【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第15讲导数与函数的极值作业

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第15讲导数与函数的极值作业

课时作业(十五)　第15讲　导数与函数的极值、最值 时间 / 45分钟　分值 / 100分 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 基础热身 ‎1.函数f(x)=sin x-x在区间[0,1]上的最小值为(　　)‎ A.0 ‎ B.sin 1‎ C.1 ‎ D.sin 1-1‎ ‎2.[2018·河南中原名校模拟] 已知函数f(x)=2f'(1)ln x-x,则f(x)的极大值为 (　　)‎ A.2 ‎ B.2ln 2-2‎ C.e ‎ D.2-e ‎3.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c为 (　　)‎ A.2或6 ‎ B.2‎ C.6 ‎ D.-2或-6‎ ‎4.[2018·鄂伦春二模] 若函数f(x)=exx+2‎在(-2,a)上有最小值,则a的取值范围为 (　　)‎ A.(-1,+∞) ‎ B.[-1,+∞)‎ C.(0,+∞) ‎ D.[0,+∞)‎ ‎5.从长为16 cm,宽为10 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为　　　　cm3. ‎ 能力提升 ‎6.[2018·丹东期末] 已知x0是函数f(x)=ex-ln x的极值点,若a∈(0,x0),b∈(x0,+∞),则 (　　)‎ A.f'(a)>0,f'(b)<0 ‎ B.f'(a)<0,f'(b)<0‎ C.f'(a)>0,f'(b)>0 ‎ D.f'(a)<0,f'(b)>0‎ ‎7.[2018·齐齐哈尔一模] 若x=1是函数f(x)=ax2+ln x的一个极值点,则当x∈‎1‎e‎,e时,f(x)的最小值为(　　)‎ A.1-e‎2‎‎2‎ ‎ B.-e+‎‎1‎e C.-‎1‎‎2‎e‎2‎-1 ‎ D.e2-1‎ ‎8.[2018·绵阳南山中学二诊] 若x=3是函数f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点,则f(x)的极大值等于(　　)‎ A.-1 ‎ B.3‎ C.-2e3 ‎ D.6e-1‎ ‎9.[2018·昆明质检] 已知函数f(x)=exx+k(ln x-x),若x=1是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是 (　　)‎ A.(-∞,e] ‎ B.(-∞,e)‎ C.(-e,+∞) ‎ D.[-e,+∞)‎ ‎10.已知函数f(x)=ax+x2-xln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎≤a-2恒成立,则a的取值范围为 (　　)‎ A.[e2,+∞) ‎ B.[e,+∞)‎ C.[2,e] ‎ D.[e,e2]‎ ‎11.[2018·衡水中学月考] 函数f(x)=alnxx的图像在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=-‎1‎e‎4‎x平行,则f(x)的极值点是x=　　　　. ‎ ‎12.[2018·东莞模拟] 若x=0是函数f(x)=a2ex+2x3+ax的极值点,则实数a=　　　　. ‎ ‎13.[2018·榆林模拟] 设实数m>0,若对任意的x≥e,不等式x2ln x-memx≥0恒成立,则m的最大值是　　　　. ‎ ‎14.(12分)[2018·齐齐哈尔一模] 已知函数f(x)=x(ex+1).‎ ‎(1)求函数f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(2)若函数g(x)=f(x)-aex-x,求函数g(x)在[1,2]上的最大值.‎ ‎15.(13分)[2018·湖北黄冈八市联考] 已知函数f(x)=ex(x-aex).‎ ‎(1)当a=0时,求f(x)的极值;‎ ‎(2)若f(x)有两个不同的极值点x1,x2(x10且a≠1,若当x≥1时,不等式ax≥ax恒成立,则a的最小值是(　　)‎ A.e B.‎e‎1‎e C.2 D.ln 2‎ ‎17.(5分)[2018·四川棠湖中学月考] 设函数f(x)=‎3‎‎2‎x2-2ax(a>0)的图像与g(x)=a2ln x+b的图像有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为　　　　. ‎ 课时作业(十五)‎ ‎1.D　[解析] 由题得f'(x)=cos x-1,因为x∈[0,1],所以f'(x)≤0,所以函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=sin 1-1,故选D.‎ ‎2.B　[解析] f(x)=2f'(1)ln x-x,则f'(x)=2f'(1)‎1‎x-1.令x=1,得f'(1)=2f'(1)-1,所以f'(1)=1,则f(x)=2ln x-x,f'(x)=‎2‎x-1=‎2-xx,所以函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,则f(x)的极大值为f(2)=2ln 2-2.‎ ‎3.C　[解析] ∵f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,∴f'(x)=3x2-4cx+c2,‎ 由题意知f'(2)=12-8c+c2=0,解得c=6或c=2.‎ 当c=2时,f'(x)=3x2-8x+4=3x-‎‎2‎‎3‎(x-2),‎ x=2为f(x)的极小值,不满足题意.‎ 当c=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),‎ x=2为f(x)的极大值,满足题意.故c=6.‎ ‎4.A　[解析] ∵f(x)=exx+2‎,‎ ‎∴f'(x)=ex‎(x+2)-‎ex‎(x+2‎‎)‎‎2‎=ex‎(x+1)‎‎(x+2‎‎)‎‎2‎.‎ ‎∴当-2-1时,f'(x)>0,f(x)在(-1,+∞)上为增函数.‎ ‎∴f(x)min=f(-1).‎ ‎∵函数f(x)=exx+2‎在(-2,a)上有最小值,‎ ‎∴a>-1.‎ ‎5.144　[解析] 设小正方形的边长为x cm(00,当20),由f'(x)=ex-‎1‎x=0,得ex=‎1‎x.在平面直角坐标系中画出y=ex,y=‎1‎x在第一象限的大致图像,如图所示.‎ 由图可知,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,所以f'(a)<0,f'(b)>0,故选D.‎ ‎7.A　[解析] 由题意得f'(1)=0,∵f'(x)=2ax+‎1‎x,∴f'(1)=2a+1=0,∴a=-‎1‎‎2‎,∴f'(x)=-x+‎1‎x=‎1-‎x‎2‎x.∴当x∈‎1‎e‎,1‎时,f'(x)≥0,当x∈[1,e]时,f'(x)≤0,∴f(x)min=minf‎1‎e,f(e)‎=-‎1‎‎2‎e2+1,故选A.‎ ‎8.D　[解析] ∵函数f(x)=(x2+ax+1)ex,∴f'(x)=[x2+(2+a)x+a+1]ex,∵x=3是函数f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点,∴f'(3)=0,解得a=-4,故f'(x)=(x2-2x-3)ex.易知当x=-1时f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=6e-1,故选D.‎ ‎9.A　[解析] 由函数f(x)=exx+k(ln x-x),可得f'(x)=exx-‎exx‎2‎+k‎1‎x‎-1‎=‎(x-1)(ex-kx)‎x‎2‎.令g(x)=ex-kx,∵f(x)有唯一极值点x=1,∴g(x)=ex-kx在(0,+∞)上无零点或无变号零点.‎ g'(x)=ex-k,当k≤0时,g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴g(x)>g(0)=1,即g(x)在(0,+∞)上无零点,符合题意.‎ 当k>0时,g'(x)=0的解为x=ln k.易知当0ln k时,g'(x)>0,g(x)单调递增.∴g(x)min=g(ln k)=k-kln k.由题意知需满足k-kln k≥0,可得02.‎ 由于f'(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,‎ 所以当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,‎ 则f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,‎ 所以f(x)max-f(x)min=a-ln a,‎ 故a-2≥a-ln a,即ln a≥2,解得a≥e2.‎ ‎11.e　[解析] f'(x)=a(1-lnx)‎x‎2‎,‎ 故f'(e2)=-ae‎4‎=-‎1‎e‎4‎,解得a=1,‎ 故f(x)=lnxx,f'(x)=‎1-lnxx‎2‎.‎ 令f'(x)=0,解得x=e,‎ 因为当x0,当x>e时,f'(x)<0,‎ 所以x=e是函数f(x)的极大值点.‎ ‎12.-1　[解析] 由f(x)=a2ex+2x3+ax,得f'(x)=a2ex+6x2+a.‎ 由x=0为f(x)的极值点,得f'(0)=0,即a2+a=0,解得a=-1或a=0.‎ 当a=0时,函数f(x)=2x3无极值点,故a=-1.‎ ‎13.e　[解析] 不等式x2ln x-memx≥0⇔x2ln x≥memx⇔xln x≥mxemx⇔ln xeln x≥mxemx(*).‎ 设f(x)=xex(x>0),则f'(x)=(x+1)ex>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎∵mx>0,ln x>0,∴由(*)式可知mx≤ln x对任意的x≥e恒成立,即m≤xln x对任意的x≥e恒成立,‎ ‎∴只需m≤(xln x)min.‎ 设g(x)=xln x(x≥e),则g'(x)=ln x+1>0(x≥e),‎ ‎∴g(x)在[e,+∞)上为增函数,‎ ‎∴g(x)min=g(e)=e,∴m≤e,即m的最大值为e.‎ ‎14.解:(1)依题意得f'(x)=ex+1+xex,故f'(0)=e0+1=2.‎ 又f(0)=0,故所求切线方程为y=2x.‎ ‎(2)依题意得g'(x)=(x-a+1)·ex,令g'(x)=0,得x=a-1.‎ 当a-1≤1时,g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,g(x)在[1,2]上单调递增,g(x)的最大值为g(2).‎ 当a-1≥2时,g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,g(x)在[1,2]上单调递减,g(x)的最大值为g(1).‎ 当10在(a-1,2]上恒成立,g(x)在(a-1,2]上单调递增.‎ 所以当x∈[1,2]时,g(x)的最大值为g(1)与g(2)中的较大者.‎ 因为g(1)=(1-a)e,g(2)=(2-a)e2,‎ g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e),‎ 所以当a≥‎2e‎2‎-ee‎2‎‎-e=‎2e-1‎e-1‎时,g(1)-g(2)≥0,g(x)max=g(1)=(1-a)e;‎ 当a<‎2e‎2‎-ee‎2‎‎-e=‎2e-1‎e-1‎时,g(1)-g(2)<0,g(x)max=g(2)=(2-a)e2.‎ 综上所述,当a≥‎2e-1‎e-1‎时,g(x)max=g(1)=(1-a)e;当a<‎2e-1‎e-1‎时,g(x)max=g(2)=(2-a)e2.‎ ‎15.解:(1)当a=0时,f(x)=xex,f'(x)=(x+1)ex.令f'(x)>0,可得x>-1,故f(x)在(-1,+∞)上单调递增.同理可得f(x)在(-∞,-1)上单调递减.‎ 故f(x)在x=-1处有极小值,极小值为f(-1)=-‎1‎e.‎ ‎(2)依题意可得f'(x)=(x+1-2aex)ex=0有两个不同的实根.‎ 设g(x)=x+1-2aex,则g(x)=0有两个不同的实根x1,x2,g'(x)=1-2aex.‎ 若a≤0,则g'(x)≥1,此时g(x)为增函数,故g(x)=0至多有1个实根,不符合要求.‎ 若a>0,则当x0,当x>ln‎1‎‎2a时,g'(x)<0,‎ 故g(x)在‎-∞,ln‎1‎‎2a上单调递增,在ln‎1‎‎2a,+∞‎上单调递减,g(x)的最大值为gln‎1‎‎2a=ln‎1‎‎2a-1+1=ln‎1‎‎2a,‎ 又当x→-∞时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→-∞,故要使g(x)=0有两个实根,则gln‎1‎‎2a=ln‎1‎‎2a>0,得00,此时f'(x)>0;当x>x2时,g(x)<0,此时f'(x)<0.‎ 故x1为f(x)的极小值点,x2为f(x)的极大值点,00在[1,+∞)上恒成立,p(x)在[1,+∞)上单调递增,则当x≥1时,p(x)≥p(1)=0,与p(x)≤0恒成立矛盾.‎ 当ln a>0,即a∈(1,+∞)时,令p'(x)=0,解得x=‎1‎lna.‎ 易知当x∈‎0,‎‎1‎lna时,p'(x)>0,p(x)单调递增,当x∈‎1‎lna‎,+∞‎时,p'(x)<0,p(x)单调递减.‎ 若‎1‎lna>1,即a∈(1,e),则当x∈‎1,‎‎1‎lna时,p(x)单调递增,p(x)≥p(1)=0,与p(x)≤0恒成立矛盾;‎ 若‎1‎lna≤1,即a∈[e,+∞),则当x∈[1,+∞)时,p(x)单调递减,p(x)≤p(1)=0,符合题意.‎ 综上,a∈[e,+∞),则a的最小值为e,故选A.‎ ‎17.‎1‎‎2‎e‎2‎　[解析] 由题意得f'(x)=3x-2a,g'(x)=a‎2‎x.‎ 设f(x)的图像与g(x)(x>0)的图像在公共点P(x0,y0)处的切线相同,‎ 由题意得f'(x‎0‎)=g'(x‎0‎),‎f(x‎0‎)=g(x‎0‎),‎ 即‎3x‎0‎-2a=a‎2‎x‎0‎,‎‎3‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎-2ax‎0‎=a‎2‎ln x‎0‎+b,‎ 由3x0-2a=a‎2‎x‎0‎可得x0=a或x0=-a‎3‎(舍去),‎ ‎∴b=-‎1‎‎2‎x‎0‎‎2‎-x‎0‎‎2‎ln x0.‎ 设h(t)=-‎1‎‎2‎t2-t2ln t(t>0),则h'(t)=-t-(2tln t+t)=-2t(1+ln t),‎ ‎∴当00,h(t)单调递增,当t>‎1‎e时,h'(t)<0,h(t)单调递减,‎ ‎∴h(t)max=h‎1‎e=‎1‎‎2‎e‎2‎,∴实数b的最大值为‎1‎‎2‎e‎2‎.‎