天津市静海区第一中学2019-2020学年高一（3月）学生学业能力调研考试数学试题

天津市静海区第一中学2019-2020学年高一（3月）学生学业能力调研考试数学试题

静海一中2019-2020第二学期高一数学（3月）学生学业能力调研考试试卷 第Ⅰ卷（共100分）‎ 一、选择题: （每小题5分，共45分.每小题只有一个正确选项）‎ ‎1.下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为（ ）‎ A. （1）（2） B. （2）（3） C. （4） D. （3）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的概念逐一判断即可.‎ ‎【详解】解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；‎ 当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误；‎ 相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；‎ 向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的概念，是基础题.‎ ‎2.若，，则与向量同向的单位向量是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易求出，，从而可求出与向量同向单位向量.‎ ‎【详解】解：由已知得，则， ‎ ‎∴与向量同向的单位向量是：. 故选：A.‎ ‎【点睛】考查向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及单位向量的定义及求法，是基础题.‎ ‎3.已知，则向量与向量的夹角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设向量与向量的夹角为，，代入条件计算即可.‎ ‎【详解】解：设向量与向量夹角为，‎ 则由已知，‎ 解得，因为，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算，及向量夹角的求解，是基础题.‎ ‎4.在中，，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的加法、减法和数乘运算进行运算即可.‎ ‎【详解】解：如图：‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，属于基础题.‎ ‎5.设，是不共线的两个平面向量，已知若，，三点共线，则实数的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，三点共线，从而得出与共线，从而存在实数，使得，从而得出，这便得出，解出即可.‎ ‎【详解】解：∵，是不共线的两个平面向量； ， 即， ∵，，三点共线； ∴与共线； ∴存在，使， ∴， ‎ ‎∴根据平面向量基本定理得， 解得. 故选：B.‎ ‎【点睛】考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理.‎ ‎6.在中，已知，，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理算出，再由角是三角形内角，结合特殊三角函数的值即可得到角的大小.‎ ‎【详解】解：因为，， ， 可得或， ∵，可得， ∴不符合题意，舍去， 可得. 故选：A.‎ ‎【点睛】本题给出两边之值和其中一边的对角，求另一边的对角，着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形大边对大角等知识点，属于基础题.‎ ‎7.已知向量，满足，则（ ）．‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，平方得到，再计算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了向量模的计算，先计算出是解题的关键.‎ ‎8.在平行四边形中，，，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的线性运算以及向量的数量积直接代入即可求解.‎ ‎【详解】解：因为平行四边形中，，，，，， ∴‎ ‎，‎ ‎. 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目.‎ ‎9.在中,,则为( )‎ A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入数量积的计算公式第一个条件求出，第二个条件得到即可求出结论.‎ ‎【详解】解：因为在中， ，‎ ‎，‎ ‎， ∴为等边三角形. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎10.向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，且与 不共线，由此求得的取值集合.‎ ‎【详解】解：∵向量，，若向量与向量夹角为钝角， ∴，且与 不共线， ‎ 即 且，即 且. 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题.‎ ‎11.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的值为__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将余弦定理变形为，代入条件即可.‎ 详解】解：由余弦定理得 ‎ ，‎ ‎.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题.‎ ‎12.如图，在中，，则的值为__________.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直以及向量加法和减法的运算法则进行转化求解即可.‎ ‎【详解】解：， 则， ‎ 则. 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，结合向量垂直与向量的加减法的运算法则是解决本题的关键.‎ ‎13.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的面积为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】解：∵， ∴由余弦定理，‎ 可得：，即， ∴解得，（负值舍去）， . 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.‎ 三、解答题（共45分）‎ ‎14.在中，角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理将角化为边可得，再结合余弦定理，可得，则角可求；‎ ‎（2）先求出，再利用正弦定理可求出，根据可得，则根据三角形面积公式，可求出面积.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理，得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 由余弦定理，得.‎ 又，‎ 所以角；‎ ‎（2）由（1）得角，由，可得，‎ 由正弦定理，得，可得，可得，‎ 又，‎ 故， ‎ 可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可得的值，由余弦定理及已知即可解得的值，由正弦定理即可得解的值；‎ ‎（2）由倍角公式及（1）可求的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值.‎ ‎【详解】（1）由，可得，‎ 由，可得：，‎ 由得；‎ ‎（2）， ‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.‎ ‎16.已知向量.‎ ‎（1）用含的式子表示及||；‎ ‎（2）设，若关于x的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量的坐标运算及三角公式可得及||；‎ ‎（2）由题可得有两个不同的实数解，令 ‎，转化为函数在上有两不等实根，利用二次函数根的分布问题求解．‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 由得，‎ 令，‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积和向量的模的求法，考查函数的值域的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意平面向量知识的合理运用.‎