2013届人教A版文科数学课时试题及解析（20）三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质及三角函数模型的简单应用

2013届人教A版文科数学课时试题及解析（20）三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质及三角函数模型的简单应用

课时作业(二十)　 ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)‎ A. B．π ‎ C．2π D．4π ‎2． 把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为(　　)‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin ‎3．已知函数y＝tan(x＋φ)的图象经过点，则φ可以是(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎4． 已知函数f(x)＝sin2x＋mcos2x的图象关于直线x＝对称，则f(x)的最大值为________．‎ ‎5． 函数f(x)＝2cos2x－sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为(　　)‎ A．2π，3 B．2π，‎1 C．π，3 D．π，1‎ 图K20－1‎ ‎6．如图K20－1，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)‎ 图K20－2‎ ‎7． 已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．如图K20－3，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)‎ 图K20－3‎ A．2π s 　　　B．π s C．0.5 s 　　　D．1 s ‎9． 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　)‎ A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 ‎10．函数y＝sin的振幅是________；周期是________；频率是________；相位是________；初相是________．‎ ‎11．函数y＝2sin的对称中心是________；对称轴方程是________；单调增区间是________．‎ ‎12．若将函数y＝cosx－sinx的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为________．‎ ‎13．若函数y＝f(x)的图象和y＝sin的图象关于点M对称，则f(x)的表达式是f(x)＝____________________.‎ ‎14．(10分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的一段图象如图K20－4所示．‎ 图K20－4‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；‎ ‎(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？‎ ‎15．(13分) 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的值域．‎ ‎16．(12分)某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：‎ t(时)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y(米)‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎9.9‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎10.1‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ 经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωx＋b的图象．‎ ‎(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；‎ ‎(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为‎5米或‎5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为‎6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?‎ 课时作业(二十)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．D　[解析] ∵T＝＝4π，∴D正确．‎ ‎2．B　[解析] 把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin，x∈R，选择B.‎ ‎3．C　[解析] 由tan＝0，得＋φ＝kπ，k∈Z.‎ ‎∴φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝0时，φ＝－.‎ ‎4.　[解析] f(x)＝sin2x＋mcos2x＝sin(2x＋φ)，依题意，函数的最大值为＝|1＋m|，所以＝|1＋m|，解得m＝1，所以函数最大值为.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．C　[解析] f(x)＝2cos2x－sin2x＝cos2x－sin2x＋1＝2cos＋1(x∈R)，所以最小正周期和最大值分别为π，3，故正确选项为C.‎ ‎6．C　[解析] 由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝R·sin，‎ ‎∴d＝2Rsin＝2Rsin，‎ 又R＝1，∴d＝2sin，故结合正弦图象可知，选C.‎ ‎7．A　[解析] 因为f(x)＝sinx－cosx＝2sin，由f(x)≥1，得2sin≥1，即sin≥，所以＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.‎ ‎8．D　[解析] T＝＝1.‎ ‎9．A　[解析] ∵＝6π，∴ω＝.又∵×＋φ＝2kπ＋，k∈Z且－π<φ≤π，‎ ‎∴当k＝0时，φ＝，f(x)＝2sin，要使f(x)递增，须有2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解之得6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z，当k＝0时，－π≤x≤，∴f(x)在上递增．‎ ‎10.　4π　　＋　　[解析] 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中的各个量的几何意义、物理意义作结论．‎ ‎11.(k∈Z)　x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)‎ ‎[解析] 对称中心的横坐标满足2x－＝kπ(k∈Z)；对称轴方程是2x－＝kπ＋(k∈Z)的解；单调递增区间是不等式2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)的解区间．‎ ‎12.　[解析] y＝cosx－sinx＝2cos向左移m个单位得到函数y＝2cos 为偶函数，‎ ‎∴m＋＝kπ(k∈Z)，∴m＝kπ－.∵k∈Z，且m>0，‎ ‎∴m的最小值为.‎ ‎13．－cosx－　[解析] 设f(x)图象上任一点(x，y)，则(x，y)关于点M，0的对称点－x，－y在函数y＝sinx＋的图象上，所以－y＝sin－x＋，y＝sinx－，即y＝－cosx－.‎ ‎14．[解答] (1)由图知A＝3，T＝4π－＝，‎ ‎∴T＝5π，∴ω＝，∴f(x)＝3sin.‎ ‎∵f(x)的图象过点，∴3sin＝0，‎ ‎∴＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，‎ ‎∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝3sin.‎ ‎(2)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋得，‎ ‎5kπ＋≤x≤5kπ＋4π(k∈Z)，‎ ‎∴函数f(x)的单调减区间为 (k∈Z)．‎ 函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为 .‎ ‎(3)解法一：f(x)＝3sin ‎＝3cos＝3cos ‎＝3cos，‎ 故至少左移个单位才能使所对应函数为偶函数．‎ 解法二：f(x)＝3sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋，∴x＝＋，当k＝0时，x＝，k＝－1时，x＝－π，故至少左移个单位．‎ 解法三：函数f(x)在原点右边第一个最大值点为－＝，∴x＝，把该点左移到y轴上，需平移个单位．‎ ‎15．[解答] (1)由最低点为M得，A＝2.‎ 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.‎ 由点M在函数f(x)的图象上得，‎ ‎2sin＝－2，‎ 即sin＝－1.‎ 故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．‎ 又φ∈，所以φ＝，‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x＋∈.‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，‎ 故函数f(x)的值域为[－1,2]．‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)由已知数据，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，∴y＝3sint＋10.‎ ‎(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，‎ ‎∴3sint＋10≥11.5，∴sint≥，‎ ‎∴2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)，在同一天内，取k＝0或k＝1，∴1≤t≤5或13≤t≤17.‎ ‎∴该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时．‎ ‎ ‎