北京市门头沟大峪中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市门头沟大峪中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市门头沟大峪中学2019-2020学年度第二学期高二 数学期中考试试卷 一、选择题 ‎1.若随机变量的分布列如下表所示，则等于（ ）‎ ‎2‎ ‎4‎ A. 0 B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据分布列的性质，得到，即可求解.‎ ‎【详解】根据分布列的性质，可得，解得，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分布列的性质及其应用，其中解答中熟记分布列的性质，列出方程是解答的关键，着重考查计算能力.‎ ‎2.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是(　　)‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是，应选答案D．‎ ‎3.用反证法证明命题“如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）‎ A. a，b都不能被5整除 B. a，b都能被5整除 C. a，b不都能被5整除 D. a不能被5整除 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.‎ ‎【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题.‎ ‎4.若，则有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差比较法分析解答即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查作差比较法比较实数大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎5.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：‎ 那么方程的一个近似根（精确到0．1）为（ ）‎ A. 1．2 B. 1．‎3 ‎C. 1．4 D. 1．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点的存在行了，可判断根的较小区间，从而求得方程的近似解.‎ ‎【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，，‎ 可得，所以方程的一个近似根为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二分法求解方程的近似解的方法，其中解答中熟练应用零点的存在定理是解答的关键，着重考查基本概念的运用能力，属于基础题.‎ ‎6.若，，均为实数，则下面三个结论均是正确的：‎ ‎①；②；③若，，则；‎ 对向量，，，用类比的思想可得到以下四个结论：‎ ‎①；②；③若，，则；‎ 其中结论正确的有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积的定义和运算性质，判断选项中的命题是否正确，即可求解.‎ ‎【详解】对于①中，根据平面向量的数量积的定义，可得 所以是正确；‎ 对于②中，，根据平面向量的数量积不满足结合律，所以是错误的；‎ 对于③中，，，则；，根据平面向量的数量积的运算不满足消去律，所以不正确.‎ 综上可得，只有①是正确的.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义及运算性质的应用，其中解答中熟记平面向量的运算性质是解答的关键，着重考查分析、判定能力.‎ ‎7.5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(　　)‎ A. 240种 B. 120种 C. 96种 D. 480种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题先把5本书两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案．‎ ‎【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题．‎ ‎8.设，则的值是 A. 665 B. ‎729 ‎C. 728 D. 63‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由二项式定理可知均为正数，均为负数，可得 把代入已知式子计数可得结果．‎ 详解：因为，‎ 由二项式定理可知，均为正数，均为负数，‎ 令时， ‎ 当时，，‎ 所以 故选A．‎ 点睛：本题主要考查了二项展开式的系数和的问题，其中恰当的赋值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎9.的展开式的常数项是（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式定理可知展开式中的第项，从而可求常数项.‎ ‎【详解】解：展开式中的第项为，‎ 当，即时，此时；‎ 当，即时，此时.则. 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理.本题的关键是求出展开式中的第项.本题的易错点是考虑问题不全面.‎ ‎10.观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，则第110项为（ ）‎ A. 13 B. ‎14 ‎C. 15 D. 110‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察数据，找到项与项数之间的关系进行求解.‎ ‎【详解】由数据1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…可知，‎ 当时，对应的项数为1，‎ 当时，对应的项数为1+2=3，‎ 当时，对应的项数为1+2+3=6，‎ 当时，对应的项数为，‎ 故当时，对应的项数为，‎ 所以第106-120项都是15，‎ 故第110项为15.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查数列及其通项，通过找规律得到数据的特点进行求解.‎ 二、填空题 ‎11.已知数列，，，则，分别为______，猜想______．‎ ‎【答案】 (1). ， (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列的递推公式可求得、的值，进而可猜想出数列的通项公式.‎ ‎【详解】且，，‎ ‎，‎ 猜想.‎ 故答案为：，；.‎ ‎【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用观察法写出数列的通项公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性可得出与的大小关系.‎ ‎【详解】，所以，函数为上的增函数，‎ ‎，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，属于基础题.‎ ‎13.设函数，若，，则方程的解的个数是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件求出、的值，然后解方程，即可求得结果.‎ ‎【详解】，由，即，解得，‎ ‎.‎ 当时，由，可得，，此时方程无解；‎ 当时，由，可得，合乎题意.‎ 综上所述，的解的个数是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查方程解的个数的计算，解答的关键就是求出函数解析式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第行第个数（从左往右数）为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一行左右相邻两数之和，得出将杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个莱布尼兹三角形，进而可求得第行第个数.‎ ‎【详解】将杨辉三角形中的每一个数都换成分数就得到莱布尼兹调和三角形，‎ 即“莱布尼兹调和三角形”数阵如下图所示：‎ 因此，该数阵中第行第个数（从左往右数）为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，找出数阵的规律是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎15.某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得出随机变量的分布列；‎ ‎（2）由题意可知，事件“去执行任务的同学中有男有女”包括、，利用概率的加法公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，‎ ‎，，，.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ ‎（2）记事件去执行任务的同学中有男有女，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，同时也考查了利用概率的加法公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.已知展开式中的第三项的系数为，求：‎ ‎（1）含的项；‎ ‎（2）二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出二项展开式的通项，利用展开式中第三项的系数为求出的值，再令的指数为，求出参数的值，进而可求得展开中含的项；‎ ‎（2）利用二项式系数的对称性可求得二项式系数最大的项.‎ ‎【详解】（1）展开式的通项为，‎ 由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，‎ ‎，解得，则展开式通项为，‎ 令，解得，因此，展开式中含的项为；‎ ‎（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中指定项的计算，同时也考查了二项式系数对称性的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎17.一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．‎ ‎（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？‎ ‎（2）个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？‎ ‎（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？‎ ‎（4）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？‎ ‎（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将个相声节目进行捆绑，与其它个节目形成个元素，利用捆绑法可求得排法种数；‎ ‎（2）将个相声节目插入其它个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数；‎ ‎（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；‎ ‎（4）在个节目进行全排的排法种数中减去前个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果.‎ ‎【详解】（1）将个相声节目进行捆绑，与其它个节目形成个元素，然后进行全排，‎ 所以，排法种数为种；‎ ‎（2）将个相声节目插入其它个节目所形成的个空中，则排法种数为种；‎ ‎（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它个节目排在中间，进行全排，‎ 由分步乘法计数原理可知，排法种数为种；‎ ‎（4）在个节目进行全排的排法种数中减去前个节目中没有相声节目的排法种数，‎ 可得出前个节目中要有相声节目的排法种数为.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎（2）直线平面．‎ ‎【答案】见解析 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可．它可由已知是直三棱柱和证得．‎ ‎（2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可 证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面．‎ 又∵平面，∴．‎ 又∵平面，∴平面．‎ 又∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）∵，为的中点，∴．又∵平面，且平面，∴．又∵平面，，∴平面． 由（1）知，平面，∴∥．又∵平面平面，∴直线平面 ‎19.已知的三边长分别为、、，且其中任意两边长均不相等，若、、成等差数列．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）求证：角不可能是钝角．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分析法可知要证明，由、、成等差数列可得，然后利用作差法可证得成立；‎ ‎（2）由（1）可得，利用余弦定理可得出，进而可得出结论.‎ ‎【详解】（1）要证，即证，‎ ‎、、成等差数列，，，‎ ‎，‎ 因此，；‎ ‎（2）由（1）可知，，则，‎ ‎，‎ 因此，角不可能是钝角.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，考查分析法与综合法的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎20.在二项式的展开式中，‎ ‎（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（最后结果用算式表达，不用计算出数值）‎ ‎（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．（最后结果用算式表达，不用计算出数值）‎ ‎【答案】(1) 当时，最大项系数为和；当时最大项系数为.(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由成等差数列可求出或，进而可求出展开式中二项式系数最大的项的系数；‎ ‎(2)由可求出，令可求出，从而可求其系数.‎ ‎【详解】解：展开式中第项为. ‎ ‎(1) 则第5项、第6项与第7项的二项式系数为成等差数列，则，‎ 即，即，解得或.‎ 当时，二项式系数最大项为，此时系数为和.‎ 当时，二项式系数最大项为，此时系数为.‎ ‎(2) 前三项的二项式系数为，其和为79.即，即 ‎，整理得，，解得或(舍去).‎ 设展开式中第项系数最大，即，解得，，‎ 因为，所以，即展开式中第9项系数最大，系数为.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，考查了二项式系数最值问题，考查了系数的最值问题，考查了等差中项的应用.本题的关键是由已知条件求出的值.本题的易错点是混淆了二项式系数和系数的概念.‎ ‎21.已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在 上是增函数．‎ ‎（1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；‎ ‎（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．‎ ‎【答案】(1)减区间为，增区间为，值域为;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设，则，由题意求出的增减性，，从而可求出的单调区间；结合单调性及区间端点处的函数值即可求出值域.‎ ‎(2)由一次函数的单调性可知，结合已知条件可知，从而可求出参数的值.‎ ‎【详解】(1)解：设 ，则 ，因为，则.‎ 由已知性质可知在上为减函数，在上为增函数.‎ 所以减区间为，增区间为.‎ 当，即时，，又，‎ 所以，所以值域为.‎ ‎(2)因为为减函数，所以当时，.‎ 因为对任意，总存在，使得成立，‎ 所以值域是值域的子集，即，则，‎ 解得且，即.‎ ‎【点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了函数值域的求解，考查了整体的思想，考查了转化的思想.本题的关键是将看成一个整体.本题的难点是第二问中将已知条件转化为两个函数值域的关系.‎ ‎22.已知函数满足条件：①，②，③，④当时，有．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）由，，，的值，猜想的解析式；‎ ‎（3）证明你猜想的的解析式的正确性．‎ ‎【答案】（1），，；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用赋值法，求得，，值.‎ ‎（2）根据，，，的值，猜想.‎ ‎（3）利用数学归纳法证明猜想正确.‎ ‎【详解】（1）依题意，.‎ 令得：；‎ 令得：；‎ 由于且当时，有，所以，即，则 ‎（2）由于，故猜想.‎ ‎（3）①当时，，函数解析式成立；‎ ‎②假设当时，，‎ 则当时：‎ ‎（i）若，则.‎ ‎（ii）若，则，，所以 ‎.‎ 即当时，函数解析式成立.‎ 综合①②知，成立.‎ ‎【点睛】本小题主要考查数学归纳法证明，属于难题..‎