人教A版选修1-12-2基本初等函数和导数运算法则（含答案）

人教A版选修1-12-2基本初等函数和导数运算法则（含答案）

§1.2.2 基本初等函数和导数运算法则 【学情分析】： 上一节课已经学习了用导数定义这种方法计算 2 1, , , ,y c y x y x y y xx      这五个常见函数的 导数,而且已经初步接触了导数加减运算法则.本节将继续介绍导数乘除运算法则. 【教学目标】： （1）能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数. (2) 会用导数乘除运算法则求简单函数的导数. （3）加强学生对运算法则的理解与掌握，学会归纳与概括. 【教学重点】： 两个乃至多个函数四则运算的求导法则,复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握 这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数. 【教学难点】： 合理应用四则运算的求导法则简化函数的求导过程. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 (1)复习常见函数导数以 及加减运算法则. 作业讲评及提问,回忆常见函数导数, 以及加减 运算法则并会解释导数实际意义. 为课题引入作铺垫. (2)函数 ny x 的导数? 由 2 1, , , ,y c y x y x y y xx      导数,小 结归纳: 1)'(  nn nxx ( Qn  ). 课题引入. (3)介绍基本初等函数导 数公式. 1( )' 0,( )' ( ),(sin )' cos , (cos )' sin ,( )' ln ,( )' , 1 1(log )' ,(ln )' .ln n n x x x x a c x nx x N x x x x a a a e e x xx a x            展示两个例子计算过 程,让学生体会根据定 义求导数的方法. (4)教科书 P14 例 1. 自主阅读,交流分享.老师点评. 展示指数函数导数公 式的运用. (5)导数运算的乘法法 则. 法则 2 两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以 第二个函数的导数，即 '')'( uvvuuv  法则介绍并解释. (6)例题选讲 例 1 求 2(2 3)(3 2)y x x   的导数． 例 2 y=3x2+xcosx，求 导数 y′. 参考答案: 1. 2' 18 8 9y x x   , 2.y′=6x+cosx+xsinx , 让学生亲自动手,或板演,或提问.老师点评. 熟练掌握导数运算法 并灵活应用. (7)教科书 P18 练习 2 学生动手练笔,注意计算准确性. 练习巩固 (7) 导数运算的除法法 则. 法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方，即 ' 2 ' ' ( 0)u u v uv vv v       注：如果学生愿意计算, 可分别令 )()()( xvxuxfy  ， )( )()( xv xuxfy  ，按 定义进行推导证明,并展示结果,教师给予评价和 点评出现的问题.也可以留做课后思考题由学生 自己研究.教师指导学生分组进行探究性学习, 分别展示研究结论,教师分析点评并小结. (1) 学生通过尝试证 明,可以加深对乘除法 则的认识. (8)例题选讲 例 3 求 y= 3 3 2   x x 在 点 x=3 处的导数. 例 4 求 y= x 1 ·cosx 的 导数. 例 5. 教科书 P18 例 3. 参考答案: 3. 2 2 2 6 3' ( 3) x xy x     2 3 2 2 3 6 3 3 24 1' (3 3) 144 6xy           4. 2 sin cos' 2 x x xy x x   (两种解法) 5.注意运用数学结果解释其实际意义. 学生板演,教师巡堂;(2)小结点评更正;(3)教师 展示. 综合运用导数公式和 运算法则计算导数.进 一步理解导数的内涵, 体会导数的应用性. (11)课堂小结 (1)基本初等函数的导数: 1( )' 0,( )' ( ),(sin )' cos , (cos )' sin ,( )' ln ,( )' , 1 1(log )' ,(ln )' .ln n n x x x x a c x nx x N x x x x a a a e e x xx a x            (2)导数运算法则 法则 1 )()()]()([ ''' xvxuxvxu  ． 法则 2 [ ( ) ( )] '( ) ( ) ( ) '( )u x v x u x v x u x v x   , [ ( )] '( )Cu x Cu x  . 法则 3 ' 2 ' ' ( 0)u u v uv vv v       (12)作业布置:教科书 P13 探究二;P18A 组 4(1)-(5),6,7 练习与测试: 1. 求下列函数的导数：(1) a xy a x   (2) 2 2 3 xy x  (3) y = tanx (4) 1 1 cosy x   2.求函数的导数. (1)y=2x3+3x2－5x+4 (2)y=sinx－x+1 (3)y=(3x2+1)(2－x) (4)y=(1+x2)cosx 3.填空： (1)［(3x2+1)( 4x2－3)］′=( )(4x2－3)+(3x2+1)( ) (2)(x3sinx)′=( )x2sinx+x3( ) 4.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正. ［(3+x2)(2－x3)］′=2x(2－x3)+3x2·(3+x2) 5.y=3x2+xcosx，求导数 y′. 6.y=5x10sinx－2 x cosx－9，求 y′. 参考答案： 1.(1)y′ ( )a x a x   ′ 2)( ))(()()( xa xaxaxaxa   22 )( 2 )( )()( xa a xa xaxa    ; (2)y′ 2 2( )3 x x  ′ 22 22 )3( )3)(2()3()2( x xxxx  2 4 3 3 ( 2)(6 ) 4 9 3 x x x x x x      ; (3)y′= (tanx)′=( x x cos sin )′ 2)(cos )(cossincos)(sin x xxxx  2 2 2 2 cos sin 1 cos cos x x x x   ; (4)y′ 1( )1 cos x   ′ 2)cos1( )cos1(1)cos1(1 x xx   ＝ 22 )cos1( sin )cos1( sin)cos1(0 x x x xx   . 2.(1)(2x3+3x2-5x+4)′=(2x3)′+(3x2)′-(5x)′+4′=2·3x2+3·2x-5=6x2+6x-5 (2)y′=(sinx－x+1)′=(sinx)′－x′+1′=cosx－1 (3)y′=［(3x2+1)(2－x)］′=(3x2+1)′(2－x)+(3x2+1)(2－x)′ =3·2x(2－x)+(3x2+1)(－1)=－9x2+12x－1 (4)y′=［(1+x2)cosx］′=(1+x2)′cosx+(1+x2)(cosx)′ =2xcosx+(1+x2)(－sinx)=2xcosx－(1+x2)sinx 3.(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=(3x2+1)′(4x2－3)+(3x2+1)(4x2－3)′ =3·2x(4x2－3)+(3x2+1)(4·2x)=(6x)(4x2－3)+(3x2+1)(8x) (2) (x3sinx)′=(x3)′sinx+x3(sinx)′=(3)x2sinx+x2(cosx) 4.不正确.［(3+x)2(2－x3)］′=(3+x2)′(2－x3)＋(3＋x2)(2－x3)′ =2x(2－x3)+(3+x2)(－3x2)=2x(2－x3)－3x2(3+x2) 5.y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′ =3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx 6.y′=(5x10sinx－2 x cosx－9)′=(5x10sinx)′－(2 x cosx)′－9′ =5·10x9sinx+5x10cosx－( 12 1 2 12  x ·cosx－2 x sinx) =50x9sinx+5x10cosx－ x 1 cosx+2 x sinx =(50x9+2 x )sinx+(5x10－ x 1 )cosx