2017-2018学年四川省德阳五中高二上学期半期考试数学试题

2017-2018学年四川省德阳五中高二上学期半期考试数学试题

‎2017-2018学年四川省德阳五中高二上学期半期考试数学题 考生注意：‎ ‎ 1将选择题的答案填涂在机读卡中，填空题和解答题只能书写在答题卷中，考试结束只交机读卡和答题卷。‎ ‎2本试卷总分150分，考试时间为120分钟，注意掌握时间。‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每一小题5分，总分60分。‎ ‎1．下列命题中正确的是 ( )‎ A.棱柱的各个面都是四边形 B.棱柱中只有两个面互相平行 C.棱柱的侧棱长不都相等 D.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 ‎2．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是 ( )‎ A.圆柱 B.圆锥 C.棱锥 D.棱柱 ‎3．已知正方体外接球的体积是，则此正方体的棱长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4．对于直线和平面，能推出的一个条件是 ( )‎ A.，∥，∥B.，，‎ C.∥，，D.∥，，‎ ‎5．若是直线的倾斜角，且，则直线的斜率为 ( )‎ A.B.C.D.或 ‎6．在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的倍，则该二面角的大小为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7．在正方体中，直线与平面所成的角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8．若向量=，，=，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ( )‎ A.， B.，C.， D.，，‎ ‎9．在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ( )‎ A. B.C. D.‎ ‎10．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11．已知函数，，．若函数在，上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ( )‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数，，且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( )‎ A. B.C. D.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每题4分，共16分。把答案直接填在题中给出的横线上。‎ ‎13．已知集合，．若只含有一个元素，则．‎ ‎14．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，面积为，则该圆锥的底面面积是．‎ ‎15．在直角坐标系中，与点，的距离为，且与点，的距离为的直线的方程是．‎ ‎16．已知空间四边形的四个顶点都在球的面上，分别是的中点，且，，若，，则球的表面积为．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(满分10分)设．‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)在锐角△中，角的对边分别为．若，．求△面积的最大值．‎ ‎18．(满分12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中分别是的中点，是上的一个动点．‎ ‎(1)当点落在什么位置时，∥‎ 平面，证明你的结论；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ ‎19．(满分12分)已知圆:及直线:．直线被圆截得的弦长为．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求过点，并与圆相切的切线方程．‎ ‎20．(满分12分)已知函数．‎ ‎(1)若函数的定义域和值域均为，，求实数的值；‎ ‎(2)若函数在区间，上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围．‎ A B C D P ‎21．(满分12分)如图，在四棱锥中，∥，且.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)若，，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎22．(满分12分)已知直线：，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)若直线过点，且与圆交于两点(在轴上方，在轴下方)，则在轴正半轴上是否存在定点，使得轴恒平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 答案 一、选择题答案：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 D B C C C A A D B D B A 二、填空题答题横线：‎ ‎13．； 14．； 15．或； 16．．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：(1)因 ‎，‎ 由，‎ 故单调递增区间是，；‎ ‎(2)由(1)知，因△为锐角三角形，∴．‎ 由余弦定理有，‎ ‎∵，∴，进而 ‎，当且仅当时取等号．‎ 故△面积的最大值为．‎ ‎18．解：(1)当点为的中点时，∥平面，证明如下：‎ 由三视图知该多面体是四棱锥，其底面边长为的正方形，侧棱底面，且．‎ 连接，∵分别是的中点，∴∥且，‎ 又是正方形的边的中点∴∥且，‎ ‎∴∥且，即四边形是平行四边形，∴∥，又平面，平面，∴∥平面．‎ ‎(2)∵点到平面的距离为，∴点到平面的距离为，‎ ‎∵三棱锥的体积满足：‎ ‎19．解：(1)∵圆:的圆心为，，半径，‎ 而圆心到直线:的距离，依题，∴或，∵，故所求；‎ ‎(2)∵切线过点，，设所求切线方程为，即，‎ 该直线与相切，∴，‎ 又∵，点，在圆外，切线应有两条，斜率不存在时是另一条切线．‎ 故所求切线方程为或．‎ ‎20．解：(1)∵二次函数的对称轴为，且开口向上，∴在定义域，上单调递减，即，时，，‎ ‎∴依题，，满足 ‎∴，即，满足，‎ 故所求；‎ ‎(2)∵在区间，上是减函数，∴，，即．‎ ‎∴在区间，上的子区间，递减，子区间，递增，‎ 由于，∴当，时，，‎ 即，时，．‎ ‎∴对任意的，时，有：‎ ‎，‎ ‎∴，依题有，解得，‎ 又∵，故所求，．‎ ‎21．解：(1)证明：∵，∴，又由∥，∴；‎ 由，∴，∵平面且相交，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴平面平面；‎ ‎(2)设，结合，知、、是全等的等腰直角三角形，∴；由(1)中平面知，∴四棱锥的底面是矩形，∴，∴是边长为的等边三角形，设为的中点，连接，则，且；又∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，且；由和知：平面是二面角的棱的垂面，即是二面角的平面角，又∵，在中，由余弦定理有：．‎ 所求二面角的余弦值为．‎ ‎22．解：(1)圆心在轴上，所以设，，又∵：与半径为的圆相切，∴或，∵圆心在直线的右上方，‎ ‎∴，故所求圆为；‎ ‎(2)假设在轴正半轴上存在符合题意的点，设，，‎ ‎①当直线的斜率不存在时，在轴正半轴上每一点都使得轴恒平分；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ ‎∵两点的坐标，、，满足：‎ ‎，消去可得：‎ 由韦达定理可得：，，‎ 若轴平分，则 ‎，‎ 所以，‎ 综上可知，存在点，，使得轴恒平分．‎