高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题教师用书理
专题一 三角函数与平面向量
建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，
两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时
平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角
形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．
突破点 1 三角函数问题
(对应学生用书第 167 页)
提炼 1 三角函数的图象问题
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定 A，利
用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ.
(2)三角函数图象的两种常见变换
提炼 2 三角函数奇偶性与对称性
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π
2
(k∈Z)时为偶函
数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π
2
(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ，
(k∈Z)解得．
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π
2
(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函
数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ＋π
2
(k
∈Z)解得．
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝
kπ
2
(k∈Z)解得，无对称轴.
提炼 3 三角变换常用技巧
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－
β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦.
提炼 4 三角函数最值问题
(1)y＝asin x＋bcos x＋c 型函数的最值：可将 y 转化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)＋c 其
中 tan φ＝b
a
的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为 y＝
a2＋b2sin(x＋φ)＋c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．
(2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x 型函数的最值：可利用降幂公式sin2x＝1－cos 2x
2
，
sin xcos x＝sin 2x
2
，cos2x＝1＋cos 2x
2
，将 y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x 转化整理为
y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值．
回访 1 三角函数的图象问题
1．(2015·山东高考)要得到函数 y＝sin
4x－π
3 的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图
象( )
A．向左平移π
12
个单位 B．向右平移π
12
个单位
C．向左平移π
3
个单位 D．向右平移π
3
个单位
B [由 y＝sin
4x－π
3 ＝sin 4
x－π
12 得，只需将 y＝sin 4x 的图象向右平移π
12
个单
位即可，故选 B.]
2．(2016·全国甲卷)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图 11 所示，则( )
A．y＝2sin
2x－π
6
B．y＝2sin
2x－π
3
C．y＝2sin
x＋π
6
D．y＝2sin
x＋π
3
图 11
A [由图象知T
2
＝π
3
－
－π
6 ＝π
2
，故 T＝π，因此ω＝2π
π
＝2.又图象的一个最高点坐
标为
π
3
，2
，所以 A＝2，且 2×π
3
＋φ＝2kπ＋π
2
(k∈Z)，故φ＝2kπ－π
6
(k∈Z)，结合
选项可知 y＝2sin
2x－π
6 .故选 A.]
3．(2013·山东高考)将函数 y＝sin(2x＋φ)的图象沿 x 轴向左平移π
8
个单位后，得到
一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.3π
4
B.π
4
C．0 D．－π
4
B [y＝sin(2x＋φ) ――→
向左平移
π
8
个单位
y＝sin 2
x＋π
8 ＋φ ＝sin
2x＋π
4
＋φ
.
当φ＝3π
4
时，y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，为奇函数；
当φ＝π
4
时，y＝sin
2x＋π
2 ＝cos 2x，为偶函数；
当φ＝0 时，y＝sin
2x＋π
4 ，为非奇非偶函数；
当φ＝－π
4
时，y＝sin 2x，为奇函数．故选 B.]
回访 2 三角函数的性质问题
4．(2016·山东高考)函数 f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)的最小正周期
是( )
A.π
2
B．π
C.3π
2
D．2π
B [法一：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)
＝4
3
2
sin x＋1
2
cos x 3
2
cos x－1
2
sin x
＝4sin
x＋π
6 cos
x＋π
6 ＝2sin
2x＋π
3 ，
∴T＝2π
2
＝π.
法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋ 3cos 2x
＝2sin
2x＋π
3 ，
∴T＝2π
2
＝π.故选 B.]
5．(2016·全国甲卷)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移π
12
个单位长度，则平移后图
象的对称轴为( )
A．x＝kπ
2
－π
6
(k∈Z) B．x＝kπ
2
＋π
6
(k∈Z)
C．x＝kπ
2
－π
12
(k∈Z) D．x＝kπ
2
＋π
12
(k∈Z)
B [将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移π
12
个单位长度，得到函数 y＝2sin 2
x＋π
12 ＝
2sin
2x＋π
6 的图象．由 2x＋π
6
＝kx＋π
2
(k∈Z)，得 x＝kπ
2
＋π
6
(k∈Z)，即平移后图象的
对称轴为 x＝kπ
2
＋π
6
(k∈Z)．]
6．(2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图 12 所示，则 f(x)的单
调递减区间为( )
图 12
A.
kπ－1
4
，kπ＋3
4 ，k∈Z
B.
2kπ－1
4
，2kπ＋3
4 ，k∈Z
C.
k－1
4
，k＋3
4 ，k∈Z
D.
2k－1
4
，2k＋3
4 ，k∈Z
D [由图象知，周期 T＝2
5
4
－1
4 ＝2，
∴2π
ω
＝2，∴ω＝π.
由π×1
4
＋φ＝π
2
＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π
4
，
∴f(x)＝cos
πx＋π
4 .
由 2kπ<πx＋π
4
<2kπ＋π，k∈Z，得 2k－1
4
0)，则 A＝________，
b＝________.
2 1 [∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋ 2sin
2x＋π
4 ，
∴1＋ 2sin
2x＋π
4 ＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝ 2，b＝1.]
(对应学生用书第 167 页)
热点题型 1 三角函数的图象问题
题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式
的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低.
(1)(2016·青岛模拟)将函数 y＝ 3cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m
＞0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是( )
A.π
6
B.π
12
C.π
3
D.5π
6
(2)(2016·衡水中学四调)已知 A，B，C，D 是函数 y＝sin(ωx＋φ)
ω＞0，0＜φ＜π
2
一个周期内的图象上的四个点，如图 13 所示，A
－π
6
，0
，B 为 y 轴上的点，C 为图象上
的最低点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，CD
→
在x轴上的投影为π
12
，则( )
图 13
A．ω＝2，φ＝π
3
B．ω＝2，φ＝π
6
C．ω＝1
2
，φ＝π
3
D．ω＝1
2
，φ＝π
6
(1)A (2)A [(1)设 f(x)＝ 3cos x＋sin x＝2
3
2
cos x＋1
2
sin x
＝2sin
π
3
＋x
，向
左平移 m 个单位长度得 g(x)＝2sin
x＋m＋π
3 .∵g(x)的图象关于 y 轴对称，∴g(x)为偶函
数，∴π
3
＋m＝π
2
＋kπ(k∈Z)，∴m＝π
6
＋kπ(k∈Z)，又 m＞0，∴m 的最小值为π
6
.
(2)由题意可知T
4
＝π
6
＋π
12
＝π
4
，∴T＝π，ω＝2π
π
＝2.又 sin 2×
－π
6 ＋φ ＝0,0＜
φ＜π
2
，∴φ＝π
3
，故选 A.]
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
(1)A 由最值确定，A＝最大值－最小值
2
；
(2)ω由周期确定；
(3)φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．
2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中
的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和
方向．
[变式训练 1] (1)(2016·烟台模拟)将 f(x)＝sin 2x 的图象右移φ
0＜φ＜π
2 个单
位后，得到 g(x)的图象，若对于满足|f(x1)－g(x2)|＝2 的 x1，x2，有|x1－x2|的最小值为π
3
，
则φ的值为( )
A.π
12
B.π
6
C.π
4
D.π
3
(2)(2016·江西八校联考)函数 f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分图象如图 14 所
示，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)的值为( )
图 14
A．0 B．3 2
C．6 2 D．－ 2
(1)B (2)A [(1)g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)，则 f(x)，g(x)的最小正周期
都是 T＝π.若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2 的 x1，x2，则|x1－x2|＝T
2
－φ＝π
2
－φ＝π
3
，从而
φ＝π
6
.
(2)由题图可得，A＝2，T＝8，2π
ω
＝8，ω＝π
4
，
∴f(x)＝2sinπ
4
x.
∴f(1)＝ 2，f(2)＝2，f(3)＝ 2，f(4)＝0，f(5)＝－ 2，f(6)＝－2，f(7)＝－ 2，
f(8)＝0，
而 2 016＝8×252，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0.]
热点题型 2 三角函数的性质问题
题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命
题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等.
(2016·天津高考)已知函数 f(x)＝4tan x·sin
π
2
－x
·cos
x－π
3 － 3.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论 f(x)在区间
－π
4
，π
4 上的单调性．
[解] (1)f(x)的定义域为 x|x≠π
2
＋kπ，k∈Z
.1 分
f(x)＝4tan xcos xcos
x－π
3 － 3
＝4sin xcos
x－π
3 － 3
＝4sin x
1
2
cos x＋ 3
2
sin x
－ 3
＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3
＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3
＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin
2x－π
3 .4 分
所以 f(x)的最小正周期 T＝2π
2
＝π.6 分
(2)令 z＝2x－π
3
，则函数 y＝2sin z 的单调递增区间是
－π
2
＋2kπ，π
2
＋2kπ
，k∈
Z.
由－π
2
＋2kπ≤2x－π
3
≤π
2
＋2kπ，
得－π
12
＋kπ≤x≤5π
12
＋kπ，k∈Z.8 分
设 A＝
－π
4
，π
4 ，B＝x－π
12
＋kπ≤x≤5π
12
＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝
－π
12
，π
4 .10
分
所以当 x∈
－π
4
，π
4 时，f(x)在区间
－π
12
，π
4 上单调递增，在区间
－π
4
，－π
12 上
单调递减.12 分
研究函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质的“两种”意识
1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式．
2．整体意识：类比于研究 y＝sin x 的性质，只需将 y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”
看成 y＝sin x 中的“x”代入求解便可．
[变式训练 2] (1)(2016·济宁模拟)已知函数 f(x)＝2sin
2x＋π
6 ，把函数 f(x)的图
象沿 x 轴向左平移π
6
个单位，得到函数 g(x)的图象．关于函数 g(x)，下列说法正确的是
( )
A．在
π
4
，π
2 上是增函数
B．其图象关于直线 x＝－π
4
对称
C．函数 g(x)是奇函数
D．当 x∈
π
6
，2
3
π
时，函数 g(x)的值域是[－2,1]
(2)已知函数 f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若
π
5
，5π
8 是 f(x)的一个单调递增
区间，则φ的取值范围为( ) 【导学号：67722009】
A.
－3π
10
，－9π
10
B.
9π
10
，4π
4
C.
π
10
，π
4
D.
－∞，π
10 ∪
3π
4
，＋∞
(1)D (2)C [(1)因为 f(x)＝2sin
2x＋π
6 ，把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移π
6
个
单位，得 g(x)＝f
x＋π
6 ＝2sin 2
x＋π
6 ＋π
6 ＝2sin
2x＋π
2 ＝2cos 2x.
对于 A，由 x∈
π
4
，π
2 可知 2x∈
π
2
，π
，故 g(x)在
π
4
，π
2 上是减函数，故 A 错；
又 g
－π
4 ＝2cos
－π
2 ＝0，故 x＝－π
4
不是 g(x)的对称轴，故 B 错；又 g(－x)＝2cos 2x
＝g(x)，故 C 错；又当 x∈
π
6
，2π
3 时，2x∈
π
3
，4π
3 ，故 g(x)的值域为[－2,1]，D 正确．
(2)令 2kπ＋π
2
＜2x＋φ＜2kπ＋3π
2
，k∈Z，
所以 kπ＋π
4
－φ
2
≤x≤kπ＋3π
4
－φ
2
，k∈Z，
所以函数 f(x)在
kπ＋π
4
－φ
2
，kπ＋3π
4
－φ
2 上单调递增．
因为
π
5
，5π
8 是 f(x)的一个单调递增区间，
所以5π
8
≤kπ＋3π
4
－φ
2
，且 kπ＋π
4
－φ
2
≤π
5
，k∈Z，
解得 2kπ＋π
10
≤φ≤2kπ＋π
4
，k∈Z，又|φ|＜π，所以π
10
≤φ≤π
4
.故选 C.]
热点题型 3 三角恒等变换
题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、
倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查 y＝Asin ωx＋
φ 的有关性质.
(1)(2016·江西八校联考)如图 15，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C，B
在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为
12
13
，－ 5
13 ，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则
3cos2α
2
－sinα
2
cos α
2
－ 3
2
的值为________．
图 15
(2)已知函数 f(x)＝sin25x
6
－cos25x
6
＋2 3sin5x
6
·cos5x
6
＋λ的图象经过点
π
4
，0
，则
函数 f(x)在区间
0，3π
10 上的最大值为________．
(1) 5
13
(2) 3－ 2 [(1)由题意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC 为正三角形．
由三角函数的定义可知，sin∠AOB＝sin
π
3
－α
＝ 5
13
，
∴ 3cos2α
2
－sinα
2
cosα
2
－ 3
2
＝ 3 1＋cos α
2
－sin α
2
－ 3
2
＝ 3
2
cos α－1
2
sin α
＝sin
π
3
－α
＝ 5
13
.
(2)f(x)＝sin2 5x
6
－cos2 5x
6
＋2 3sin5x
6
·cos 5x
6
＋λ＝－cos5x
3
＋ 3sin5x
3
＋λ＝
2sin
5x
3
－π
6 ＋λ.
由 f(x)的图象过点
π
4
，0
，得λ＝－2sin
5
3
×π
4
－π
6 ＝－2sinπ
4
＝－ 2，
故 f(x)＝2sin
5
3
x－π
6 － 2.
因为 0≤x≤3π
10
，所以－π
6
≤5x
3
－π
6
≤π
3
.
因为 y＝sin x 在
－π
6
，π
3 上单调递增，
所以 f(x)的最大值为 f
3π
10 ＝2sinπ
3
－ 2＝ 3－ 2.]
1．解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差
别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”
等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．
2．在研究形如 f(x)＝asin ωx＋bcos ωx 的函数的性质时，通常利用辅助角公式 asin
x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋φ)把函数 f(x)化为 Asin(ωx＋φ)的形式，通过对函数 y＝
Asin(ωx＋φ)性质的研究得到 f(x)＝asin ωx＋bcos ωx 的性质．
[变式训练 3] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设α∈
0，π
2 ，β∈
0，π
2 ，且 tan α＝
1＋sin β
cos β
，则( )
A．3α－β＝π
2
B．2α－β＝π
2
C．3α＋β＝π
2
D．2α＋β＝π
2
(2)已知 sin
α＋π
3 ＋sin α＝－4 3
5
，－π
2
＜α＜0，则 cos
α＋2π
3 等于( )
A．－4
5
B．－3
5
C.4
5
D.3
5
(1)B (2)C [(1)法一：由 tan α＝1＋sin β
cos β
得sin α
cos α
＝1＋sin β
cos β
，
即 sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin
π
2
－α
.
∵α∈
0，π
2 ，β∈
0，π
2 ，
∴α－β∈
－π
2
，π
2 ，π
2
－α∈
0，π
2 ，
由 sin(α－β)＝sin
π
2
－α
，得α－β＝π
2
－α，
∴2α－β＝π
2
.
法二：tan α＝1＋sin β
cos β
＝
1＋cos
π
2
－β
sin
π
2
－β
＝
2cos2
π
4
－β
2
2sin
π
4
－β
2 cos
π
4
－β
2
＝cot
π
4
－β
2
＝tan
π
2
－
π
4
－β
2
＝tan
π
4
＋β
2 ，
∴α＝kπ＋
π
4
＋β
2 ，k∈Z，
∴2α－β＝2kπ＋π
2
，k∈Z.
当 k＝0 时，满足 2α－β＝π
2
，故选 B.
(2)∵sin
α＋π
3 ＋sin α＝－4 3
5
，－π
2
＜α＜0，
∴3
2
sin α＋ 3
2
cos α＝－4 3
5
，
∴ 3
2
sin α＋1
2
cos α＝－4
5
，
∴cos
α＋2π
3 ＝cos αcos 2π
3
－sin αsin 2π
3
＝－1
2
cos α－ 3
2
sin α＝4
5
.]
专题一 三角函数与平面向量
建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，
两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时
平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角
形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．
专题限时集训(一) 三角函数问题
[建议 A、B 组各用时：45 分钟]
[A 组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·泰安模拟)函数 f(x)＝sin(2x＋φ)
|φ|＜π
2 的图象向左平移π
6
个单位后
关于原点对称，则函数 f(x)在
0，π
2 上的最小值为( ) 【导学号：67722010】
A．－ 3
2
B．－1
2
C.1
2
D. 3
2
A [函数 f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移π
6
个单位得 y＝sin 2
x＋π
6 ＋φ ＝sin
2x＋π
3
＋φ
，又其为奇函数，故π
3
＋φ＝kπ，π∈Z，解得φ＝kπ－π
3
，又|φ|＜π
2
，
令 k＝0，得φ＝－π
3
，
∴f(x)＝sin
2x－π
3 .
又∵x∈
0，π
2 ，
∴2x－π
3
∈
－π
3
，2
3
π
，∴sin
2x－π
3 ∈
－ 3
2
，1
，
当 x＝0 时，f(x)min＝－ 3
2
，故选 A.]
2．(2016·河南八市联考)已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝1
2
f(x)，则 tan 2x
的值是( )
A．－2
3
B．－4
3
C.4
3
D.3
4
D [因为 f′(x)＝cos x＋sin x＝1
2
sin x－1
2
cos x，所以 tan x＝－3，所以 tan 2x＝
2tan x
1－tan2x
＝ －6
1－9
＝3
4
，故选 D.]
3．(2016·全国甲卷)函数 f(x)＝cos 2x＋6cos
π
2
－x
的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
B [∵f(x)＝cos 2x＋6cos
π
2
－x
＝cos 2x＋6sin x
＝1－2sin2x＋6sin x＝－2
sin x－3
2 2＋11
2
，
又 sin x∈[－1,1]，∴当 sin x＝1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B.]
4．(2016·郑州模拟)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)
ω＞0，|φ|＜π
2 的部分图象如图
16 所示，则 f(0)＋f
17π
12 的值为( )
图 16
A．2－ 3 B．2＋ 3
C．1－ 3
2
D．1＋ 3
2
A [由函数 f(x)的图象得函数 f(x)的最小正周期为 T＝2π
ω
＝4
π
6
－
－π
12 ＝π，解得
ω＝2，则 f(x)＝2sin(2x＋φ)．又因为函数图象经过点－π
12
，－2，所以 f－π
12
＝
2sin 2×
－π
12 ＋φ ＝－2，则 2×
－π
12 ＋φ＝－π
2
＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－π
3
＋2kπ，
k∈Z.又因为|φ|＜π
2
，所以φ＝－π
3
，则 f(x)＝2sin
2x－π
3 ，所以 f(0)＋f
17π
12 ＝
2sin
2×0－π
3 ＋2sin
2×17π
12
－π
3 ＝2sin
－π
3 ＋2sin5π
2
＝－ 3＋2，故选 A.]
5．(2016·石家庄二模)设α，β∈[0，π]，且满足 sin αcos β－cos αsin β＝1，
则 sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A．[－1,1] B．[－1， 2]
C．[－ 2，1] D．[1， 2]
A [由 sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β
＝π
2
，β＝α－π
2
∈[0，π]⇒α∈
π
2
，π
，且 sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin
α＋π
2
＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝ 2sin
α＋π
4 ，α∈
π
2
，π
⇒α＋π
4
∈
3π
4
，5π
4 ⇒
sin
α＋π
4 ∈
－ 2
2
， 2
2 ⇒ 2sin
α＋π
4 ∈[－1,1]，故选 A.]
二、填空题
6．(2016·合肥三模)已知 tan α＝2，则 sin2
π
2
＋α
－sin(3π＋α)cos(2π－α)
＝________. 【导学号：67722011】
3
5
[∵tan α＝2，
∴sin2
π
2
＋α
－sin(3π＋α)cos(2π－α)
＝cos2α＋sin αcos α
＝cos2α＋sin αcos α
sin2α＋cos2α
＝1＋tan α
tan2α＋1
＝1＋2
4＋1
＝3
5
.]
7．(2016·兰州模拟)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函
数，该函数的部分图象如图 17 所示，△EFG(点 G 在图象的最高点)是边长为 2 的等边三角
形，则 f(1)＝________.
图 17
－ 3 [由函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数可得φ＝π
2
，
则 f(x)＝Acos
ωx＋π
2 ＝－Asin ωx(A＞0，ω＞0)．又由△EFG 是边长为 2 的等边三角形
可得 A＝ 3，最小正周期 T＝4＝2π
ω
，ω＝π
2
，则 f(x)＝－ 3sinπ
2
x，f(1)＝－ 3.]
8．(2015·天津高考)已知函数 f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数 f(x)在
区间(－ω，ω)内单调递增，且函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，则ω的值为
________．
π
2
[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝ 2sinωx＋π
4
，
因为 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线 x＝ω对称，
所以 f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π
4
＝2kπ＋π
2
，k∈Z，
所以ω2＝π
4
＋2kπ，k∈Z.
又ω－(－ω)≤
2π
ω
2
，即ω2≤π
2
，所以ω2＝π
4
，
所以ω＝ π
2
.]
三、解答题
9．(2016·临沂高三模拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)
A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2 满
足下列条件：
①周期 T＝π；②图象向左平移π
6
个单位长度后关于 y 轴对称；③f(0)＝1.
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)设α，β∈
0，π
4 ，f
α－π
3 ＝－10
13
，f
β＋π
6 ＝6
5
，求 cos(2α－2β)的值．
[解] (1)f(x)的周期 T＝π，∴ω＝2.1 分
f(x)的图象向左平移π
6
个单位长度，变为 g(x)＝Asin 2
x＋π
6 ＋φ .2 分
由题意，g(x)关于 y 轴对称，
∴2×π
6
＋φ＝π
2
＋kπ，k∈Z.3 分
又|φ|＜π
2
，∴φ＝π
6
，∴f(x)＝Asin
2x＋π
6 .4 分
∵f(0)＝1，∴Asinπ
6
＝1，∴A＝2.5 分
因此，f(x)＝2sin
2x＋π
6 .6 分
(2)由 f
α－π
3 ＝－10
13
，f
β＋π
6 ＝6
5
，得 2sin
2α－2π
3
＋π
6 ＝－10
13
，
2sin
2β＋π
3
＋π
6 ＝6
5
.7 分
∵α，β∈
0，π
4 ，∴2α，2β∈
0，π
2 ，∴cos 2α＝ 5
13
，cos 2β＝3
5
，sin 2α＝
12
13
，sin 2β＝4
5
，11 分
cos(2α－2β)＝cos 2αcos 2β＋sin 2αsin 2β
＝ 5
13
×3
5
＋12
13
×4
5
＝63
65
.12 分
10．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜π
2
的部分图象如图 18
所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与 x 轴的交点，O 为坐标原点．若 OQ＝4，OP＝ 5，PQ
＝ 13.
图 18
(1)求函数 y＝f(x)的解析式；
(2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y＝g(x)的图象，当 x∈(－1,2)
时，求函数 h(x)＝f(x)·g(x)的值域．
[解] (1)由条件知 cos ∠POQ＝42＋ 5 2－ 13 2
2×4× 5
＝ 5
5
.2 分
又 cos ∠POQ＝ xP
5
，∴xP＝1，∴yP＝2，∴P(1,2).3 分
由此可得振幅 A＝2，周期 T＝4×(4－1)＝12，又2π
ω
＝12，则ω＝π
6
.4 分
将点 P(1,2)代入 f(x)＝2sin
π
6
x＋φ
，
得 sin
π
6
＋φ
＝1.
∵0＜φ＜π
2
，∴φ＝π
3
，于是 f(x)＝2sin
π
6
x＋π
3 .6 分
(2)由题意可得 g(x)＝2sin
π
6
x－2 ＋π
3 ＝2sin π
6
x.7 分
∴h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin
π
6
x＋π
3 ·sin π
6
x
＝2sin2π
6
x＋2 3sin π
6
x·cos π
6
x
＝1－cos π
3
x＋ 3sin π
3
x＝1＋2sin
π
3
x－π
6 .9 分
当 x∈(－1,2)时，π
3
x－π
6
∈
－π
2
，π
2 ，10 分
∴sin
π
3
x－π
6 ∈(－1,1)，
即 1＋2sin
π
3
x－π
6 ∈(－1,3)，于是函数 h(x)的值域为(－1,3).12 分
[B 组 名校冲刺]
一、选择题
1．已知函数 y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且 a≠1)的图象恒过定点 P，若角α的顶点与原
点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P，则 sin2α－sin 2α的值为( )
A. 5
13
B．－ 5
13
C. 3
13
D．－ 3
13
D [根据已知可得点 P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得 sin α＝ 3
13
，cos α
＝ 2
13
，所以 sin2α－sin 2α＝sin2α－2sin αcos α＝
3
13 2－2× 3
13
× 2
13
＝－ 3
13
.]
2．(2016·东北三省四市第二次联考)将函数 f(x)＝sin(2x＋φ)
|φ|＜π
2 的图象向
右平移π
12
个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则函数 f(x)在
0，π
2 上的最小值为( )
A. 3
2
B.1
2
C．－1
2
D．－ 3
2
D [f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移π
12
个单位得到函数 g(x)＝sin 2
x－π
12 ＋φ ＝sin2x
－π
6
＋φ，此函数图象关于 y 轴对称，即函数 g(x)为偶函数，则－π
6
＋φ＝π
2
＋kπ，k∈Z.
又|φ|＜π
2
，所以φ＝－π
3
，所以 f(x)＝sin
2x－π
3 .因为 0≤x≤π
2
，所以－π
3
≤2x－
π
3
≤2π
3
，所以 f(x)的最小值为 sin
－π
3 ＝－ 3
2
，故选 D.]
3．(2016·湖北七市四月联考)已知函数 f(x)＝asin x－bcos x(a，b 为常数，a≠0，x
∈R)在 x＝π
4
处取得最大值，则函数 y＝f
x＋π
4 是( )
A．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且它的图象关于点
3π
2
，0
对称
C．奇函数且它的图象关于点
3π
2
，0
对称
D．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
B [由题意可知 f′
π
4 ＝0，
即 acosπ
4
＋bsinπ
4
＝0，∴a＋b＝0，
∴f(x)＝a(sin x＋cos x)＝ 2asin
x＋π
4 .
∴f
x＋π
4 ＝ 2asin
x＋π
2 ＝ 2acos x.
易知 f
x＋π
4 是偶函数且图象关于点
3π
2
，0
对称，故选 B.]
4．(2016·陕西省第二次联考)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜
π)的部分图象如图 19 所示，且 f(α)＝1，α∈
0，π
3 ，则 cos
2α＋5π
6 ＝( )
图 19
A．±2 2
3
B.2 2
3
C．－2 2
3
D.1
3
C [由图易得 A＝3，函数 f(x)的最小正周期 T＝2π
ω
＝4×
7π
12
－π
3 ，解得ω＝2，所
以 f(x)＝3sin(2x＋φ)．又因为点
π
3
，－3
在函数图象上，所以 f
π
3 ＝3sin
2×π
3
＋φ
＝
－3，解得 2×π
3
＋φ＝3
2
π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝5π
6
＋2kπ，k∈Z.又因为 0＜φ＜π，
所以φ＝5π
6
，则 f(x)＝3sin
2x＋5π
6 ，当α∈
0，π
3 时，2α＋5π
6
∈
5π
6
，3π
2 .又因为
f(α)＝3sin
2α＋5π
6 ＝1，所以 sin
2α＋5π
6 ＝1
3
＞0，所以 2α＋5π
6
∈
5π
6
，π
，则
cos
2α＋5π
6 ＝－ 1－sin2 2α＋5π
6 ＝－2 2
3
，故选 C.]
二、填空题
5．已知函数 f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在
π
2
，π
上单调递减，则ω的取值范
围是________．
【导学号：67722012】
1
2
，5
4 [f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝ 2sinωx＋π
4
，令 2kπ＋π
2
≤ωx＋π
4
≤2kπ＋
3π
2
(k∈Z)，解得2kπ
ω
＋ π
4ω
≤x≤2kπ
ω
＋5π
4ω
(k∈Z)．
由题意，函数 f(x)在
π
2
，π
上单调递减，故
π
2
，π
为函数单调递减区间的一个子区
间，故有
2kπ
ω
＋ π
4ω
≤π
2
，
2kπ
ω
＋5π
4ω
≥π，
解得 4k＋1
2
≤ω≤2k＋5
4
(k∈Z)．
由 4k＋1
2
＜2k＋5
4
，解得 k＜3
8
.
由ω＞0，可知 k≥0，
因为 k∈Z，所以 k＝0，故ω的取值范围为
1
2
，5
4 .]
6．设函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若 f(x)在区间
π
6
，π
2
上具有单调性，且 f
π
2 ＝f
2π
3 ＝－f
π
6 ，则 f(x)的最小正周期为________．
π [∵f(x)在
π
6
，π
2 上具有单调性，
∴T
2
≥π
2
－π
6
，∴T≥2π
3
.
∵f
π
2 ＝f
2π
3 ，
∴f(x)的一条对称轴为 x＝
π
2
＋2π
3
2
＝7π
12
.
又∵f
π
2 ＝－f
π
6 ，
∴f(x)的一个对称中心的横坐标为
π
2
＋π
6
2
＝π
3
，
∴1
4
T＝7π
12
－π
3
＝π
4
，∴T＝π.]
三、解答题
7 ． (2015· 湖 北 高 考 ) 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋
φ)
ω＞0，|φ|＜π
2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π
2 π 3π
2 2π
x π
3
5π
6
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式；
(2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到 y＝g(x)的图
象．若 y＝g(x)图象的一个对称中心为
5π
12
，0
，求θ的最小值．
[解] (1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－π
6
，数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π
2 π 3π
2 2π
x π
12
π
3
7π
12
5π
6
13
12
π
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
4 分
且函数解析式为 f(x)＝5sin
2x－π
6 .6 分
(2)由(1)知 f(x)＝5sin
2x－π
6 ，
则 g(x)＝5sin
2x＋2θ－π
6 .7 分
因为函数 y＝sin x 图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令 2x＋2θ－π
6
＝kπ，解得 x＝kπ
2
＋π
12
－θ，k∈Z.8 分
由于函数 y＝g(x)的图象关于点
5π
12
，0
成中心对称，
所以令kπ
2
＋π
12
－θ＝5π
12
，
解得θ＝kπ
2
－π
3
，k∈Z.10 分
由θ＞0 可知，当 k＝1 时，θ取得最小值π
6
.12 分
8．(2016·潍坊模拟)已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x－sin2x＋1
2
cos 2x＋1
2
，x∈R.
(1)求函数 f(x)在
－π
4
，π
2 上的最值；
(2)若将函数 f(x)的图象向右平移π
4
个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来
的 2 倍，纵坐标不变，得到 g(x)的图象．已知 g(α)＝－6
5
，α∈
4π
3
，11π
6 ，求 cos
α
2
－π
6
的值．
[解] (1)f(x)＝2 3sin xcos x－sin2x＋1
2
cos 2x＋1
2
＝ 3sin 2x－1－cos 2x
2
＋1
2
cos 2x＋1
2
＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin
2x＋π
6 .2 分
∵－π
4
≤x≤π
2
，∴－π
3
≤2x＋π
6
≤7π
6
，3 分
∴当 2x＋π
6
＝－π
3
，即 x＝－π
4
时，f(x)的最小值为 2×
－ 3
2 ＝－ 3.4 分
当 2x＋π
6
＝π
2
，即 x＝π
6
时，f(x)的最大值为 2×1＝2.5 分
(2)若将函数 f(x)的图象向右平移π
4
个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来
的 2 倍，纵坐标不变，得到 g(x)＝2sin
x－π
3 .7 分
由 g(α)＝2sin
α－π
3 ＝－6
5
，得 sin
α－π
3
＝－3
5
.8 分
∵4π
3
＜α＜11π
6
，∴π＜α－π
3
＜3π
2
，
∴cos
α－π
3 ＝－4
5
.10 分
∵π
2
＜α
2
－π
6
＜3π
4
，11 分
∴cos
α
2
－π
6 ＝－ 1＋cos
α－π
3
2
＝－
1－4
5
2
＝－ 10
10
.12 分
