ‎4.已知A＝，A－1＝，则x＋y＝________.‎ ‎【解析】　∵AA－1＝＝＝E＝，‎ ‎∴∴ ‎∴x＋y＝0.‎ ‎【答案】　0‎ 我还有这些不足：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 我的课下提升方案：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎