【数学】湖南省邵东县第一中学2019-2020学年高一下学期第一次月考试题（解析版）

【数学】湖南省邵东县第一中学2019-2020学年高一下学期第一次月考试题（解析版）

湖南省邵东县第一中学2019-2020学年 高一下学期第一次月考试题 一． 选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分。下列各题四个选项中只有一个是最符合题意的。）‎ ‎1.下列说法错误的是 (　　)‎ A.任一事件的概率总在[0,1]内 B.不可能事件的概率一定为0‎ C.必然事件的概率一定为1 D.概率是随机的,在试验前不能确定.‎ ‎2.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的点数是6或‎4”‎,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是 (　　)‎ A.A与B B.B与C C.A与D D.C与D ‎3.若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P落在圆x2+y2=9内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎5.在①160°;②480°;③-960°;④1 530°这四个角中,属于第二象限角的是(　　)‎ A.①　 B.①②　 C.①②③　 D.①②③④‎ ‎6.若tan x<0,且sin x-cos x<0,则角x的终边在(　　)‎ A.第一象限　　　B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 ‎7.如果<α<,那么下列不等式成立的是 (　　)‎ A.cos α0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是(　　)‎ A. B. C. D.3‎ ‎11.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　)‎ A.- B.- C.+ D.+ ‎12.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的 A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13.不等式sin x>cos x,x∈[0,2π]的解集为_________. ‎ ‎14.已知tan(3π+α)=2,则 ‎=_________. ‎ ‎15.已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且=2,则x+y=_________. ‎ ‎16.设函数y=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则下面四个结论:①图象关于点对称;②图象关于点对称;③在上是增函数;④在上是增函数,其中正确结论的编号为_________. ‎ 三．解答题 ‎17.（8分）袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.‎ ‎(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎18.（8分）设函数f(x)=sin,x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.‎ ‎19.（8分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.‎ (1) 求f(x)的解析式. (2)写出f(x)的递增区间.‎ ‎20.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. ‎ ‎(1)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.‎ ‎(2)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.‎ ‎21.（10分）在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2), (1)若++=0,求的坐标.‎ ‎(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n.‎ ‎22.（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象如图所示. ‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式. (2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.‎ 参考答案 分值：120分 时量：120分钟 一． 选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分。下列各题四个选项中只有一个是最符合题意的。）‎ ‎1.下列说法错误的是 (　　)‎ A.任一事件的概率总在[0,1]内 B.不可能事件的概率一定为0‎ C.必然事件的概率一定为1 D.概率是随机的,在试验前不能确定.‎ ‎【解析】选D.任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,概率是客观存在的.‎ ‎2.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的点数是6或‎4”‎,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是 (　　)‎ A.A与B B.B与C C.A与D D.C与D ‎【解析】选C.A与B互斥且对立;B与C有可能同时发生,即出现6,从而不互斥;A与D不会同时发生,从而A与D互斥,又因为还可能出现2,故A与D不对立;C与D有可能同时发生,从而不互斥.‎ ‎3.若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P落在圆x2+y2=9内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选D.掷两枚骰子共有6×6=36(种)可能情况,而落在x2+y2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,故所求概率P==.‎ ‎4.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选B.‎ ‎5.在①160°;②480°;③-960°;④1 530°这四个角中,属于第二象限角的是(　　)‎ A.①　 B.①②　 C.①②③　 D.①②③④‎ ‎【解析】选C.‎ ‎6.若tan x<0,且sin x-cos x<0,则角x的终边在(　　)‎ A.第一象限　　　 B.第二象限 C.第三象限　　　 D.第四象限 ‎【解析】选D.因为tan x<0,所以角x的终边在第二、四象限,又sin x-cos x<0,所以角x的终边在第四象限.‎ ‎7.如果<α<,那么下列不等式成立的是 (　　)‎ A.cos α0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是(　　)‎ A. B. C. D.3‎ ‎【解析】C.y=sin+2y1=sin+2‎ ‎=sinωx+-ω+2.因为y与y1的图象重合,所以-ω=2kπ(k∈Z).所以ω=-k.又因为ω>0,k∈Z,所以k=-1时,ω取最小值为.‎ ‎11.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=‎ ‎(　　)‎ A.- B.- C.+ D.+ ‎【解析】选A.‎ ‎12.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的 A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 ‎【答案】D 二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13.不等式sin x>cos x,x∈[0,2π]的解集为_________. ‎ 答案: ‎14.已知tan(3π+α)=2,则 ‎=_________. 答案:2‎ ‎15.已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且=2,则x+y=_________. ‎ 所以所以x+y=. 答案: ‎16.设函数y=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则下面四个结论:①图象关于点对称;②图象关于点对称;③在上是增函数;④在上是增函数,其中正确结论的编号为_________. 【解析】因为T=π,所以ω=2.又2×+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z.因为φ∈,所以φ=,所以y=sin.由图象及性质可知②④正确.‎ 答案:②④‎ 三．解答题 ‎17.（8分）袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.‎ ‎(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎【解析】(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为P=.‎ ‎(2)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为P=.‎ ‎18.（8分）设函数f(x)=sin,x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.‎ ‎【解析】(1)最小正周期T==π,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)令t=2x-,则由≤x≤可得0≤t≤,‎ 所以当t=,即x=时,ymin=2×=-1,‎ 所以当t=,即x=时,ymax=×1=.‎ ‎19.（10分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求f(x)的解析式. (2)写出f(x)的递增区间.‎ ‎【解析】(1)易知A=,T=4×[2-(-2)]=16,‎ 所以ω==,所以f(x)=sin,‎ 将点(-2,0)代入得sin=0,‎ ‎-+φ=kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z,因为-<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin.‎ ‎(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得16k-6≤x≤16k+2,k∈Z,‎ 所以f(x)的递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z.‎ ‎20.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. ‎ ‎(1)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.‎ ‎(2)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.‎ ‎【解析】(1)设c=ma+nb(m,n∈R),则 ‎3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)‎ ‎=(m+n)e1+(‎-2m+3n)e2.‎ 所以⇒ 所以c=‎2a+b.‎ ‎(2)由4e1-3e2=λa+μb,得 ‎4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)‎ ‎=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.‎ 所以⇒ 故所求λ,μ的值分别为3和1.‎ ‎21.（10分）在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2), ‎ ‎(1)若++=0,求的坐标.‎ ‎(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n.‎ ‎【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),因为++=0,‎ 又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).‎ 所以解得 所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).‎ ‎(2)设点P的坐标为(x0,y0),‎ 因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),‎ 所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1),因为=m+n,‎ 所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,‎2m+n),‎ 所以 两式相减得m-n=y0-x0,又因为点P在函数y=x+1的图象上,所以y0-x0=1,所以m-n=1.‎ ‎22.（10分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象如图所示. ‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式.‎ ‎(2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.‎ ‎【解析】(1)由题图,知A=2,‎ 由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=,‎ 又|φ|<,所以φ=.易知点是五点作图法中的第五点,所以ω+=2π,所以ω=2.因此所求函数的解析式为f(x)=2sin.‎ ‎(2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.‎ 因为f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100,‎ 令+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z).‎ 而+31π>100,且+30π+<100,所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间.‎ 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点.另外,两函数的图象在上还有一个交点,‎ 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.‎