高考数学 17-18版 第4章 第20课 课时分层训练20

高考数学 17-18版 第4章 第20课 课时分层训练20

课时分层训练(二十)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距‎18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．‎ ‎(1)试将y表示为x的函数；‎ ‎(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．‎ ‎[解]　(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.‎ ‎(2)因为a＝1，所以y＝＋，‎ y′＝k，‎ 令y′＝0，得x＝，‎ 又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，‎ 所以，污染源B的污染强度b的值为8.‎ ‎2.某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件．‎ ‎(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？‎ ‎(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. ‎ ‎【导学号：62172112】‎ ‎[解]　(1)设每件定价为x元，依题意，有x≥25×8，‎ 整理得x2－65x＋1 000≤0，解得25≤x≤40.‎ ‎∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．‎ ‎(2)依题意，x>25时，‎ 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解．‎ ‎∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，‎ ‎∴a≥10.2.‎ ‎∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1.(2017·南京模拟)经市场调查，某商品每吨的价格为x(10)；月需求量为y2万吨，y2＝－x2－x＋1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．‎ ‎(1)若a＝，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？‎ ‎(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)若a＝，由y2>y1，得－x2－x＋1>x＋2－.‎ 解得－400，得x<8，所以g(x)在[6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，当x＝8时，g(x)有最大值g(8)＝.‎ 综上得，若a＝，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大．‎ ‎(2)设f(x)＝y1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，‎ 因为a>0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，‎ 若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6,14)上有零点，‎ 所以即解得00，g(t)单调递增；当t∈时，g′(t)<0，g(t)单调递减．‎ 从而当t＝时，g(t)取得最大值为g＝－5，‎ 即当t＝时，l取得最小值，最小值为1 km.‎ 法二：因为0≤t≤3，所以1≤4－t≤4，‎ 则4t＋－9＝4(t－4)＋＋7＝7－ ‎≤7－2＝7－2×6＝－5，‎ 当且仅当4(4－t)＝，即t＝时取等号，即当t＝时，l取得最小值，最小值为1 km.‎