数学卷·2019届山东省曲阜市第一中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）x

数学卷·2019届山东省曲阜市第一中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）x

‎2016级高二上学期数学第一次月考试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1. 下列各式中值为的是（　 　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C ‎2. 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A项，展开可得数列为不符合题意，故A错误；‎ B项，展开可得数列为不符合题意，故B错误；‎ C项，展开可得数列为不符合题意，故C错误；‎ D项，展开可得数列为符合题意，故D正确。故选D。‎ ‎3. 已知sin 2x＝，则= (　 　)‎ A. － B. C. D. －‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 故选C ‎4. 在等差数列中，已知，则该数列前项和（ ）‎ A. 58 B. 88 C. 143 D. 176‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：在等差数列中，，所以，故选B.‎ 考点：等差数列的性质，等差数列的前项和.‎ ‎5. 在中，已知，则角（ ）‎ A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°‎ ‎【答案】A 所以A为锐角， 。故选A ‎6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A. 63 B. 45 C. 36 D. 27‎ ‎【答案】B ‎【解析】设公差为d，则解得a1＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.‎ ‎7. 在中，角所对的边分别为，若，则这个三角形一定是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：‎ 这个三角形一定是等腰三角形,故选C．‎ 考点：解三角形．‎ ‎8. (1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)‎ A. B. 1＋ C. 2 D. 2(tan 18°＋tan 27°)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ,故选C ‎ ‎9. 在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝ ，cos A＝，则△ABC的面积S为(　　)‎ A. B. C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】解:由 得,(舍去). 又根据余弦定理得: ,化简得: , 将代入可得 ,计算得出: 或(舍去),则,故. 由 可得,故△ABC 的面积为.故选A 点睛：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件,由已知的等式分解因式,求出b与c的关系,用c表示出b,然后根据余弦定理表示出cosA,把a与cosA的值代入即可得到b与c的关系式,将表示出的含c的式子代入即可得到关于b的方程,求出方程的解即可得到b的值,从而求得c的值,即可求得△ABC 的面积.‎ ‎10. 设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）‎ A. d＜0 B. a7=0‎ C. S9＞S5 D. S6与S7均为Sn的最大值 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据题设条件且S5＜S6，S6=S7＞S8，则可判断A的正确性；∵且S5＜S6，S6=S7＞S8，则a7=0，可判断B正确；∵在等差数列中Sn等差数列的前n项和公式存在最大值可判断数列的单调性，这样可判断D的正确性；利用数列的前n项和定义与等差数列的性质，来判断D的正确性解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则A正确；∵S6=S7，∴a7=0，∴B正确；∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则a6＞0，a7=0，a8＜0，∴d＜0，A正确∵a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）＜0，∴S9＜S5，C错误．故选C 考点：命题的真假, 等差数列的前n项和公式 点评：本题借助考查命题的真假判断，考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质．在等差数列中Sn存在最大值的条件是：a1＞0，d＜0．一般两种解决问题的思路：项 分析法与和分析法 ‎11. 已知，，且，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，；‎ 化简可得 ‎ ‎。故选A 点睛:　三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.‎ ‎12. 定义：在数列中，若为常数）则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的有关判断 ‎①若是“等方差数列”，在数列 是等差数列；‎ ‎②是“等方差数列”；‎ ‎③若是“等方差数列”，则数列为常数）也是“等方差数列”；‎ ‎④若既是“等方差数列”又是等差数列，则该数列是常数数列.‎ 其中正确命题的个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】①：可以举反例。如an=0时数列不存在，所以①错误；‎ ‎②：对数列{(−2)n}有不是常数，所以②错误 ‎③：对数列{akn}有，‎ 而k，p均为常数，所以数列{akn}也是“等方差数列”，所以③正确；‎ ‎④：设数列{an}首项a1，公差为d则有a2=a1+d，a3=a1+2d，所以有(a1+d)2−a21=p，且(a1+2d)2−(a1+d)2=p，所以得d2+2a1d=p，3d2+2a1d=p，两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确。‎ 本题选择B选项.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应位置上．）‎ ‎13. 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，数列{an}的通项公式为________．‎ ‎【答案】 ．‎ ‎【解析】∵an＋1－an＝n＋1，‎ ‎∴a2-a1=2，a3-a2=3，……，an-an-1=n（n≥2），‎ 由累加法可得an-a1=2+3+…+n=∵a1＝1，‎ ‎∴（n≥2）.‎ ‎∵当n=1时，也满足，‎ ‎（n∈N*）.‎ ‎14. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ ac，则角B 的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由a2＋c2－b2＝ac，得，‎ 由于，所以 考点：余弦定理.‎ ‎15. 若 ，则的值为__________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，解得。‎ ‎16. 数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N*)，则通项an＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：时，时，经验证成立，因此通项 考点：求数列的通项公式 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. 设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．‎ ‎【答案】（1） （2）当 时， 取得最大值 ‎【解析】试题分析：（1）设出首项和公差，根据a3＝5，a10＝－9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值 试题解析：（1）由an＝a1＋（n－1）d及a3＝5，a10＝－9得 可解得 所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n．‎ ‎（2）由（1）知，‎ Sn＝na1＋d＝10n－n2．‎ 因为Sn＝－（n－5）2＋25，‎ 所以当n＝5时，Sn取得最大值．‎ 考点：1．等差数列的通项公式；2．等差数列的前n项和 ‎18. 已知α∈，且sin ＋cos ＝ .‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ ‎【答案】（1）;（2） ‎ ‎【解析】试题分析：(1)把已知条件平方可得sin α＝,再由已知α∈,可得cos α的值. (2)由条件可得－<α－β<, cos(α－β)＝,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.‎ 试题解析： (1)已知sin ＋cos＝ ，两边同时平方，‎ 得1＋2sincos＝，则sin α＝. ‎ 又<α<π，所以cos α＝－ ＝－ . ‎ ‎(2)因为<α<π， <β<π，所以－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. ‎ 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝－ ×＋× ＝－.‎ 点睛:　本题考查的是三角函数式化简中的给值求值问题，看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分β=[α－(α－β)，从而正确使用公式；由条件可得－<α－β<, cos(α－β)＝,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.‎ ‎19. 设函数 ‎ ‎（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）△ABC中，角，，所对边分别为，，，且 ,求的值．‎ ‎【答案】（1）单调增区间为 ;（2） , ‎ ‎ ‎ 试题解析：（1） ‎ 单调增区间为 ‎（2）‎ 由正弦定理得 ‎20. 在△中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，+=5，求△的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）根据题干中B,C的关系可得，从而 ‎（2）已知，+=5，由余弦定理和+=5列出方程组求解即可解出b,c，求得△的面积 试题解析：‎ 解：（1）由，‎ 得，‎ 即，‎ 从而． ‎ ‎（2）由于，，‎ 所以，‎ 又，即，解得．‎ 由余弦定理，得，‎ 解方程组得或 ‎21. 如图所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎【答案】船每小时航行30海里 ‎【解析】试题分析：连接，则∴△是等边三角形，求出，在△中使用余弦定理求出的长，除以航行时间得出速度 试题解析：如图，‎ 连接A1B2，由题意知，‎ A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10（海里）‎ 又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，‎ ‎∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105-60°＝45°．‎ 在△A1B2B1中，由余弦定理得 ‎＝202＋（10）2－2×20×10×＝200，‎ ‎∴B1B2＝10（海里）．‎ 因此乙船的速度大小为×60＝30（海里/小时）．‎ 考点：解三角形的实际应用；余弦定理 ‎22. 在数列 中， 其中 ‎ ‎（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式 .‎ ‎（2）设 ，数列 的前n项和为 .‎ ‎（3）若满足上面条件（2），是否存在正整整m，使得 对于 恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ；（3）m的最小值为1‎ ‎【解析】试题分析：(1),化简即可证明结果；(2)根据(1)的结论，即可求出，进而求出；(3)由(2)求出,所以，利用裂项相消法求和，再求出的最大值，即可解不等式求出m的取值范围与最小值.‎ 试题解析：（1）证明：‎ 数列是等差数列 ‎ ‎ ‎ 由 ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3）依题意要使恒成立，只需 解得所以m的最小值为1‎ ‎ ‎ ‎ ‎