数学卷·2018届甘肃省定西市临洮二中高二上学期第三次月考数学试卷(理科) (解析版)

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数学卷·2018届甘肃省定西市临洮二中高二上学期第三次月考数学试卷(理科) (解析版)

‎2016-2017学年甘肃省定西市临洮二中高二(上)第三次月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.)‎ ‎1.命题“若x=3,则x2﹣9x+18=0”的逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎2.过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有(  )‎ A.无数多条 B.3条 C.2条 D.1条 ‎3.“a>b”是“ac2>bc2”的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(  )‎ A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x﹣2y=0,则它的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎6.已知P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎7.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q ‎8.4.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1‎ C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎9.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.△ABC的三个顶点分别是A(1,﹣1,2),B(5,﹣6,2),C(1,3,﹣1),则AC边上的高BD长为(  )‎ A.5 B. C.4 D.‎ ‎11.设P是双曲线﹣=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2是焦点,双曲线的离心率是,且∠F1PF2=90°,△F1PF2面积是9,则a+b=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎12.如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,O是平面A′B′C′D′的中心,则O到平面ABC′D′的距离是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.命题:对∀x∈R,x3﹣x2+1≤0的否定是  .‎ ‎14.已知x,y是正数,且,则x+y的最小值是  .‎ ‎15.已知向量=(k,12,1),=(4,5,1),=(﹣k,10,1),且A、B、C三点共线,则k=  .‎ ‎16.方程表示的曲线为C,则给出的下面四个命题:‎ ‎(1)曲线C不能是圆 ‎(2)若1<k<4,则曲线C为椭圆 ‎(3)若曲线C为双曲线,则k<1或k>4‎ ‎(4)若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则 其中正确的命题是  (填序号)‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)‎ ‎17.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边的长分别为a,b,c,已知b=5,,.‎ ‎(I)求c的值; ‎ ‎(II)求sinC的值.‎ ‎18.已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(,﹣2)‎ ‎(1)求抛物线的标准方程.‎ ‎(2)如果直线y=x+m与这个抛物线交于不同的两点,求m的取值范围.‎ ‎19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.‎ ‎(1)证明:PA∥平面EDB;‎ ‎(2)证明:PB⊥平面EFD.‎ ‎20.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(Ⅰ)求an及Sn;‎ ‎(Ⅱ)令bn=(n∈N*),记数列{bn}的前n项和为Tn.求证:Tn<.‎ ‎21.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.‎ ‎(Ⅰ)用向量方法求直线EF与MN的夹角;‎ ‎(Ⅱ)求二面角N﹣EF﹣M的平面角的正切值.‎ ‎22.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为D(2,0),设点.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;‎ ‎(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年甘肃省定西市临洮二中高二(上)第三次月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.)‎ ‎1.命题“若x=3,则x2﹣9x+18=0”的逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【考点】四种命题.‎ ‎【分析】先判断原命题为真,逆命题为假,根据原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价,即可得结论.‎ ‎【解答】解:由题意,原命题为:若x=3,则x2﹣9x+18=0,显然3是方程的解,为真命题;‎ 逆命题为:若x2﹣9x+18=0,则x=3,因为方程还有另一根为6,故为假命题;‎ 因为原命题与逆否命题等价,故逆否命题为真;逆命题与否命题等价,故否命题为假.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎2.过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有(  )‎ A.无数多条 B.3条 C.2条 D.1条 ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系.‎ ‎【分析】当过点(0,2)的直线的斜率不存在时,直线的方程为 x=0;当过点(0,2)的直线的斜率等于0时,直线的方程为y=2;当过点(0,2)的直线斜率存在且不为零时,设为k,把y=kx+2,代入抛物线方程,由判别式等于0,求得k的值,从而得到结论.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=8x的焦点为(2,0),当过点(0,2)的直线的斜率不存在时,直线的方程为 x=0,即直线为y轴时,‎ 与抛物线y2=8x只有一个公共点.‎ 当过点(0,2)的直线的斜率等于0时,直线的方程为 y=2,与抛物线y2=8x只有一个公共点.‎ 当过点(0,2)的直线斜率存在且不为零时,设为k,那么直线方程为:y﹣2=kx,即:y=kx+2,代入抛物线方程 可得 k2x2+(4k﹣8)x+4=0,由判别式等于0 可得:64﹣64k=0,∴k=1,此时,直线的方程为 y=kx+2.‎ 综上,满足条件的直线共有3条,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.“a>b”是“ac2>bc2”的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】不等式的基本性质,“a>b”不一定“ac2>bc2”结论,因为必须有c2>0这一条件;反过来若“ac2>bc2”,说明c2>0一定成立,一定可以得出“a>b”,即可得出答案.‎ ‎【解答】解:当c=0时,a>b⇏ac2>bc2;‎ 当ac2>bc2时,说明c≠0,‎ 有c2>0,得ac2>bc2⇒a>b.‎ 故a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(  )‎ A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)‎ ‎【考点】椭圆的定义.‎ ‎【分析】先把椭圆方程整理成标准方程,进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式,求得k的范围.‎ ‎【解答】解:∵方程x2+ky2=2,即表示焦点在y轴上的椭圆 ‎∴故0<k<1‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x﹣2y=0,则它的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】根据双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到,由此能够推导出双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:由 得 b=2a,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选 A.‎ ‎ ‎ ‎6.已知P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系.‎ ‎【分析】利用抛物线的定义与性质,转化求解即可.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=4x,可得P=1,‎ P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值为:2+p=3.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>‎ ‎2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】由命题p,找到x的范围是x∈R,判断p为真命题.而q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件是假命题,然后根据复合命题的判断方法解答.‎ ‎【解答】解:因为命题p对任意x∈R,总有2x>0,根据指数函数的性质判断是真命题;‎ 命题q:“x>1”不能推出“x>2”;但是“x>2”能推出“x>1”所以:“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q是假命题;‎ 所以p∧¬q为真命题;‎ 故选D;‎ ‎ ‎ ‎8.4.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1‎ C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质;双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】在椭圆C1中,由题设条件能够得到,曲线C2是以F1(﹣5,0),F2(5,0),为焦点,实轴长为8的双曲线,由此可求出曲线C2的标准方程.‎ ‎【解答】解:在椭圆C1中,由,得 椭圆C1的焦点为F1(﹣5,0),F2(5,0),‎ 曲线C2是以F1、F2为焦点,实轴长为8的双曲线,‎ 故C2的标准方程为:﹣=1,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】由题意作图,可得所求数量积为,由已知易得其模长和夹角,由数量积的定义可得答案.‎ ‎【解答】解:如图连接空间四边形ABCD的对角线AC,BD,‎ 由空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,‎ 可知底面ABC为等边三角形,故∠BDC=60°,‎ 又点E、F分别是AB、AD的中点,所以,‎ 故==‎ ‎==﹣,‎ 故选B ‎ ‎ ‎10.△ABC的三个顶点分别是A(1,﹣1,2),B(5,﹣6,2),C(1,3,﹣1),则AC边上的高BD长为(  )‎ A.5 B. C.4 D.‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算.‎ ‎【分析】设,可得=+=(1,﹣1+4λ,2﹣3λ),于是==(﹣4,5+4λ,﹣3λ).由于,可得=0,解得λ=﹣.利用模的计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:设,则=+=(1,﹣1,2)+λ(0,4,﹣3)=(1,﹣1+4λ,2﹣3λ),‎ ‎∴==(﹣4,5+4λ,﹣3λ),‎ ‎∵,‎ ‎∴=0+4(5+4λ)+9λ=0,‎ 解得λ=﹣.‎ ‎∴=,‎ ‎∴==5.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.设P是双曲线﹣=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2是焦点,双曲线的离心率是,且∠F1PF2=90°,△F1PF2面积是9,则a+b=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线的定义、勾股定理,△F1PF2面积是9,可得c2﹣a2=9,结合双曲线的离心率是=,求出a,c,可得b,即可求出a+b的值.‎ ‎【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m﹣n|=2a①‎ 由∠F1PF2=90°,可得m2+n2=4c2,②‎ 则①2﹣②得:﹣2mn=4a2﹣4c2,‎ ‎∴mn=2c2﹣2a2,‎ ‎∵△F1PF2面积是9,‎ ‎∴c2﹣a2=9,‎ ‎∵双曲线的离心率是=,‎ ‎∴c=5,a=4,‎ ‎∴b=3,‎ ‎∴a+b=7.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,O是平面A′B′C′D′的中心,则O到平面ABC′D′的距离是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算.‎ ‎【分析】过O作A′B′的平行线,交B′C′于E,则O到平面ABC′D′的距离即为E到平面ABC′D′的距离.作EF⊥BC′于F,可得EF⊥平面ABC′D′,进而根据EF=B′C,求得EF.‎ ‎【解答】解:过O作A′B′的平行线,交B′C′于E,‎ 则O到平面ABC′D′的距离即为E到平面ABC′D′的距离.‎ 作EF⊥BC′于F,可得EF⊥平面ABC′D′,‎ 从而EF=B′C=.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.命题:对∀x∈R,x3﹣x2+1≤0的否定是  .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】根据已知中的原命题,结合全称命题否定的方法,可得答案.‎ ‎【解答】解:命题:对∀x∈R,x3﹣x2+1≤0的否定是,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎14.已知x,y是正数,且,则x+y的最小值是 9 .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】由x+y=(x+y)()=5+,利用基本不等式即可求解x+y的最小值 ‎【解答】解:∵x,y是正数,且 ‎ ‎∴x+y=(x+y)()=5+=9‎ 当且仅当即y=2x(此时x=3,y=6)时取等号 故x+y的最小值为9‎ 故答案为:9‎ ‎ ‎ ‎15.已知向量=(k,12,1),=(4,5,1),=(﹣k,10,1),且A、B、C三点共线,则k=  .‎ ‎【考点】共线向量与共面向量.‎ ‎【分析】利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出.‎ ‎【解答】解:∵向量=(k,12,1),=(4,5,1),=(﹣k,10,1),‎ ‎∴=(4﹣k,﹣7,0),=(﹣2k,﹣2,0).‎ 又A、B、C三点共线,∴存在实数λ使得,‎ ‎∴,解得.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎16.方程表示的曲线为C,则给出的下面四个命题:‎ ‎(1)曲线C不能是圆 ‎(2)若1<k<4,则曲线C为椭圆 ‎(3)若曲线C为双曲线,则k<1或k>4‎ ‎(4)若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则 其中正确的命题是 (3)(4) (填序号)‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】根据曲线方程的特点,结合圆、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可.‎ ‎【解答】解:方程表示的曲线为C,‎ 对于(1),曲线C,当4﹣k=k﹣1>0,解得k=时,方程表示圆,∴(1)不正确;‎ 对于(2),当1<k<4且k≠,此时曲线表示椭圆,故(2)不正确;‎ 对于(3),若曲线C表示双曲线,则(4﹣k)(k﹣1)<0,可得k<1或k>4,故(3)正确;‎ 对于(4),若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,此时4﹣k>k﹣1>0,∴,故(4)正确;‎ 故答案为:(3)(4).‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)‎ ‎17.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边的长分别为a,b,c,已知b=5,,.‎ ‎(I)求c的值; ‎ ‎(II)求sinC的值.‎ ‎【考点】解三角形.‎ ‎【分析】‎ ‎(I)由b的值和sinA的值,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,让面积等于得到关于c的方程,求出才的解即可得到c的值;‎ ‎(II)由三角形为锐角三角形,得到A的范围,由sinA的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosA的值,然后由b,c和cosA的值即可求出a的值,再由c,a和sinA的值,利用正弦定理即可求出sinC的值.‎ ‎【解答】解:(I)由b=5,sinA=,‎ 则,‎ 可得×5c=,‎ 解得c=6;‎ ‎(II)由锐角△ABC中可得:,‎ 由余弦定理可得:,‎ 有:a=4.‎ 由正弦定理:,‎ 即.‎ ‎ ‎ ‎18.已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(,﹣2)‎ ‎(1)求抛物线的标准方程.‎ ‎(2)如果直线y=x+m与这个抛物线交于不同的两点,求m的取值范围.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)设抛物线方程,将M代入抛物方程,即可求得p的值,求得抛物线方程;‎ ‎(2)将直线方程代入抛物线方程,由△>0,即可求得m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)因为抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(,﹣2),则抛物线的焦点在y的负半轴上,‎ ‎∴可设它的标准方程为:x2=﹣2py(p>0),‎ 又因为点M在抛物线上,则3=﹣2p×(﹣2),解得:p=,‎ ‎∴椭圆的标准方程:x2=﹣y;‎ ‎(2)将直线方程代入抛物线方程:,整理得2x2+x+m=0,‎ 则△=b2﹣4ac=3﹣8m>0,解得:m<,‎ m的取值范围(﹣∞,).‎ ‎ ‎ ‎19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.‎ ‎(1)证明:PA∥平面EDB;‎ ‎(2)证明:PB⊥平面EFD.‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)由题意连接AC,AC交BD于O,连接EO,则EO是中位线,证出PA∥EO,由线面平行的判定定理知 PA∥平面EDB;‎ ‎(2)由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC,再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC,即得BC⊥DE,再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC,则有DE⊥PB,再由条件证出PB⊥平面EFD.‎ ‎【解答】解:(1)证明:连接AC,AC交BD于O.连接EO.‎ ‎∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点.‎ ‎∴在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO,‎ ‎∵EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB,‎ ‎∴PA∥平面EDB.‎ ‎(2)证明:∵PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥BC.‎ ‎∵底面ABCD是正方形,∴DC⊥BC,‎ ‎∴BC⊥平面PDC.∵DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.‎ 又∵PD=DC,E是PC的中点,∴DE⊥PC.∴DE⊥平面PBC.‎ ‎∵PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB,且DE∩EF=E,‎ ‎∴PB⊥平面EFD.‎ ‎ ‎ ‎20.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(Ⅰ)求an及Sn;‎ ‎(Ⅱ)令bn=(n∈N*),记数列{bn}的前n项和为Tn.求证:Tn<.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的性质.‎ ‎【分析】(I)利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出;‎ ‎(II)由bn==,利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明.‎ ‎【解答】(I)解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3=7,a5+a7=26,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴an=3+2(n﹣1)=2n+1.‎ Sn==n2+2n.‎ ‎(II)证明:bn===.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为Tn=+…+=.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.‎ ‎(Ⅰ)用向量方法求直线EF与MN的夹角;‎ ‎(Ⅱ)求二面角N﹣EF﹣M的平面角的正切值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;异面直线.‎ ‎【分析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系利用向量方法求直线EF与MN的夹角;‎ ‎(Ⅱ)求出两个平面的法向量,根据法向量之间的关系,即可求二面角N﹣EF﹣M的平面角的正切值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:‎ 设正方体的棱长为1,‎ 则A(0,0,0),B(1,0,0),E(,0,1),F(1,,0),‎ M(,1,1),N(1,,1),‎ 则=(),=(),‎ 则•=()•()=,‎ 则⊥,‎ 即直线EF与MN的夹角为90°;‎ ‎(Ⅱ)∵直线EF与MN的夹角为90°,‎ ‎∴EF⊥MN,‎ ‎∵FN⊥MN,MN∩FN=N,‎ ‎∴MN⊥平面ENF,‎ 即向量=()是平面ENF的法向量,‎ 设平面EFM的法向量为=(x,y,z),‎ 则=(0,1,0),=(),‎ 则,‎ 即y=0,x=2z,设z=1,则x=2,即=(2,0,1),‎ 则cos<,>==,‎ 则sin<,>=,‎ 则tan<,>=.‎ ‎ ‎ ‎22.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为D(2,0),设点.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;‎ ‎(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程.‎ ‎【分析】(1)由“左焦点为,右顶点为D(2,0)”得到椭圆的半长轴a,半焦距c,再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程.‎ ‎(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由中点坐标公式,分别求得x0,y0,代入椭圆方程,可求得线段PA中点M的轨迹方程.‎ ‎(3)分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析,求得弦长|BC|,原点到直线的距离建立三角形面积模型,再用基本不等式求其最值.‎ ‎【解答】解:(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.‎ 又椭圆的焦点在x轴上,‎ ‎∴椭圆的标准方程为 ‎(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),‎ 由得 由,点P在椭圆上,得,‎ ‎∴线段PA中点M的轨迹方程是.‎ ‎(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,‎ 因此△ABC的面积S△ABC=1.‎ 当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,‎ 解得B(,),C(﹣,﹣),‎ 则,又点A到直线BC的距离d=,‎ ‎∴△ABC的面积S△ABC=‎ 于是S△ABC=‎ 由≥﹣1,得S△ABC≤,其中,当k=﹣时,等号成立.‎ ‎∴S△ABC的最大值是.‎ ‎ ‎ ‎2017年4月18日
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